Trigonometry · real student question

จงหามุมอ้างอิงของแต่ละมุมต่อไปนี้ 210 องศา, 135 องศา, 5pi/3 และ 5pi/4

Question

จงหามุมอ้างอิงของแต่ละมุมต่อไปนี้

ก. 210∘210^\circ ข. 135∘135^\circ ค. 5π3\dfrac{5\pi}{3} ง. 5π4\dfrac{5\pi}{4}

Step-by-step solution

  1. เข้าใจก่อนว่ามุมอ้างอิงคืออะไร มุมอ้างอิงของ θ\theta คือมุมแหลมระหว่างด้านสิ้นสุดของ θ\theta กับ แกน xx ไม่ใช่แกน yy มันอยู่ในช่วง (0∘,90∘)(0^\circ,90^\circ) เสมอ หรือ (0,π2)\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right) ในหน่วยเรเดียน และเป็นสิ่งที่ทำให้เราอ่านขนาดของ sin⁡θ\sin\theta, cos⁡θ\cos\theta หรือ tan⁡θ\tan\theta จากจตุภาคที่หนึ่งได้ แล้วค่อยเติมเครื่องหมายที่ถูกต้องเข้าไป

  2. จำกฎหนึ่งข้อต่อหนึ่งจตุภาค สำหรับ θ\theta ระหว่าง 00 กับหนึ่งรอบเต็ม

    จตุภาคองศาเรเดียน
    Iθ\thetaθ\theta
    II180∘−θ180^\circ-\thetaπ−θ\pi-\theta
    IIIθ−180∘\theta-180^\circθ−π\theta-\pi
    IV360∘−θ360^\circ-\theta2π−θ2\pi-\theta

    แต่ละบรรทัดเป็นเพียงการวัดย้อนกลับไปหาครึ่งแกน xx ฝั่งที่ใกล้กว่า ถ้า θ\theta ติดลบหรือใหญ่กว่าหนึ่งรอบเต็ม ให้บวกหรือลบ 360∘360^\circ (2π2\pi) ก่อน

  3. ก. 210∘210^\circ เนื่องจาก 180∘<210∘<270∘180^\circ<210^\circ<270^\circ มุมนี้อยู่ในจตุภาคที่ III จึงลบด้วย 180∘180^\circ

    210∘−180∘=30∘210^\circ-180^\circ=30^\circ

  4. ข. 135∘135^\circ เนื่องจาก 90∘<135∘<180∘90^\circ<135^\circ<180^\circ มุมนี้อยู่ในจตุภาคที่ II จึงเอา 180∘180^\circ ตั้งแล้วลบออก

    180∘−135∘=45∘180^\circ-135^\circ=45^\circ

  5. ค. 5π3\dfrac{5\pi}{3} เขียนขอบเขตให้มีตัวส่วนเดียวกัน: π=3π3\pi=\tfrac{3\pi}{3}, 3π2=4.5π3\tfrac{3\pi}{2}=\tfrac{4.5\pi}{3} และ 2π=6π32\pi=\tfrac{6\pi}{3} เนื่องจาก 5π3\tfrac{5\pi}{3} อยู่ระหว่าง 4.5π3\tfrac{4.5\pi}{3} กับ 6π3\tfrac{6\pi}{3} มันจึงอยู่ในจตุภาคที่ IV

    2π−5π3=6π3−5π3=π32\pi-\frac{5\pi}{3}=\frac{6\pi}{3}-\frac{5\pi}{3}=\frac{\pi}{3}

  6. ง. 5π4\dfrac{5\pi}{4} เมื่อ π=4π4\pi=\tfrac{4\pi}{4} และ 3π2=6π4\tfrac{3\pi}{2}=\tfrac{6\pi}{4} มุม 5π4\tfrac{5\pi}{4} จึงอยู่ในจตุภาคที่ III

    5π4−π=5π4−4π4=π4\frac{5\pi}{4}-\pi=\frac{5\pi}{4}-\frac{4\pi}{4}=\frac{\pi}{4}

  7. ตรวจทุกคำตอบด้วยค่าไซน์ มุมอ้างอิงต้องให้ ขนาด ของอัตราส่วนตรีโกณมิติกลับมาเท่าเดิม: sin⁡210∘=−12\sin 210^\circ=-\tfrac12 และ sin⁡30∘=12\sin 30^\circ=\tfrac12; sin⁡135∘=22\sin 135^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2} และ sin⁡45∘=22\sin 45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}; sin⁡5π3=−32\sin\tfrac{5\pi}{3}=-\tfrac{\sqrt3}{2} และ sin⁡π3=32\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}; sin⁡5π4=−22\sin\tfrac{5\pi}{4}=-\tfrac{\sqrt2}{2} และ sin⁡π4=22\sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2} ทุกกรณีต่างกันเพียงเครื่องหมาย ตามที่ควรจะเป็น สังเกตว่า 210∘210^\circ กับ 5π4\tfrac{5\pi}{4} อยู่ในจตุภาคที่ III เหมือนกัน แต่ให้มุมอ้างอิงต่างกัน จตุภาคเป็นตัวเลือกกฎ ไม่ใช่ตัวเลือกคำตอบ

Answer

210∘→30∘,135∘→45∘,5π3→π3,5π4→π4210^\circ \to 30^\circ,\quad 135^\circ \to 45^\circ,\quad \tfrac{5\pi}{3} \to \tfrac{\pi}{3},\quad \tfrac{5\pi}{4} \to \tfrac{\pi}{4}

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions