เซกเตอร์วงกลมมีมุมที่จุดศูนย์กลาง π/3 เรเดียน และรัศมี 2 ฟุต จงหาความยาวส่วนโค้ง s และพื้นที่เซกเตอร์ A โดยปัดเป็นทศนิยมสามตำแหน่ง

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนสูตรของเซกเตอร์ทั้งสอง สำหรับมุมที่จุดศูนย์กลาง $\theta$ ในหน่วยเรเดียน

   $s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta$

   ทั้งสองเป็นเพียงเศษส่วน $\theta/(2\pi)$ ของเส้นรอบวงเต็ม $2\pi r$ และพื้นที่เต็ม $\pi r^2$

2. 2

   คำนวณความยาวส่วนโค้ง

   $s=r\theta=2\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}\approx 2.094\ \text{ฟุต}$

3. 3

   คำนวณพื้นที่เซกเตอร์ ยกกำลังสองรัศมีก่อน แล้วค่อยหารสอง

   $A=\frac12 r^2\theta=\frac12(2)^2\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac12(4)\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}\approx 2.094\ \text{ฟุต}^2$

4. 4

   เขียนคำตอบที่ปัดแล้วทั้งสองค่า

   $\boxed{s\approx 2.094\ \text{ฟุต},\qquad A\approx 2.094\ \text{ฟุต}^2}$

5. 5

   ตรวจด้วยความสัมพันธ์ A = ½rs การกำจัด $\theta$ ให้ $A=\tfrac12 rs$ และ $\tfrac12(2)\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\tfrac{2\pi}{3}$ ซึ่งเป็นพื้นที่ที่หาได้ข้างต้นพอดี

6. 6

   ทำไมคำตอบทั้งสองจึงมีค่าเท่ากันในข้อนี้ $A=\tfrac12 r^2\theta$ กับ $s=r\theta$ ต่างกันด้วยตัวประกอบ $\tfrac12 r$ ซึ่งเท่ากับ $1$ พอดีเมื่อ $r=2$ ความบังเอิญนี้จึงเป็นเรื่องเฉพาะของรัศมี $2$ และ ไม่ ตกทอดไปยังรัศมีค่าอื่น อีกทั้งหน่วยก็ยังต่างกันอยู่ ($\text{ฟุต}$ เทียบกับ $\text{ฟุต}^2$)