แก้สมการ 4 × cos(x) × cos(x) − 3 = 0 โดยเขียนคำตอบทั่วไป

Step-by-step solution

1. 1

   อ่านสัญกรณ์ให้ถูก สัญลักษณ์ระหว่างตัวประกอบโคไซน์สองตัวคือเครื่องหมายคูณ ไม่ใช่ตัวแปร นิพจน์จึงเป็น $4\cos x\cdot\cos x=4\cos^{2}x$ และสมการคือ

   $4\cos^{2}x-3=0.$

   การเขียนตัวประกอบที่ซ้ำกันให้เป็นกำลังสองคือขั้นที่ทำให้สมการกลายเป็นสมการกำลังสองธรรมดาในตัวแปร $\cos x$

2. 2

   แยก $\cos^{2}x$ ออกมา บวก $3$ แล้วหารด้วย $4$:

   $\cos^{2}x=\frac34.$

   ค่า $\tfrac34$ อยู่ใน $[0,1]$ จึงมีคำตอบจริง ถ้าข้างขวาเกิน $1$ ก็จะไม่มีคำตอบเลย

3. 3

   ถอดรากที่สองโดยใส่ทั้งสองเครื่องหมาย จาก $\cos^{2}x=\tfrac34$

   $\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$

   มุมอ้างอิงของ $\tfrac{\sqrt3}{2}$ คือ $\tfrac{\pi}{6}$ ($30^{\circ}$) การทิ้งกิ่งลบไปจะทำให้คำตอบหายไปครึ่งหนึ่ง เป็นความพลาดที่พบบ่อยมาก

4. 4

   เขียนมุมฐานทั้งหมดในหนึ่งรอบเต็ม สำหรับ $\cos x=+\tfrac{\sqrt3}{2}$: $x=\tfrac{\pi}{6}$ และ $x=\tfrac{11\pi}{6}$ สำหรับ $\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}$: $x=\tfrac{5\pi}{6}$ และ $x=\tfrac{7\pi}{6}$ รวมสี่คำตอบต่อคาบ $2\pi$ สมมาตรทั้งรอบแกนตั้งและแกนนอน

5. 5

   รวมให้เหลือสองตระกูลที่กระชับ มุมทั้งสี่คือ $\pm\tfrac{\pi}{6}$ และ $\pm\tfrac{\pi}{6}+\pi$ คำตอบทั่วไปจึงเป็น

   $x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$

   ตรวจดู: $4\cos^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)-3=4\cdot\tfrac34-3=0$ ✓ และที่ $\tfrac{5\pi}{6}$ กับ $\tfrac{7\pi}{6}$ ก็เช่นกัน ✓ คาบเป็น $\pi$ ไม่ใช่ $2\pi$ เพราะ $\cos^{2}$ ไม่เปลี่ยนค่าเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น $\pi$