แก้สมการ 2 sin(y) = sin(x) + sin(x + y) เมื่อ x และ y อยู่ใน [0, 2π)

Step-by-step solution

1. 1

   เปลี่ยนผลบวกทางขวาให้เป็นผลคูณ เอกลักษณ์ $\sin A+\sin B=2\sin\tfrac{A+B}{2}\cos\tfrac{A-B}{2}$ เมื่อ $A=x+y$ และ $B=x$ ให้

   $\sin x+\sin(x+y)=2\sin\!\left(x+\frac y2\right)\cos\frac y2$

2. 2

   เขียนข้างซ้ายใหม่ด้วยสูตรมุมสองเท่า

   $2\sin y=4\sin\frac y2\cos\frac y2$

   ตอนนี้ทั้งสองข้างมีตัวประกอบร่วม $\cos\tfrac y2$ ซึ่งเป็นกุญแจเชิงโครงสร้างของโจทย์นี้

3. 3

   แยกตัวประกอบ อย่าหาร ย้ายทุกอย่างไปข้างเดียว:

   $2\cos\frac y2\left[2\sin\frac y2-\sin\!\left(x+\frac y2\right)\right]=0$

   ถ้าหารทั้งสองข้างด้วย $\cos\tfrac y2$ แทนการแยกตัวประกอบ จะทิ้งคำตอบทุกค่าที่ $\cos\tfrac y2=0$ ไปอย่างเงียบ ๆ ซึ่งเป็นสาเหตุที่พบบ่อยที่สุดของการตอบโจทย์นี้ไม่ครบ

4. 4

   กิ่งที่ 1: $\cos\tfrac y2=0$ บน $[0,2\pi)$ นี่หมายถึง $\tfrac y2=\tfrac\pi2$ ดังนั้น

   $y=\pi\qquad\text{สำหรับทุก }x\in[0,2\pi)$

   ตรวจได้ทันที: $2\sin\pi=0$ และ $\sin x+\sin(x+\pi)=\sin x-\sin x=0\;\checkmark$ นี่คือเส้นตรงทั้งเส้นของคำตอบ ไม่ใช่จุดเดียว

5. 5

   กิ่งที่ 2: $\sin\!\left(x+\tfrac y2\right)=2\sin\tfrac y2$ ไซน์มีขอบเขตไม่เกิน $1$ กิ่งนี้จึงต้องการ

   $\left|2\sin\frac y2\right|\le 1\iff\left|\sin\frac y2\right|\le\frac12\iff y\in\left[0,\frac\pi3\right]\cup\left[\frac{5\pi}{3},2\pi\right)$

   และสำหรับ $y$ ที่ใช้ได้แต่ละค่า ค่า $x$ ที่คู่กันคือ

   $x\equiv\arcsin\!\left(2\sin\frac y2\right)-\frac y2\quad\text{หรือ}\quad x\equiv\pi-\arcsin\!\left(2\sin\frac y2\right)-\frac y2\pmod{2\pi}$

6. 6

   สรุปเซตคำตอบทั้งหมด คำตอบคือเส้นตรงแนวนอน $y=\pi$ รวมกับเส้นโค้งสองเส้นจากกิ่งที่ 2 การสุ่มตรวจเชิงตัวเลขยืนยันทั้งสองตระกูล: ที่ $y=\pi$ โดยใช้ $x=0.3,\,1.234,\,2.7,\,5.5$ ส่วนตกค้างต่ำกว่า $4\times 10^{-16}$ และกิ่งที่ 2 ที่ $y=0$ บังคับให้ $\sin x=0$ ได้ $x=0$ และ $x=\pi$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการเดิมพอดี