จงแก้หา a จาก 120² = 150² + a² − 2 × 150 × a × cos(30°)

Step-by-step solution

1. 1

   สังเกตว่าเป็นกฎของโคไซน์ที่ตัวไม่ทราบค่าอยู่ผิดตำแหน่ง ใน $c^{2}=b^{2}+a^{2}-2ba\cos C$ ตัวไม่ทราบค่า $a$ ปรากฏทั้งแบบยกกำลังสองและแบบเชิงเส้น นี่จึงเป็นสมการกำลังสองในตัวแปร $a$ ไม่ใช่การแทนค่าขั้นเดียว ให้คาดหมายว่าจะได้คำตอบที่เป็นบวกได้ถึงสองค่า — คือกรณีกำกวมแบบ SSA ที่สามเหลี่ยมสองรูปต่างกันใช้ข้อมูลชุดเดียวกัน

2. 2

   แทนค่าที่ทราบ เมื่อ $120^{2}=14400$, $150^{2}=22500$ และ $\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2}$

   $14400=22500+a^{2}-2(150)a\cdot\frac{\sqrt3}{2}=22500+a^{2}-150\sqrt3\,a$

   ตัวประกอบ 2 ตัดกับตัวส่วนของ $\cos 30^{\circ}$ พอดี เหลือสัมประสิทธิ์สวย ๆ คือ $150\sqrt3$

3. 3

   จัดให้อยู่ในรูปมาตรฐานของสมการกำลังสอง

   $a^{2}-150\sqrt3\,a+8100=0$

   เพราะ $22500-14400=8100$

4. 4

   ใช้สูตรกำลังสองแล้วจัดรูปกรณฑ์

   $\left(150\sqrt3\right)^{2}=67500,\qquad 67500-4(8100)=35100,\qquad \sqrt{35100}=30\sqrt{39}$

   ดังนั้น

   $a=\frac{150\sqrt3\pm 30\sqrt{39}}{2}=75\sqrt3\pm 15\sqrt{39}$

5. 5

   เปลี่ยนเป็นทศนิยมอย่างระมัดระวัง เมื่อ $\sqrt3=1.7320508$ และ $\sqrt{39}=6.2449980$

   $75\sqrt3=129.9038,\qquad 15\sqrt{39}=93.6750$

   $a=129.9038+93.6750=223.5788\qquad\text{หรือ}\qquad a=129.9038-93.6750=36.2288$

6. 6

   ตรวจทั้งสองค่าในสมการเดิม สำหรับ $a=223.5788$: $22500+49987.5-2(150)(223.5788)(0.866025)=14400$ ✓ สำหรับ $a=36.2288$: $22500+1312.5-9412.5=14400$ ✓ ทั้งสองค่าเป็นบวก ดังนั้นสามเหลี่ยมทั้งสองรูปใช้ได้จริงในเชิงเรขาคณิต และต้องรายงานทั้งคู่