Calculus
ลากแล้ววางหรือ คลิก เพื่อเพิ่มรูปภาพ
Real calculus questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
สมการนี้มีรากพอดีสามราก คือ x ≈ 1.28378, 2.49096 และ 3.58430 เมื่อเลย x = 1 + e^1.5 ≈ 5.48 ไป พจน์ลอการิทึมจะเกิน 3 จึงไม่มีจุดตัดเพิ่มอีก
คำตอบคือ x(t) = 1/(C − 2t²) พร้อมกับคำตอบคงตัว x = 0 ซึ่งการแยกตัวแปรทำหล่นหายไปตอนหารด้วย x² พร้อมการหาคำตอบเต็มรูปแบบและการตรวจสอบ
f(0) = 1 คาบของการแกว่งเป็น 2π และเส้นโค้งขอบเขตคือ y = ±e^(−αx) เครื่องหมายของ α เป็นตัวตัดสินว่าการแกว่งจะลดลง คงที่ หรือขยายตัว
ปฏิยานุพันธ์คือ x/2 + sin(2x)/4 + C การเขียน cos²x ใหม่เป็น (1 + cos 2x)/2 กำจัดกำลังสองออกไป เหลือปริพันธ์มูลฐานสองก้อนแทนที่จะเป็นผลคูณ
ปฏิยานุพันธ์คือ D(Ka)^(−1/n) ₂F₁(1/n, 1/n; 1 + 1/n; −Dⁿ/Ka) + C ดึง Ka ออกมา กระจายอนุกรมทวินามแล้วอินทิเกรตทีละพจน์ กรณี n = 2 จะยุบเป็น arcsinh
ผลลัพธ์คือ x^(1−b)[(1−b)sin(a ln x) − a cos(a ln x)]/((1−b)² + a²) + C การแทนค่า u = ln x เปลี่ยนมันให้เป็นปริพันธ์มาตรฐานของเลขชี้กำลังคูณไซน์
F(x) = (1/2) ln(2x + 1) และ F((e² − 1)/2) = 1 แทนค่า u = 2x + 1 ใช้ F(0) = 0 กำจัดค่าคงตัว แล้วสังเกตว่า 2x + 1 ยุบเหลือ e² พอดี
เส้นโค้งทั้งสองตัดกันที่ x = −1 และ x = 2 การอินทิเกรต (x + 2) − x² ตลอดช่วงนั้นให้พื้นที่ที่ล้อมรอบเท่ากับ 9/2 ตารางหน่วยพอดี
พื้นที่คือ 9/2 หาจุดตัดที่ x = 0 และ x = 3 ตั้งปริพันธ์สองชั้นของ 1 โดยให้ y วิ่งจาก x ขึ้นไปถึง 4x − x² แล้วอินทิเกรตความสูงของแถบ 3x − x²
บริเวณระหว่าง x² + y² = 7y กับ x² + y² = 9y ที่ถูกตัดด้วย y = x/√3 และ x = 0 มีพื้นที่ 8π/3 + 2√3 ≈ 11.84 ตั้งปริพันธ์พื้นที่เชิงขั้วและหาค่าทีละขั้น
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยคือ 49 คำนวณจาก (f(5) − f(3))/(5 − 3) = (125 − 27)/2 ซึ่งเป็นความชันของเส้นตัดที่เชื่อมจุดสองจุดบนกราฟกำลังสาม
ผลบวกคือ π²/6 หรือราว 1.644934 มันลู่เข้าในฐานะอนุกรม p ที่ p = 2 และออยเลอร์หาค่าที่แน่นอนได้ด้วยการแยกตัวประกอบ sin(x)/x ตามรากของมัน
คำตอบคือ y³ = 1/(1 + C(1+t²)) การแทนค่า v = y⁻³ เปลี่ยนสมการแบร์นูลลีนี้ให้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่งที่มีตัวประกอบปริพันธ์ 1/(1+t²)
คำตอบคือผลบวกของ (−1)ⁿ C(k,n) xⁿ = 1 − kx + k(k−1)x²/2! − … ใช้ได้เมื่อ |x| < 1 เครื่องหมายลบแต่ละตัวมาจากการแทน −x ลงในการกระจายทวินาม
x = 1 เป็นจุดไม่ต่อเนื่องแบบขจัดได้ คือรูโหว่ที่ (1, −2) ส่วน x = 2 ขจัดไม่ได้ เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง แยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วนแล้วดูว่าตัวประกอบใดตัดกันได้
ผลบวกเท่ากับ e^(1 + 2/n)(e² − 1)/(e^(2/n) − 1) เพราะแต่ละพจน์เท่ากับพจน์ก่อนหน้าคูณ e^(2/n) จึงใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิตจำกัดได้โดยตรง
ค่าปริพันธ์เท่ากับ 0 ทฤษฎีบทของกรีนเปลี่ยนโจทย์ให้เป็นปริพันธ์สองชั้นของ ∂Q/∂x − ∂P/∂y และอนุพันธ์ย่อยทั้งสองเท่ากับ eʸ ตัวถูกอินทิเกรตจึงเป็นศูนย์ และรูปร่างของเส้นทางปิดไม่มีผลใด ๆ
แยกที่ N = ⌊1/x⌋ ส่วนหัวถูกครอบด้วย 1/(√N ln 2) + 2/ln N โดยใช้ |sin nx| ≤ nx และการหาผลรวมแบบอาเบลครอบส่วนหางด้วย 2π/ln(N + 1) ทั้งสองส่วนเข้าสู่ศูนย์เมื่อ x → 0
ปริพันธ์นี้เท่ากับ π พอดี ส่วน x³ cos(x/2) เป็นฟังก์ชันคี่จึงอินทิเกรตได้ 0 และส่วนที่เหลือคือครึ่งหนึ่งของพื้นที่วงกลมรัศมี 2
อนุพันธ์คือ 3x² − 6x + 2 และปริพันธ์จาก 0 ถึง 3 เท่ากับ 9/4 ใช้กฎกำลังก่อน แล้วใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสหาพื้นที่เชิงเครื่องหมาย
อนุพันธ์คือ (x − 1)^x [ln(x − 1) + x/(x − 1)] เมื่อ x > 1 ใช้กฎกำลังหรือกฎเลขชี้กำลังไม่ได้ทั้งคู่ จึงต้องใส่ ln ทั้งสองข้างก่อน
กำจัด a และ b ออกจาก x²/a² − y²/b² = 1 จะได้ xy y″ + x(y′)² − y y′ = 0 หาอนุพันธ์สองครั้ง แล้วหารสองความสัมพันธ์กันเพื่อกำจัดค่าคงตัวทั้งคู่ในทีเดียว
หาปริพันธ์สองชั้นของ x กำลังสอง ลบ 8y บนสี่เหลี่ยมมุมฉาก -2 ≤ x ≤ -1, 0 ≤ y ≤ 1 พร้อมวิธีทำปริพันธ์ซ้ำที่มีขอบเขตเป็นค่าคงตัวทีละขั้น
ปริพันธ์สองชั้นนี้เท่ากับ 16π/9 = 5.585 อินทิเกรตตาม y ก่อนจะได้ (8/3)x sin³x เขียน sin³x ใหม่ด้วยเอกลักษณ์มุมสามเท่า แล้วใช้การอินทิเกรตทีละส่วน
หาปริพันธ์สองชั้นของ x cos(x + y) บนสามเหลี่ยมจุดยอด (0,0), (π,0), (π,π) ขอบเขต 0 ≤ y ≤ x ให้คำตอบที่แน่นอนคือ −3π/2 ≈ −4.712
หาปริพันธ์สองชั้นของ 9y + 4x บนบริเวณที่ล้อมด้วย y = 4x² − 9 และ y = 9 − 4x² หาขอบเขตก่อน แล้วใช้สมมาตรตอบได้ทันที
คำตอบคือ a = 2, b = 3, c = 4 ตัวเศษต้องเป็นศูนย์ที่ x = 1 ลิมิตจึงจะจำกัด แยกตัวประกอบได้ลิมิตเท่ากับ 3 และกิ่งซ้าย −x + c ต้องมีค่าตรงกัน
ผลเฉลยทั่วไปคือ y = e^(−x) + Ce^(−2x) คูณตลอดด้วยตัวประกอบปริพันธ์ e^(2x) มองให้ออกว่าเป็นกฎผลคูณ อินทิเกรตหนึ่งครั้งแล้วหารกลับ
สำหรับ f = x²y + x e^(−xy) อนุพันธ์ระบุทิศทางในทิศ (0, −1) คือ −x²(1 − e^(−xy)) ซึ่งก็คือค่าลบของอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ y นั่นเอง
dy/dx = −(3x² + 2xy)/(x² + 3y²) หาอนุพันธ์ทุกพจน์เทียบกับ x ใช้กฎผลคูณกับ x²y และกฎลูกโซ่กับ y³ แล้วแก้หา dy/dx
คำตอบคือ dy/dx = (sec y + 2y sec² 2x)/(4 − tan 2x − x sec y tan y) ทั้งสองข้างต้องใช้กฎผลคูณ และกฎลูกโซ่ทำให้เกิดตัวประกอบ 2 จากข้างใน tan 2x
dy/dx = (−180x⁵ − 400x¹⁹y)/(20x²⁰ + 8y⁷) พจน์ 20x²⁰y ต้องใช้กฎผลคูณ และทุก y ที่ถูกหาอนุพันธ์จะทิ้งตัวประกอบ dy/dx ไว้
ค่าของปริพันธ์คือ π/8 ประมาณ 0.3926991 ดึง 4 ออกมาแล้วเหลือหนึ่งในสี่ของปริพันธ์มาตรฐานของ 1/(1+x²)² ซึ่งมีค่า π/2 ตลอดเส้นจำนวนจริง
ค่าของปริพันธ์คือ 1/3 การแทน x = cosh t ทำให้ x + √(x²−1) กลายเป็น e^t และขอบล่างต้องเป็น 1 ไม่ใช่ 0 ตัวถูกอินทิเกรตจึงจะเป็นจำนวนจริง
คำตอบคือ −1 ปฏิยานุพันธ์ x ln x − x ได้จากการอินทิเกรตทีละส่วน ส่วนปลายที่ 0 จัดการด้วยลิมิต a ln a → 0 เมื่อ a → 0⁺
ปริพันธ์จากลบอนันต์ถึง 0 ของ 1/(3√((x−8)²)) ลู่ออกไปยังบวกอนันต์ เขียนกรณฑ์ใหม่เป็น 8 − x อินทิเกรตได้ลอการิทึม แล้วหาลิมิต
ค่าของปริพันธ์คือ 1/2 พอดี การแทน u = x² เปลี่ยนตัวถูกอินทิเกรตเป็น (1/2)e^(−u) และเมื่อขอบบนโตขึ้น e^(−b²) จะหายไป ปริพันธ์จึงลู่เข้า
ค่าของปริพันธ์คือ 6 ตัวถูกอินทิเกรตพุ่งขึ้นที่ x = 0 จึงต้องแยกปริพันธ์ตรงนั้น แต่ทั้งสองครึ่งลู่เข้าสู่ 3 เพราะปฏิยานุพันธ์ 3x^(1/3) ยังมีค่าจำกัด
คำตอบคือ −(1/b)ln|a − bx| + C การแทน u = a − bx ให้ du = −b dx ส่วนกลับของความชันข้างในพร้อมเครื่องหมายลบจึงถูกดึงออกมาไว้ข้างหน้า
คำตอบคือ 2ln|x| + 1/x + C เลขชี้กำลัง −1 ต้องใช้ลอการิทึม ส่วน −2 ใช้กฎกำลังธรรมดา สองพจน์นี้จึงมีพฤติกรรมต่างกันมาก
คำตอบคือ 3ln|x| + 2/x + C พจน์ x^−1 ต้องใช้ข้อยกเว้นแบบลอการิทึม ส่วน x^−2 ใช้กฎกำลังธรรมดา และลบสองตัวกลายเป็นบวก
คำตอบคือ Ei(x) + C หรือปริพันธ์เลขชี้กำลัง ไม่มีการประกอบกันของฟังก์ชันมูลฐานใดที่หาอนุพันธ์แล้วได้ e^x/x จึงจำเป็นต้องใช้ฟังก์ชันพิเศษจริง ๆ
ปฏิยานุพันธ์คือ −(1/2)e^(−x²) + C ตัวประกอบ x ที่อยู่ข้างนอกเป็นครึ่งหนึ่งของ du พอดี ซึ่งทำให้การแทนค่านี้ปิดจบได้สมบูรณ์
ผลคูณลู่เข้าสำหรับทุก x > 0 โดยเปรียบเทียบกับผลบวกของ 1/n² และ ln ของผลคูณหารด้วย √x ลู่เข้าสู่ π ซึ่งสูตรผลคูณ sinh ของออยเลอร์ทำให้เห็นได้พอดี
มีเพียงสองค่าคือ m = −1 และ m = 0 อนุพันธ์ (4 − m²)/(x − m)² ต้องการ m² < 4 และเส้นกำกับแนวตั้ง x = m ต้องอยู่นอกช่วง (0, ∞) จึงบังคับให้ −2 < m ≤ 0
คำตอบคือ (b − a)u/(ab√(a − bu²)) + arcsin(u√(b/a))/(b√b) + C การเขียน u² ใหม่เป็น (a − (a − bu²))/b ทำให้ปริพันธ์แยกออกเป็นสองรูปมาตรฐาน
คำตอบคือ 2 arsinh(√x) + C หรือเขียนได้เท่ากับ 2 ln(√x + √(x+1)) + C การแทน x = sinh²(t) ทำให้กรณฑ์ทั้งสองกลายเป็นนิพจน์ตรรกยะพร้อมกัน
ปฏิยานุพันธ์คือ ln|x| + C ถ้าไม่มีค่าสัมบูรณ์ สูตรจะไม่นิยามเมื่อ x < 0 ทั้งที่ 1/x ตรงนั้นมีพฤติกรรมดีและอินทิเกรตได้
การแทน x − 1 = 1/t เปลี่ยนกรณฑ์เป็น √(4 − 1/t²) และเปลี่ยนปริพันธ์เป็นรูปมาตรฐานแบบไฮเพอร์โบลิกผกผัน ได้ −(1/2) ln|(2 + √(−x²+2x+3))/(x−1)| + C
ปฏิยานุพันธ์คือ −1/x − (2/3)√x + C เขียนทั้งสองพจน์ใหม่ให้เป็นกำลัง คือ x^(−2) และ (1/3)x^(−1/2) แล้วบวกหนึ่งเข้ากับเลขชี้กำลังและหารด้วยค่าใหม่นั้น
คำตอบคือ tan y + C เอกลักษณ์พีทาโกรัสเปลี่ยน 1 + tan² y ให้เป็น sec² y ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันแทนเจนต์พอดี จึงแทบไม่ต้องทำงานอะไรเลย
ปฏิยานุพันธ์คือ ln|(1 + x)/(1 − x)| + C เนื่องจาก 1 − x² = (1 − x)(1 + x) ตัวถูกอินทิเกรตจึงแยกเป็น 1/(1 − x) + 1/(1 + x) แล้วลอการิทึมสองตัวรวมกันได้
คำตอบคือ (2^x + 4)^6 / (6 ln 2) + C เนื่องจาก d(2^x) = 2^x ln 2 dx ตัวประกอบ 2^x ที่อยู่ข้างนอกจึงเป็นอนุพันธ์ที่ต้องการพอดี ต่างกันแค่ค่าคงตัว ln 2
ปริพันธ์ของ 25x^(3/2) คือ 10x^(5/2) + C บวก 1 เข้ากับเลขชี้กำลัง 3/2 ได้ 5/2 แล้วสังเกตว่าการหารด้วย 5/2 ก็คือการคูณด้วย 2/5
คำตอบคือ 2e^(2x) + (1/2)cos(2x) + C สัมประสิทธิ์ข้างในคือ 2 ไปหารผลลัพธ์ทั้งสองพจน์ และเครื่องหมายลบหน้า sin 2x ทำให้พจน์โคไซน์เป็นบวก
ค่าประมาณคือ 1.09869 ไม่มีรูปปิดแบบมูลฐาน จึงกระจาย 1/cosh x เป็นอนุกรมเลขชี้กำลังสลับเครื่องหมาย แล้วยืนยันผลด้วยการหาปริพันธ์เชิงตัวเลข
คำตอบคือ (1/2)sin(2x) + C กฎลูกโซ่จะคูณด้วย 2 ตอนหาอนุพันธ์ย้อนกลับ ปฏิยานุพันธ์จึงต้องพกส่วนกลับคือ 1/2 ไว้ข้างหน้า
อนุพันธ์ของ sin x คือ cos x การให้ u = 5 sin x + 2 จึงได้ du = 5 cos x dx และปริพันธ์ยุบเหลือเพียง 1/5 เท่าของปริพันธ์ของ sin u
ในฐานะปริพันธ์ไม่ตรงแบบธรรมดา ปริพันธ์นี้ลู่ออก แต่ในฐานะการแจกแจงมันเท่ากับ 2πδ(x) การตัดที่ ±A ให้ 2sin(Ax)/x ซึ่งแกว่งไม่รู้จบแต่ลู่เข้าแบบอ่อนสู่ 2πδ(x)
ผลลัพธ์คือ (√π/2)erf(x) + C ไม่มีปฏิยานุพันธ์แบบมูลฐาน ปริพันธ์นี้จึงนิยามผ่าน erf ซึ่งตัวประกอบ 2/√π ของมันถูกหักล้างไปพอดี
ปฏิยานุพันธ์คือ γ(4.102378, x) + C หรือเขียนได้เท่ากับ −Γ(4.102378, x) เลขชี้กำลังที่ไม่เป็นจำนวนเต็มปิดกั้นการอินทิเกรตทีละส่วน คำตอบจึงเป็นฟังก์ชันพิเศษ
ค่าของปริพันธ์คือ 12ζ(3)² − 2π⁶/45 ประมาณ −25.3891 แยกเคอร์เนล กระจายเป็นอนุกรม แล้วหาค่าผลบวกออยเลอร์ของ H(m)/m⁵ ในรูปปิด
การอินทิเกรตทีละส่วนเหลือก้อนที่ไม่ใช่ฟังก์ชันมูลฐานคือ ln(1+x²)/x ซึ่งเท่ากับ −Li₂(−x²)/2 ปฏิยานุพันธ์ที่สมบูรณ์จึงต้องใช้ฟังก์ชันไดลอการิทึม
ไม่มีปฏิยานุพันธ์แบบมูลฐาน การปรับสเกลให้เป็นรูปมาตรฐานให้ −2√(10π)·C(√(8/(5π))·t) + C₁ โดยที่ C(x) คือปริพันธ์โคไซน์เฟรแนล
ไม่มีปฏิยานุพันธ์แบบมูลฐาน การแทน u = ln x แล้วกระจาย 1/(1 + e^(−u)) ให้ (ln x)^(1−a)/(1 − a) บวกกับอนุกรมของฟังก์ชันแกมมา Γ(1 − a, n ln x)
แยกโคไซน์ออกมาหนึ่งตัว เปลี่ยนที่เหลือด้วย cos² = 1 − sin² แล้วแทน u = sin x จะได้ปฏิยานุพันธ์เป็น sin³(x)/3 − sin⁵(x)/5 + C
คำตอบคือ (1/4)cot(4 cos x) + C การแทน u = 4 cos x เปลี่ยนตัวถูกอินทิเกรตเป็น −(1/4)csc²(u) ซึ่งมีปฏิยานุพันธ์เป็น (1/4)cot(u)
ค่าของปริพันธ์คือ π/10 ตัวถูกอินทิเกรตคืออนุพันธ์ระบุทิศทางในแนวรัศมี จึงเฉลี่ย f ตาม theta ค่าเฉลี่ยสอดคล้องกับ (r g')' = r³ ให้ g' = r³/4 โดยไม่ขึ้นกับว่าใช้ f ตัวใด
คำตอบคือ −cos(7x⁴ + 3)/28 + C ตัว x³ ที่อยู่ข้างนอกแทบจะเป็นอนุพันธ์ของข้างใน 7x⁴ + 3 อยู่แล้ว การแทนค่าจึงใช้ได้ และไม่ต้องอินทิเกรตทีละส่วนเลย
ปฏิยานุพันธ์คือ −1/(2(x²−2x+3)) + C ตัวเศษเป็นครึ่งหนึ่งของอนุพันธ์ของฐาน ซึ่งเป็นแบบรูปที่การแทนค่า u ถูกสร้างมาเพื่อจัดการพอดี
ปฏิยานุพันธ์คือ −5 ln|x − 2| + 6 ln|x − 3| + C แยกตัวประกอบตัวส่วนเป็น (x − 2)(x − 3) แยกเป็นเศษส่วนง่าย ๆ สองก้อน แล้วอินทิเกรตเป็นลอการิทึมทีละก้อน
คำตอบคือ −(x/2)e^(−x²) + (√π/4)erf(x) + C จับ x หนึ่งตัวไปคู่กับฟังก์ชันเลขชี้กำลังเพื่อให้ขั้นอินทิเกรตทีละส่วนใช้ได้ แล้วเขียนก้อนเกาส์เซียนที่เหลือด้วย erf
คำตอบคือ e^x(x² − 2x + 2) + C ดูว่าการเลือก u = x² ลดกำลังลงทุกรอบอย่างไร ทำไมต้องทำสองรอบ และตรวจคำตอบด้วยการหาอนุพันธ์
คำตอบคือ −x² cos x + 2x sin x + 2 cos x + C การทำทีละส่วนแต่ละรอบลดกำลังของ x ลงหนึ่ง พหุนามดีกรี 2 จึงต้องใช้สองรอบพอดี
คำตอบคือ −3π/2 แยกเป็นปริพันธ์ที่ทำทีละส่วนสองก้อน ก้อน x sin(2x) ให้ −π/2 และก้อน x sin(x) ให้ π เมื่อลบกันจึงเหลือ −π/2 − π ซึ่งคือ −3π/2
คำตอบคือ (1/5)(x²+1)^(5/2) − (2/3)(x²+1)^(3/2) + (x²+1)^(1/2) + C การเขียน x⁴ เป็น (u−1)² เปลี่ยนตัวถูกอินทิเกรตให้เป็นกำลังของ u ง่าย ๆ สามก้อน
ปฏิยานุพันธ์คือ x⁴/4 − 3x²/2 + 5 ln|x| + C ให้หารทุกพจน์ในตัวเศษด้วย x ก่อน แล้วจึงใช้กฎกำลังกับกฎลอการิทึมของ 1/x แยกกัน
คำตอบคือ −ln|y| + C ค่าคงตัว 2 กับ −2 ตัดกันเหลือ −1 เหลือปริพันธ์ส่วนกลับมาตรฐานที่ปฏิยานุพันธ์ต้องใช้ค่าสัมบูรณ์
ปฏิยานุพันธ์คือ (25/7) y^(7/5) + C บวก 1 เข้ากับเลขชี้กำลัง 2/5 ได้ 7/5 และการหารด้วย 7/5 คือการคูณด้วย 5/7 ดังนั้น 5 คูณ 5/7 จึงเป็น 25/7
ปฏิยานุพันธ์คือ e^(6x)/6 + C กฎลูกโซ่ดึงตัวประกอบ 6 ออกมาข้างหน้าตอนหาอนุพันธ์ การอินทิเกรตจึงต้องหารด้วย 6 เพื่อชดเชย
ปฏิยานุพันธ์คือ x⁴/4 + 6x + C กฎกำลังยกเลขชี้กำลังจาก 3 เป็น 4 แล้วหารด้วย 4 ส่วนค่าคงตัว 6 อินทิเกรตแล้วได้พจน์เชิงเส้น 6x
ปฏิยานุพันธ์คือ x²/2 + 3x + C แยกปริพันธ์ทีละพจน์ ใช้กฎกำลังกับ x และมอง 3 เป็นค่าคงตัว 3x⁰ แล้วเติมค่าคงตัว C เพียงตัวเดียว
ปฏิยานุพันธ์คือ x³/3 − (26/3)x^(3/2) + C การเขียน x^(2/4) ใหม่เป็น x^(1/2) ก่อน คือขั้นที่ทำให้ใช้กฎกำลังได้อย่างสะอาด
ช่วงการลู่เข้าคือช่วงปิด [−1, 1] สัมประสิทธิ์ยุบเหลือ 2/(n(n+2)) ซึ่งลดลงแบบ 1/n² รัศมีจึงเป็น 1 และจุดปลายทั้งสองยังลู่เข้า
ผลลัพธ์คือ 0.4δ(t−1) + 0.2δ(t−2) + 0.4δ(t−3) ตัว e^(−as) โดด ๆ ที่ไม่มี F(s) ติดมาด้วยจะแปลงผกผันได้เดลตาของดิแรกที่ถูกเลื่อน และเครื่องหมายของเลขชี้กำลังเป็นตัวกำหนดระยะเลื่อน
คำตอบคือไม่ได้ Li₂ นิยามและต่อเนื่องที่ 1 โดยมีค่า π²/6 แต่อนุพันธ์ของมัน −ln(1−x)/x ลู่ออกไปยัง +อนันต์ เมื่อ x เข้าใกล้ 1 จากทางซ้าย
ได้ การหาอนุพันธ์ทีละพจน์ให้อนุกรมฮาร์มอนิกสลับเครื่องหมาย ซึ่งลู่เข้าสู่ ln 2 และทฤษฎีบทของอาเบลทำให้ลิมิตนั้นเป็นอนุพันธ์ด้านเดียวที่จุดปลายจริง ๆ
คำตอบคือ π/4 + 1/6 พจน์ x² ตัดกันหลังกระจายกำลังสอง เหลือปริพันธ์ที่เป็นพื้นที่หนึ่งในสี่วงกลมบวกกับพจน์พหุนามพื้นฐานอีกสองก้อน
ปริพันธ์นี้เท่ากับ 2/3 + π/4 ≈ 1.4520648 การอินทิเกรตชั้นในตาม y ยุบเหลือ 1 − x² + √(1 − x²) ซึ่งก้อนสุดท้ายคือพื้นที่หนึ่งในสี่ของแผ่นจานเท่ากับ π/4
คำตอบใช้สูตรเซแคนต์กำลังสาม หลังอินทิเกรตชั้นในตาม r แล้ว โจทย์กลายเป็นปริพันธ์ของ sec³ ซึ่งต้องใช้ปฏิยานุพันธ์มาตรฐานแบบลอการิทึมบวกผลคูณ
ผลเฉลย y(t) = 2e^t − t² − 2 + 4u(t−2)sinh(t−2) แปลงแรงกระตุ้นเป็น e^(−2s) แยกพีชคณิตด้วยเศษส่วนย่อย แล้วแปลงผกผันทีละพจน์
แก้ y′(t) − 2∫₀ᵗ y(τ)sin(t−τ)dτ = 1 เมื่อ y(0) = −1 ทฤษฎีบทคอนโวลูชันเปลี่ยนปริพันธ์ให้เป็นผลคูณ ได้ y(t) = −1/2 − ½e^(−t/2)cos(√7t/2) + …
ผลบวกซ้ายเท่ากับ 55 และผลบวกขวาเท่ากับ 74.5 สำหรับ f(x) = 2x² − x − 1 บน [2, 5] เพราะ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วงนี้ ทั้งสองค่าจึงคร่อมพื้นที่จริง 64.5 ไว้
ลิมิตเท่ากับ 2 หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนภายในรากด้วย x² อัตราส่วนจึงลู่เข้าสู่ 36/9 = 4 และรากที่สองของ 4 คือ 2
ลิมิตเป็น −∞ การหาอนุพันธ์ของอนุกรมให้ (e^x − 1)/x ผลรวมจึงเป็นปริพันธ์ที่มีพฤติกรรมแบบ −ln|x| และลดลงอย่างไม่มีขอบเขต
ลิมิตเท่ากับ 4 แทน u = x − 1 นิพจน์กลายเป็น u(u + 2)tan(2u)/sin²u โดยที่ tan 2u ~ 2u และ sin²u ~ u² ตัดตัวประกอบ u ออกไปพอดี
ลิมิตเท่ากับ e² รูปแบบเป็น 1 ยกกำลังอนันต์ จึงใส่ลอการิทึม ได้ (1/x)ln(eˣ + x) ซึ่งเป็น 0/0 แล้วกฎของโลปีตาลให้ 2 คำตอบจึงเป็น e²
ลิมิตของ (1 − cos 2x)/(2x) เมื่อ x เข้าสู่อนันต์ เท่ากับ 0 เพราะ 0 ≤ 1 − cos 2x ≤ 2 ทฤษฎีบทแซนด์วิชจึงขังผลหารไว้ระหว่าง 0 กับ 1/x
ลิมิตเท่ากับ 0 ตัวเศษเป็นศูนย์ในอัตรา x²/2 ขณะที่ตัวส่วนเป็นศูนย์ในอัตรา −x เท่านั้น ผลหารจึงมีพฤติกรรมเหมือน −x/2 และลู่เข้าสู่ศูนย์จากทั้งสองข้าง
ลิมิตเท่ากับ 2 ข้อนี้กรณฑ์อยู่ที่ตัวส่วน จึงคูณด้วยสังยุคของมัน ใช้ 1 − x² = (1 − x)(1 + x) แล้วตัดตัวประกอบร่วมทิ้ง
ลิมิตเท่ากับ 0 การยกกำลังสองลบเครื่องหมายทิ้ง x² จึงเข้าสู่ +∞ จากทั้งสองข้าง และตัวเศษคงที่หารด้วยตัวส่วนที่โตไม่จำกัดย่อมยุบลงเป็นศูนย์
คำตอบคือ 256 ตัดตัวประกอบร่วม x − 2 ทิ้ง ฐานจะกลายเป็น (x² + 2x + 8)/4 ซึ่งลู่เข้าสู่ 4 ไม่ใช่ 1 เมื่อเลขชี้กำลังเป็น 4 ลิมิตจึงเท่ากับ 4⁴ = 256
ลิมิตเท่ากับ −1/7 หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยพจน์ที่มีอิทธิพลสูงสุดคือ (−7)ⁿ อัตราส่วนที่เหลือ (2/−7)ⁿ ลู่เข้าสู่ 0 แม้เครื่องหมายจะสลับไปมา
ลิมิตเท่ากับ −1 หารทั้งบนและล่างด้วย 3ˣ ที่โตเร็วกว่า เหลือ ((2/3)ˣ − 1)/((2/3)ˣ + 1) และ (2/3)ˣ → 0 เพราะฐานน้อยกว่า 1
ลิมิตเท่ากับ −1 คำตอบที่ถูกจึงเป็น 'ไม่มีข้อใดถูก' สัมประสิทธิ์นำเป็น −1 ข้างบนและ +1 ข้างล่าง ส่วนพจน์อื่นตายไปในอัตรา 1/n² หรือ 1/n³
ลิมิตเท่ากับ 0 หารทั้งบนและล่างด้วย x² ซึ่งเป็นกำลังสูงสุดของตัวส่วน เหลือ (2/x − 3/x²)/(1 + 3/x) ที่มีตัวเศษเป็นศูนย์
คำตอบคือลิมิตไม่มีอยู่จริง แยกตัวประกอบเป็น (x − 1)(2x + 3)/|x − 1| ได้ −5 จากทางซ้ายและ +5 จากทางขวา เกิดความไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดสูง 10 ที่ x = 1
ลิมิตเท่ากับ 7/13 ทั้งตัวเศษและตัวส่วนเป็นศูนย์ที่ x = 1 แต่ละตัวจึงมีตัวประกอบ x − 1 การตัดตัวประกอบนี้ทิ้งจะขจัดรูปแบบยังไม่กำหนดออกไป
ลิมิตเท่ากับ 42 พหุนามทุกตัวต่อเนื่องทุกที่ จึงแทน x = 2 ลงใน 3x³ + 5x² + 4x − 10 ได้เลย: 24 + 20 + 8 − 10 = 42
ลิมิตเท่ากับ 1 แยกตัวเศษเป็น (2 − x)(2 + x) และตัวส่วนเป็น x²(2 + x) ตัด (2 + x) ที่ร่วมกันทิ้ง แล้วแทน x = −2 ลงใน (2 − x)/x²
คำตอบคือ 14/15 ตรวจตัวส่วนที่ x = 2 ก่อน ได้ 30 ไม่ใช่ศูนย์ การแทนค่าตรง ๆ จึงทำได้และให้ 28/30 ซึ่งลดรูปเหลือ 14/15
ลิมิตเท่ากับ 5/3 การหารทั้งบนและล่างด้วย x³ ส่งพจน์ที่เหลือทุกตัวไปที่ศูนย์ เหลือเพียงอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำสองตัว
ลิมิตเป็น −∞ การลบ x² ที่ไม่มีขอบเขตออกจากค่าคงตัว 9 ดันค่าให้ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด สอดคล้องกับพาราโบลาที่เปิดลง
เนื่องจาก 1/i = −i นิพจน์จึงเท่ากับ sin x − i cos x ซึ่งมีมอดุลัสเท่ากับ 1 เสมอและวนรอบวงกลมไปเรื่อย ๆ ไม่เคยเข้าที่ ลิมิตจึงไม่มีอยู่จริง
f(x) ลู่เข้าสู่ 1/4 และ f(f(x)) ลู่เข้าสู่ 7/4 แยกเศษส่วนเพื่อหาลิมิตชั้นใน แล้วใช้ความต่อเนื่องหาค่าฟังก์ชันชั้นนอกที่ลิมิตนั้น
ลิมิตเท่ากับ 1 ซึ่งเป็นตัวเลือก ง เลขชี้กำลังมีพฤติกรรมเหมือน 1/x ขณะที่ฐานเป็น 1 + O(x²) ผลคูณจึงลู่เข้าสู่ 0 และทั้งนิพจน์ลู่เข้าสู่ e⁰ = 1
ลิมิตเท่ากับ 2 ln 2 ราว 1.386 ตัวประกอบหนึ่งโตแบบ x ln 2 อีกตัวหดแบบ 2/x ผลคูณอนันต์คูณศูนย์จึงสมดุลกันพอดี
คำตอบคือ 1 ตัวส่วน |x − 1| เท่ากับ 3 ที่ x = −2 ไม่ใช่ 0 ฟังก์ชันจึงต่อเนื่องที่จุดนั้น และการแทนค่าตรง ๆ ให้ 3/3 = 1 โดยไม่ต้องทำลิมิตด้านเดียว
สำหรับ a(n) = ปริพันธ์จาก 1/2 ถึง 2 ของ 2^x/(1+x²)^n อัตราส่วน a(n+1)/a(n) เป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของ 1/(1+x²) จึงลู่เข้าสู่ค่าสูงสุดของมันคือ 4/5
ลิมิตเท่ากับ 5 มีเพียงดีกรีนำเท่านั้นที่สำคัญ ลอการิทึมมีพฤติกรรมเหมือน 100 ln x และ 20 ln x ส่วนค่าคงตัว 100 และ 2 หายไปหมด
คำตอบคือลบอนันต์ ส่วนที่เป็นตรรกยะลู่เข้าสู่ค่าจำกัด 3 ขณะที่รากที่สองโตในอัตราเท่ากับ n ปริมาณที่มีขอบเขตลบด้วยปริมาณที่ไม่มีขอบเขตจึงลู่ออก
ลิมิตเท่ากับ 1/18 ทั้งสองส่วนเป็นศูนย์ที่ x = −5 จึงคูณด้วยสังยุคของตัวเศษและแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง เพื่อตัดตัวประกอบร่วม (x + 5) ทิ้ง
ลิมิตเท่ากับ 1 การแยกตัวประกอบตัวเศษในตัวแปร cos x และเขียน sin²x เป็น (1 − cos x)(1 + cos x) ทำให้ตัวประกอบที่เป็นศูนย์ตัดกันพอดี โดยไม่ต้องใช้โลปีตาล
คำตอบคือ 1 การแยกตัวประกอบให้ cos x (1 − cos²x) = cos x sin²x ผลหารจึงเป็น cos x คูณ (sin x / x)² และลิมิตมาตรฐานทั้งสองเท่ากับ 1 ที่ x = 0
ลิมิตเท่ากับ 1 มันคือนิยามของอนุพันธ์ของ eˣ ที่ 0 ได้จากอนุกรม eˣ = 1 + x + x²/2 + … และกฎของโลปีตาลก็ให้คำตอบในขั้นเดียว
ลิมิตเท่ากับ −2 การลบ 2x ออกไปทำลายพจน์เชิงเส้นของ ln(1 + 2x) พจน์กำลังสอง −(2x)²/2 จึงเป็นตัวที่เหลืออยู่ และเมื่อหารด้วย x² จะได้ −2 พอดี
ลิมิตเท่ากับ 0 ลอการิทึมโตช้ากว่ากำลังบวกใด ๆ กฎของโลปีตาลจึงเปลี่ยน ln(n)/n² ให้เป็น 1/(2n²) ซึ่งยุบลงเป็นศูนย์เมื่อ n โตขึ้น
ลิมิตเท่ากับ 0 รูปแบบเป็นอนันต์ส่วนอนันต์ และการใช้โลปีตาลหนึ่งรอบเปลี่ยนมันเป็น 2/√x ซึ่งลู่เข้าสู่ศูนย์อย่างชัดเจนเมื่อ x โตขึ้น
ลิมิตเท่ากับ 0 การดึง eˣ ออกภายในลอการิทึมให้ ln(eˣ + x) = x + ln(1 + x e⁻ˣ) ตัวเศษจึงโตในอัตราเท่ากับ x ขณะที่ตัวส่วนโตในอัตรา x²
ลิมิตเป็น +∞ สัมประสิทธิ์ที่เป็นลบคูณกับตัวแปรที่วิ่งไปสู่ −∞ ให้ผลคูณเป็นบวก และค่าคงตัว −4 ก็เอาชนะการเติบโตแบบไม่มีขอบเขตไม่ได้
ลิมิตเท่ากับ 0 ตัวเศษเพียงสลับไปมาระหว่าง −1 กับ 1 จึงมีขอบเขต ขณะที่ n โตอย่างไม่มีขอบเขต บังคับให้ค่าสัมบูรณ์ 1/n ลู่เข้าสู่ศูนย์
การแทน u = 2/n เปลี่ยนลำดับให้เป็น 4 เท่าของ (1 − cos u)/u² และเนื่องจากอัตราส่วนนั้นลู่เข้าสู่ 1/2 ลิมิตของทั้งนิพจน์จึงเป็น 2
ลิมิตทางขวาเท่ากับ 1 การใส่ลอการิทึมเปลี่ยน ∞⁰ ให้เป็น x² ln(1/x) ซึ่งลู่เข้าสู่ 0 ส่วนทางซ้ายฐานเป็นลบ นิพจน์จึงไม่นิยาม
ลิมิตเท่ากับ 98/3 = 32.667 เรียนรู้วิธีอ่านค่า a, b และ f(x) จากผลบวกรีมันน์ โดย 2/n คือความกว้าง และ 3 + 2i/n คือจุดปลายขวาบน [3, 5]
ลิมิตเท่ากับ √3/6 หรือประมาณ 0.2887 คูณด้วยสังยุคเพื่อกำจัดกรณฑ์ ตัด x ทิ้ง แล้วแทน x = 0 ลงในสิ่งที่เหลือ
คำตอบคือ 3√2/2 หรือประมาณ 2.12132 แทน t = √x เพื่อเปิดเผยผลหารผลต่างแบบอนุพันธ์ หรือทำให้เป็นตรรกยะทั้งสองกรณฑ์ ทั้งสองเส้นทางให้ค่าเดียวกัน
เนื่องจาก √(x²) เท่ากับค่าสัมบูรณ์ของ x ลิมิตทางขวาจึงเป็น 2 และลิมิตทางซ้ายเป็น −2 ลิมิตสองข้างจึงไม่มีอยู่จริง
ลิมิตไม่มีอยู่จริง ที่ x = 5 ตัวเศษเป็น √16 − 6 = −2 ไม่ใช่ 0 นี่จึงเป็น −2/0 ไม่ใช่ 0/0 ผลหารวิ่งไปสู่ −∞ จากทางขวาและ +∞ จากทางซ้าย
ลิมิตเท่ากับ 1/6 การคูณด้วยสังยุคเปลี่ยนตัวเศษให้เป็น x − 4 ซึ่งตัดกับตัวส่วน เหลือ 1/(√(x + 5) + 3) ให้แทนค่า
ลิมิตเท่ากับ 5 นิพจน์ใต้กรณฑ์ต่อเนื่องและเป็นบวกที่ x = 3 จึงแทนค่าได้ ได้ √25 — รากที่สองผ่านลิมิตเข้าไปได้เลย
ลิมิตเท่ากับ −4 พจน์เชิงเส้น 3x ตัดกัน เหลือพจน์กำลังสาม −9x³/2 และ +x³/2 ผลหารจึงลู่เข้าสู่ −4 — เป็นรูปแบบ 0/0 ที่ต้องกระจายถึงอันดับสาม
ลิมิตเท่ากับ 5/8 การแทน x = π/2 + t ให้ (cos 2t − cos 3t)/(4t²) และการกระจายโคไซน์ถึงอันดับสองเหลือ (9/2 − 2)/4
ลิมิตเท่ากับ 2/3 การหารตัวเศษและตัวส่วนด้วย x เปลี่ยนทุกพจน์ให้เป็นลิมิตมาตรฐาน sin(kx)/x ได้ (3 + 1)/(1 + 5) = 4/6
ลิมิตเท่ากับ −3/2 การเลื่อน x = π/4 + t เปลี่ยนตัวเศษเป็น −sin 4t − sin 2t และตัวส่วนเป็น 4t อัตราส่วนจึงลู่เข้าสู่ (−4 − 2)/4
ลิมิตของ sin(9x)/cot(12x) เมื่อ x เข้าใกล้ 0 เท่ากับ 0 เขียน cot(12x) เป็น cos/sin ผลหารจึงกลายเป็น sin(9x)sin(12x)/cos(12x) แล้วจึงแทนค่า
