Calculus
Real calculus questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
F(x) = (1/2) ln(2x + 1) และ F((e² − 1)/2) = 1 แทนค่า u = 2x + 1 ใช้ F(0) = 0 กำจัดค่าคงตัว แล้วสังเกตว่า 2x + 1 ยุบเหลือ e² พอดี
บริเวณระหว่าง x² + y² = 7y กับ x² + y² = 9y ที่ถูกตัดด้วย y = x/√3 และ x = 0 มีพื้นที่ 8π/3 + 2√3 ≈ 11.84 ตั้งปริพันธ์พื้นที่เชิงขั้วและหาค่าทีละขั้น
x = 1 เป็นจุดไม่ต่อเนื่องแบบขจัดได้ คือรูโหว่ที่ (1, −2) ส่วน x = 2 ขจัดไม่ได้ เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง แยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วนแล้วดูว่าตัวประกอบใดตัดกันได้
ปริพันธ์นี้เท่ากับ π พอดี ส่วน x³ cos(x/2) เป็นฟังก์ชันคี่จึงอินทิเกรตได้ 0 และส่วนที่เหลือคือครึ่งหนึ่งของพื้นที่วงกลมรัศมี 2
อนุพันธ์คือ 3x² − 6x + 2 และปริพันธ์จาก 0 ถึง 3 เท่ากับ 9/4 ใช้กฎกำลังก่อน แล้วใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสหาพื้นที่เชิงเครื่องหมาย
อนุพันธ์คือ (x − 1)^x [ln(x − 1) + x/(x − 1)] เมื่อ x > 1 ใช้กฎกำลังหรือกฎเลขชี้กำลังไม่ได้ทั้งคู่ จึงต้องใส่ ln ทั้งสองข้างก่อน
กำจัด a และ b ออกจาก x²/a² − y²/b² = 1 จะได้ xy y″ + x(y′)² − y y′ = 0 หาอนุพันธ์สองครั้ง แล้วหารสองความสัมพันธ์กันเพื่อกำจัดค่าคงตัวทั้งคู่ในทีเดียว
หาปริพันธ์สองชั้นของ x กำลังสอง ลบ 8y บนสี่เหลี่ยมมุมฉาก -2 ≤ x ≤ -1, 0 ≤ y ≤ 1 พร้อมวิธีทำปริพันธ์ซ้ำที่มีขอบเขตเป็นค่าคงตัวทีละขั้น
ปริพันธ์สองชั้นนี้เท่ากับ 16π/9 = 5.585 อินทิเกรตตาม y ก่อนจะได้ (8/3)x sin³x เขียน sin³x ใหม่ด้วยเอกลักษณ์มุมสามเท่า แล้วใช้การอินทิเกรตทีละส่วน
หาปริพันธ์สองชั้นของ x cos(x + y) บนสามเหลี่ยมจุดยอด (0,0), (π,0), (π,π) ขอบเขต 0 ≤ y ≤ x ให้คำตอบที่แน่นอนคือ −3π/2 ≈ −4.712
หาปริพันธ์สองชั้นของ 9y + 4x บนบริเวณที่ล้อมด้วย y = 4x² − 9 และ y = 9 − 4x² หาขอบเขตก่อน แล้วใช้สมมาตรตอบได้ทันที
คำตอบคือ a = 2, b = 3, c = 4 ตัวเศษต้องเป็นศูนย์ที่ x = 1 ลิมิตจึงจะจำกัด แยกตัวประกอบได้ลิมิตเท่ากับ 3 และกิ่งซ้าย −x + c ต้องมีค่าตรงกัน
ผลเฉลยทั่วไปคือ y = e^(−x) + Ce^(−2x) คูณตลอดด้วยตัวประกอบปริพันธ์ e^(2x) มองให้ออกว่าเป็นกฎผลคูณ อินทิเกรตหนึ่งครั้งแล้วหารกลับ
สำหรับ f = x²y + x e^(−xy) อนุพันธ์ระบุทิศทางในทิศ (0, −1) คือ −x²(1 − e^(−xy)) ซึ่งก็คือค่าลบของอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ y นั่นเอง
มีเพียงสองค่าคือ m = −1 และ m = 0 อนุพันธ์ (4 − m²)/(x − m)² ต้องการ m² < 4 และเส้นกำกับแนวตั้ง x = m ต้องอยู่นอกช่วง (0, ∞) จึงบังคับให้ −2 < m ≤ 0
คำตอบคือ e^x(x² − 2x + 2) + C ดูว่าการเลือก u = x² ลดกำลังลงทุกรอบอย่างไร ทำไมต้องทำสองรอบ และตรวจคำตอบด้วยการหาอนุพันธ์
ผลเฉลย y(t) = 2e^t − t² − 2 + 4u(t−2)sinh(t−2) แปลงแรงกระตุ้นเป็น e^(−2s) แยกพีชคณิตด้วยเศษส่วนย่อย แล้วแปลงผกผันทีละพจน์
แก้ y′(t) − 2∫₀ᵗ y(τ)sin(t−τ)dτ = 1 เมื่อ y(0) = −1 ทฤษฎีบทคอนโวลูชันเปลี่ยนปริพันธ์ให้เป็นผลคูณ ได้ y(t) = −1/2 − ½e^(−t/2)cos(√7t/2) + …
