แก้สมการ 3 tan x + √3 = 0 โดยเขียนคำตอบทั่วไป เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม

Step-by-step solution

1. 1

   แยกแทนเจนต์ออกมา ย้ายค่าคงตัวแล้วหารด้วย $3$:

   $\tan x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

   การทำให้ตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์ช่วยให้เห็นรูปที่คุ้นเคย: $\dfrac{\sqrt3}{3} = \dfrac{1}{\sqrt3}$ ดังนั้น $\tan x = -\dfrac{1}{\sqrt3}$

2. 2

   หามุมอ้างอิง $\tan\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt3}$ ได้จากสามเหลี่ยม $30^{\circ}$–$60^{\circ}$–$90^{\circ}$ ที่มีด้าน $1$, $\sqrt3$, $2$ มุมอ้างอิงจึงเป็น $\dfrac{\pi}{6}$ นั่นคือ $30^{\circ}$ ไม่ใช่ $\dfrac{\pi}{3}$ ซึ่งเป็นมุมที่ $\tan = \sqrt3$

3. 3

   ใช้เครื่องหมายกำหนดตำแหน่งของมุม แทนเจนต์เป็นลบในจตุภาคที่สองและที่สี่ เนื่องจาก $\tan$ เป็นฟังก์ชันคี่ คำตอบหลักจึงเป็นค่าลบของมุมอ้างอิงตรง ๆ:

   $x = -\frac{\pi}{6}$

4. 4

   บวกคาบเพียงหนึ่งเท่า ไม่ใช่สองเท่า แทนเจนต์มีคาบ $\pi$ ไม่ใช่ $2\pi$ และคำตอบทุกค่าถูกครอบคลุมด้วยตระกูลเดียว:

   $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}$

   การเขียนเป็น $-\tfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ จะทำให้คำตอบหายไปครึ่งหนึ่ง ส่วนการเขียนเป็น $\tfrac{\pi}{6} + \pi k$ จะให้ $\tan x = +\tfrac{1}{\sqrt3}$ ซึ่งเครื่องหมายผิด

5. 5

   ตรวจคำตอบ ที่ $k=0$: $\tan\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right) = -\tfrac{\sqrt3}{3}$ และ $3\left(-\tfrac{\sqrt3}{3}\right) + \sqrt3 = -\sqrt3 + \sqrt3 = 0$ ✓ ที่ $k=1$: $x = \tfrac{5\pi}{6}$ และ $\tan\tfrac{5\pi}{6} = -\tfrac{\sqrt3}{3}$ ✓ เป็นคำตอบในจตุภาคที่สองตามที่คาด