คำตอบคือลิมิตไม่มีอยู่จริง ลำดับสองลำดับที่วิ่งไปสู่อนันต์ให้ sin x = 1 และ sin x = −1 ตลอดไป ค่าจึงไม่เคยเข้าที่จำนวนเดียว
คำตอบคือ 1 โดยมีเงื่อนไขว่า x อยู่ในหน่วยเรเดียน ทฤษฎีบทแซนด์วิชกับ cos x ≤ sin(x)/x ≤ 1 พิสูจน์ได้ และถ้าใช้องศา ลิมิตเดียวกันจะกลายเป็น π/180
ลิมิตเท่ากับ e^(1/3) ≈ 1.3956 มันเป็นรูปแบบ 1 ยกกำลังอนันต์ จึงใส่ลอการิทึมแล้วเทียบพจน์ x² ของ ln(sin x / x) กับ cos x − 1 ได้เลขชี้กำลัง 1/3
คำตอบคือ √2/2 หรือประมาณ 0.70711 เขียนฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกทั้งสองด้วยเลขชี้กำลัง ดึง eˣ ออกจากแต่ละตัว ค่าคงตัวที่เหลือรอดคือ 1/√2
ลิมิตเท่ากับ 7/12 การคูณด้วยสังยุคเปลี่ยนรูปแบบ ∞ − ∞ ให้เป็น (7x + 49)/(√(36x² + 7x + 49) + 6x) ซึ่งมีพฤติกรรมอันดับนำเป็น 7x/12x
ลิมิตเท่ากับ 5/16 ทำได้สองทาง คือแยกตัวเศษออกเป็นสองก้อนแล้วคูณสังยุค หรือใช้กฎโลปีตาลหนึ่งครั้งกับรูปแบบไม่กำหนด 0/0
คำตอบคือ 16/3 + 2 sin 2 แยกอนุพันธ์แม่นตรงออกมาแล้วหาค่าจากจุดปลาย จากนั้นกำหนดพารามิเตอร์ส่วนที่เหลือด้วย x = 2cos t, y = 2sin t
การทำ f(x) = (64 + x)^(1/3) ให้เป็นเชิงเส้นที่ x = 0 ได้ L(x) = 4 + x/48 รากที่สามของ 62.5 จึงราว 3.96875 เทียบกับค่าจริง 3.968503 คลาดเคลื่อน 0.00025
คำตอบคือ −k กระจาย A x B = 3yz i − 4xz j − xy k หาอนุพันธ์เทียบ x ได้ −4z j − y k แล้วหาอนุพันธ์เทียบ y เหลือเวกเตอร์คงตัว −k
หลังผ่านไป 20 นาที กาแฟมีอุณหภูมิ 48.9 °C และจะถึง 30 °C หลังราว 44 นาที หาค่า k = (1/10)ln(14/9) = 0.04418 จากค่าที่วัดได้ 65 °C ที่นาทีที่ 10
คำตอบคือ 36π² < a < 64π² ค่า k แต่ละค่าที่ 4π²k² < a ให้รากมาหนึ่งคู่ จึงต้องมี k แบบนั้นสี่ค่าพอดี และห้ามแตะจุดปลายใด ๆ
สำหรับ z = ln((x − √(x² − y²))/(x + √(x² − y²))) อนุพันธ์ย่อยคือ z_x = −2/√(x² − y²) และ z_y = 2x/(y√(x² − y²)) พร้อมการหาและการตรวจคำตอบเต็ม
ค่าคือ (e⁸ − 1)/6 เนื่องจาก e^(y³) ไม่มีปฏิยานุพันธ์พื้นฐานเทียบ y ให้สลับเป็น dx dy เพื่อให้ปริพันธ์ชั้นในสร้าง y² ที่การแทนค่าต้องการ
อนุกรมนี้ลู่เข้า การทดสอบอัตราส่วนให้ L = 1/3 < 1 และสูตรผลบวกอนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิตให้ค่าที่แน่นอนคือ 3/4 พร้อมเหตุผลครบถ้วนทีละขั้น
เส้นกำกับเฉียงเมื่อ x เข้าสู่อนันต์บวกคือ y = 3x − 1 และเส้นโค้งอยู่เหนือมัน ทำกำลังสองสมบูรณ์ได้ (3x − 1)² + 2 แล้วใช้เทคนิคคูณสังยุค
ค่าคือ π/12 ใช้พิกัดทรงกระบอกรอบแกน x ผิวทั้งสองพบกันที่ r = 1 ทรงตันวิ่งจาก x = r² ขึ้นไปถึง x = r และ dV = r dx dr dθ
ค่าคือ 4π/5 หรือราว 2.5133 พิกัดทรงกลมเปลี่ยนตัวถูกอินทิเกรตให้เป็น ρ⁴ sin φ และปริพันธ์ทั้งสามแยกกันเป็น 2π คูณ 2 คูณ 1/5
หาค่าปริพันธ์สามชั้นของ 2x − 4yz บนบริเวณที่บรรยายด้วยอสมการซ้อนกัน คำตอบคือ −268 พร้อมวิธีทำแบบ dz dy dx ที่แสดงการแทนขอบเขตทีละชั้น
a = 2 ความต่อเนื่องที่รอยต่อต้องการให้ลิมิตซ้ายของ x² + 2x − 3 ซึ่งเท่ากับ 5 เท่ากับค่า 2a + 1 ของกิ่งขวา ดังนั้น 2a + 1 = 5
การหมุนบริเวณใต้ y = x² + 5 จาก x = 0 ถึง x = 5 รอบแกน x ให้ V = 3500π/3 ≈ 3665.19 พร้อมการตั้งและคำนวณด้วยวิธีจานกลมทีละขั้น
ปริมาตรคือ (e⁶ − 1)/2 = 201.21 ดูว่าด้านของจัตุรัสแต่ละรูปกลายเป็น e^x อย่างไร ปริพันธ์ปริมาตรจึงเป็นปริพันธ์ของ e^(2x) จาก 0 ถึง 3