แก้สมการ 3sin(0.5x − 3) + 1 = 3 หาค่า x ที่เป็นจำนวนจริงทุกค่า

Step-by-step solution

1. 1

   แยกตัวไซน์ออกมาก่อน ตราบใดที่ไซน์ยังถูกฝังอยู่ใต้ตัวคูณและการเลื่อน ก็ยังทำอะไรเชิงตรีโกณมิติไม่ได้ ลบ $1$ แล้วหารด้วย $3$:

   $3\sin(0.5x-3)=2\qquad\Longrightarrow\qquad \sin(0.5x-3)=\frac{2}{3}$

2. 2

   ยืนยันว่ามีคำตอบอยู่จริง ไซน์รับค่าได้เฉพาะใน $[-1,1]$ และ $\tfrac{2}{3}\approx0.667$ อยู่ในช่วงนั้น จึงมีคำตอบ (ถ้าข้างขวาเกิน $1$ สมการจะไม่มีคำตอบเลย การตรวจข้อนี้คุ้มที่จะทำก่อนลงมือพีชคณิตใด ๆ)

3. 3

   เขียนคำตอบทั่วไปของไซน์ทั้งสองกิ่ง ให้ $\theta=0.5x-3$ สมการ $\sin\theta=\tfrac23$ มีคำตอบสองตระกูลต่อหนึ่งคาบ เพราะไซน์ผ่านค่าเดิมหนึ่งครั้งขาขึ้นและอีกหนึ่งครั้งขาลง:

   $\theta=\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+2\pi k\qquad\text{หรือ}\qquad \theta=\pi-\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$

   การเก็บเฉพาะกิ่งแรกคือความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดของโจทย์นี้

4. 4

   ย้อนการแปลงข้างในกลับ บวก $3$ แล้วคูณด้วย $2$ การคูณด้วย $2$ ทำให้ $2\pi k$ กลายเป็น $4\pi k$ ด้วย เพราะคาบของ $\sin(0.5x-3)$ ในตัวแปร $x$ คือ $\tfrac{2\pi}{0.5}=4\pi$ ไม่ใช่ $2\pi$:

   $x=6+2\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+4\pi k\qquad\text{หรือ}\qquad x=6+2\pi-2\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+4\pi k$

5. 5

   คำนวณคำตอบหลักเชิงตัวเลข $\arcsin\!\left(\tfrac23\right)\approx0.7297$ ดังนั้นคำตอบฐานทั้งสองคือ $x\approx6+1.4595=7.4595$ และ $x\approx6+6.2832-1.4595=10.8237$

6. 6

   ตรวจทั้งสองด้วยการแทนค่า สำหรับ $x\approx7.4595$: $0.5x-3\approx0.7297$ และ $3\sin(0.7297)+1=3.0000$ ✓ สำหรับ $x\approx10.8237$: $0.5x-3\approx2.4119$ และ $3\sin(2.4119)+1=3.0000$ ✓ การบวกพหุคูณของ $4\pi$ เข้ากับค่าใดค่าหนึ่งก็ให้ค่าเดิมเช่นกัน