จงใช้พิกัดทรงกลมหาค่าปริพันธ์สามชั้นของ x^2 + y^2 + z^2 บนทรงกลมตันหนึ่งหน่วย x^2 + y^2 + z^2 <= 1

Step-by-step solution

1. 1

   สังเกตว่าทั้งตัวถูกอินทิเกรตและบริเวณมีสมมาตรตามรัศมี ตัวถูกอินทิเกรต $x^2+y^2+z^2$ และขอบเขต $x^2+y^2+z^2=1$ ขึ้นกับระยะจากจุดกำเนิดเท่านั้น นั่นคือสัญญาณชี้ขาดให้ใช้พิกัดทรงกลม ในรูปคาร์ทีเซียนปริพันธ์นี้ต้องใช้ขอบเขตที่ซ้อนรากที่สอง ขณะที่ในรูปทรงกลมขอบเขตเป็นค่าคงตัวสามค่า

2. 2

   ตั้งการแทนค่าแบบทรงกลม พร้อมจาโคเบียน เมื่อ

   $x=\rho\sin\phi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\phi$

   ตัวถูกอินทิเกรตยุบเหลือ $x^2+y^2+z^2=\rho^2$ และธาตุปริมาตรพกตัวประกอบจาโคเบียนมาด้วย

   $dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$

   ตัว $\rho^2\sin\phi$ ไม่ใช่เรื่องจดบันทึกที่จะละก็ได้ มันคือตัวประกอบการยืดปริมาตรเฉพาะที่ของการเปลี่ยนพิกัด และการละมันทิ้งคือสาเหตุอันดับหนึ่งที่ปริพันธ์นี้ผิด

3. 3

   เขียนขอบเขต ทรงกลมตันหนึ่งหน่วยบรรยายได้ด้วย

   $0\le\rho\le1,\qquad 0\le\phi\le\pi,\qquad 0\le\theta\le2\pi$

   สังเกตว่า $\phi$ (มุมเชิงขั้ว วัดลงมาจากแกน $+z$) วิ่งถึงแค่ $\pi$ ขณะที่ $\theta$ (มุมเชิงมุมราบ) วิ่งครบ $2\pi$ การสลับช่วงทั้งสองจะทำให้นับทรงกลมซ้ำสองเท่า

4. 4

   ประกอบปริพันธ์แล้วแยกออกจากกัน รวมตัวถูกอินทิเกรตกับจาโคเบียนได้ $\rho^2\cdot\rho^2\sin\phi=\rho^4\sin\phi$ ดังนั้น

   $\iiint_B\left(x^2+y^2+z^2\right)dV=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi}\!\!\int_0^{1}\rho^4\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$

   เนื่องจากตัวถูกอินทิเกรตแยกเป็น (ฟังก์ชันของ $\rho$) $\times$ (ฟังก์ชันของ $\phi$) $\times$ (ค่าคงตัวใน $\theta$) และ ขอบเขตเป็นค่าคงตัว ปริพันธ์สามชั้นจึงแตกออกเป็นผลคูณของปริพันธ์ชั้นเดียวสามตัว

5. 5

   คำนวณตัวประกอบทั้งสาม

   $\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi,\qquad \int_0^{\pi}\sin\phi\,d\phi=\big[-\cos\phi\big]_0^{\pi}=1+1=2,\qquad \int_0^{1}\rho^4\,d\rho=\left[\frac{\rho^5}{5}\right]_0^1=\frac15$

   คูณกัน

   $(2\pi)(2)\left(\frac15\right)=\frac{4\pi}{5}\approx2.5133$

6. 6

   ตรวจขนาดของคำตอบ ทรงกลมตันมีปริมาตร $\tfrac43\pi\approx4.19$ และตัวถูกอินทิเกรต $\rho^2$ มีค่าตั้งแต่ $0$ ที่จุดศูนย์กลางถึง $1$ ที่ผิว ปริพันธ์จึงต้องอยู่ระหว่าง $0$ กับ $4.19$ อย่างเข้มงวด ค่าเฉลี่ยของ $\rho^2$ ทั่วทรงกลมคือ $\tfrac{4\pi/5}{4\pi/3}=\tfrac35$ ซึ่งสูงกว่า $\tfrac12$ อย่างสมเหตุสมผล เพราะปริมาตรส่วนใหญ่ของทรงกลมอยู่ใกล้เปลือกนอก การประมาณแบบมอนเตคาร์โลบนลูกบาศก์ที่ครอบอยู่ให้ $\approx2.515$ ยืนยัน $4\pi/5$