ผลบวกซ้ายเท่ากับ 55 และผลบวกขวาเท่ากับ 74.5 สำหรับ f(x) = 2x² − x − 1 บน [2, 5] เพราะ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วงนี้ ทั้งสองค่าจึงคร่อมพื้นที่จริง 64.5 ไว้
f(x) ลู่เข้าสู่ 1/4 และ f(f(x)) ลู่เข้าสู่ 7/4 แยกเศษส่วนเพื่อหาลิมิตชั้นใน แล้วใช้ความต่อเนื่องหาค่าฟังก์ชันชั้นนอกที่ลิมิตนั้น
ลิมิตเท่ากับ 2 ln 2 ราว 1.386 ตัวประกอบหนึ่งโตแบบ x ln 2 อีกตัวหดแบบ 2/x ผลคูณอนันต์คูณศูนย์จึงสมดุลกันพอดี
ลิมิตเท่ากับ 98/3 = 32.667 เรียนรู้วิธีอ่านค่า a, b และ f(x) จากผลบวกรีมันน์ โดย 2/n คือความกว้าง และ 3 + 2i/n คือจุดปลายขวาบน [3, 5]
ลิมิตเท่ากับ 5/16 ทำได้สองทาง คือแยกตัวเศษออกเป็นสองก้อนแล้วคูณสังยุค หรือใช้กฎโลปีตาลหนึ่งครั้งกับรูปแบบไม่กำหนด 0/0
คำตอบคือ 16/3 + 2 sin 2 แยกอนุพันธ์แม่นตรงออกมาแล้วหาค่าจากจุดปลาย จากนั้นกำหนดพารามิเตอร์ส่วนที่เหลือด้วย x = 2cos t, y = 2sin t
การทำ f(x) = (64 + x)^(1/3) ให้เป็นเชิงเส้นที่ x = 0 ได้ L(x) = 4 + x/48 รากที่สามของ 62.5 จึงราว 3.96875 เทียบกับค่าจริง 3.968503 คลาดเคลื่อน 0.00025
คำตอบคือ −k กระจาย A x B = 3yz i − 4xz j − xy k หาอนุพันธ์เทียบ x ได้ −4z j − y k แล้วหาอนุพันธ์เทียบ y เหลือเวกเตอร์คงตัว −k
หลังผ่านไป 20 นาที กาแฟมีอุณหภูมิ 48.9 °C และจะถึง 30 °C หลังราว 44 นาที หาค่า k = (1/10)ln(14/9) = 0.04418 จากค่าที่วัดได้ 65 °C ที่นาทีที่ 10
คำตอบคือ 36π² < a < 64π² ค่า k แต่ละค่าที่ 4π²k² < a ให้รากมาหนึ่งคู่ จึงต้องมี k แบบนั้นสี่ค่าพอดี และห้ามแตะจุดปลายใด ๆ
สำหรับ z = ln((x − √(x² − y²))/(x + √(x² − y²))) อนุพันธ์ย่อยคือ z_x = −2/√(x² − y²) และ z_y = 2x/(y√(x² − y²)) พร้อมการหาและการตรวจคำตอบเต็ม
ค่าคือ (e⁸ − 1)/6 เนื่องจาก e^(y³) ไม่มีปฏิยานุพันธ์พื้นฐานเทียบ y ให้สลับเป็น dx dy เพื่อให้ปริพันธ์ชั้นในสร้าง y² ที่การแทนค่าต้องการ
อนุกรมนี้ลู่เข้า การทดสอบอัตราส่วนให้ L = 1/3 < 1 และสูตรผลบวกอนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิตให้ค่าที่แน่นอนคือ 3/4 พร้อมเหตุผลครบถ้วนทีละขั้น
เส้นกำกับเฉียงเมื่อ x เข้าสู่อนันต์บวกคือ y = 3x − 1 และเส้นโค้งอยู่เหนือมัน ทำกำลังสองสมบูรณ์ได้ (3x − 1)² + 2 แล้วใช้เทคนิคคูณสังยุค
ค่าคือ π/12 ใช้พิกัดทรงกระบอกรอบแกน x ผิวทั้งสองพบกันที่ r = 1 ทรงตันวิ่งจาก x = r² ขึ้นไปถึง x = r และ dV = r dx dr dθ
ค่าคือ 4π/5 หรือราว 2.5133 พิกัดทรงกลมเปลี่ยนตัวถูกอินทิเกรตให้เป็น ρ⁴ sin φ และปริพันธ์ทั้งสามแยกกันเป็น 2π คูณ 2 คูณ 1/5
หาค่าปริพันธ์สามชั้นของ 2x − 4yz บนบริเวณที่บรรยายด้วยอสมการซ้อนกัน คำตอบคือ −268 พร้อมวิธีทำแบบ dz dy dx ที่แสดงการแทนขอบเขตทีละชั้น
a = 2 ความต่อเนื่องที่รอยต่อต้องการให้ลิมิตซ้ายของ x² + 2x − 3 ซึ่งเท่ากับ 5 เท่ากับค่า 2a + 1 ของกิ่งขวา ดังนั้น 2a + 1 = 5
การหมุนบริเวณใต้ y = x² + 5 จาก x = 0 ถึง x = 5 รอบแกน x ให้ V = 3500π/3 ≈ 3665.19 พร้อมการตั้งและคำนวณด้วยวิธีจานกลมทีละขั้น
ปริมาตรคือ (e⁶ − 1)/2 = 201.21 ดูว่าด้านของจัตุรัสแต่ละรูปกลายเป็น e^x อย่างไร ปริพันธ์ปริมาตรจึงเป็นปริพันธ์ของ e^(2x) จาก 0 ถึง 3