จงแก้สมการตรีโกณมิติ sin x - 2 cos 2x = 1 พร้อมให้ผลเฉลยทั่วไป

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนทุกอย่างใหม่ในรูปฟังก์ชันตรีโกณมิติตัวเดียว สมการนี้ปนมุม $x$ กับมุม $2x$ ซึ่งแก้ตรง ๆ ไม่ได้ ในบรรดาเอกลักษณ์มุมสองเท่าทั้งสามรูป ให้เลือกรูปที่เขียนด้วยไซน์ล้วน เพราะอีกพจน์หนึ่งคือ $\sin x$

   $\cos 2x=1-2\sin^{2}x.$

2. 2

   แทนค่าแล้วรวมพจน์

   $\sin x-2\left(1-2\sin^{2}x\right)=1\ \Longrightarrow\ \sin x-2+4\sin^{2}x=1,$

   $4\sin^{2}x+\sin x-3=0.$

   ตอนนี้สมการกลายเป็นสมการกำลังสองในปริมาณตัวเดียวแล้ว

3. 3

   แก้สมการกำลังสอง ให้ $t=\sin x$ จะได้ $4t^{2}+t-3=0$ ดิสคริมิแนนต์คือ $D=1^{2}-4(4)(-3)=49$ ซึ่งเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ดังนั้น

   $t=\frac{-1\pm 7}{8}\ \Longrightarrow\ t_{1}=\frac{3}{4},\qquad t_{2}=-1.$

   ค่าทั้งสองอยู่ในช่วง $[-1,1]$ จึงไม่ต้องตัดทิ้งตัวใด ให้ตรวจข้อนี้เสมอ เพราะรากที่อยู่นอก $[-1,1]$ จะเป็นคำตอบแปลกปลอม

4. 4

   แก้ $\sin x=\tfrac34$ ค่านี้ไม่ใช่มุมมาตรฐาน คำตอบจึงคงอยู่ในรูป $\arcsin$ ไซน์มีค่าเท่ากับ $\tfrac34$ หนึ่งครั้งในจตุภาคที่หนึ่งและอีกครั้งในจตุภาคที่สอง

   $x=\arcsin\frac{3}{4}+2\pi n\quad\text{หรือ}\quad x=\pi-\arcsin\frac{3}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z},$

   ซึ่งสูตรกะทัดรัด $x=(-1)^{n}\arcsin\frac{3}{4}+\pi n$ รวบไว้ในบรรทัดเดียว เชิงตัวเลข $\arcsin\tfrac34\approx 0.8481$ เรเดียน $\approx 48.59^{\circ}$

5. 5

   แก้ $\sin x=-1$ ตรงนี้ไซน์แตะค่าต่ำสุดของมัน ซึ่งเกิดขึ้นเพียงจุดเดียวต่อคาบ จึงมีตระกูลคำตอบเดียว

   $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\quad\left(\text{หรือเทียบเท่ากับ }x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\qquad n\in\mathbb{Z}.$

6. 6

   ตรวจทั้งสองตระกูลกับสมการเดิม ที่ $x=\arcsin\tfrac34\approx 0.8481$: $\sin x-2\cos 2x=0.75-2(-0.125)=1$ ที่ $x=-\tfrac{\pi}{2}$: $-1-2\cos(-\pi)=-1+2=1$ ทั้งคู่สอดคล้องกับสมการ เซตคำตอบจึงเป็นยูเนียนของสองตระกูลนี้