ให้ A = x i + y j - z k และ B = 3x i + 2y j + z k จงหาอนุพันธ์ย่อยอันดับสองแบบผสมของ A x B เทียบกับ y แล้ว x โดยหาค่าที่จุด (1, 2, 1)

Step-by-step solution

1. 1

   ทำผลคูณเชิงเวกเตอร์ก่อน แล้วค่อยหาอนุพันธ์ การหาอนุพันธ์ของผลคูณเชิงเวกเตอร์ทีละองค์ประกอบทำได้ก็ต่อเมื่อมีองค์ประกอบอยู่ในมือแล้ว จึงต้องกางดีเทอร์มิแนนต์ออกก่อน

   $\vec A\times\vec B=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ x&y&-z\\ 3x&2y&z\end{vmatrix}$

   อีกทางเลือกหนึ่งคือใช้กฎผลคูณ $\partial_x(\vec A\times\vec B)=\partial_x\vec A\times\vec B+\vec A\times\partial_x\vec B$ ซึ่งถูกต้องเช่นกัน แต่ยาวกว่าในโจทย์นี้

2. 2

   กางดีเทอร์มิแนนต์ทีละองค์ประกอบ

   $\mathbf i:\ (y)(z)-(-z)(2y)=yz+2yz=3yz$
   $\mathbf j:\ -\big[(x)(z)-(-z)(3x)\big]=-\big[xz+3xz\big]=-4xz$
   $\mathbf k:\ (x)(2y)-(y)(3x)=2xy-3xy=-xy$

   ดังนั้น

   $\vec A\times\vec B=3yz\,\mathbf i-4xz\,\mathbf j-xy\,\mathbf k$

   เครื่องหมายที่พลิกอยู่หน้าพจน์ $\mathbf j$ เป็นส่วนหนึ่งของการกระจายโคแฟกเตอร์ และเป็นจุดที่คนพลาดบ่อยที่สุด

3. 3

   หาอนุพันธ์เทียบ $x$ โดยมอง $y$ และ $z$ เป็นค่าคงตัว

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(3yz\,\mathbf i-4xz\,\mathbf j-xy\,\mathbf k\right)=0\,\mathbf i-4z\,\mathbf j-y\,\mathbf k$

   องค์ประกอบ $\mathbf i$ ไม่มี $x$ อยู่เลย จึงหายไปทันที

4. 4

   หาอนุพันธ์ของผลลัพธ์เทียบ $y$

   $\frac{\partial}{\partial y}\left(-4z\,\mathbf j-y\,\mathbf k\right)=0\,\mathbf j-1\,\mathbf k=-\mathbf k$

   พจน์ที่รอดมาทุกตัวเป็นเชิงเส้น อนุพันธ์อันดับสองจึงเป็น เวกเตอร์คงตัว คำตอบคือ $-\mathbf k$ ที่ทุกจุด รวมทั้งที่ $(1,2,1)$ ด้วย พิกัดของจุดนั้นไม่ได้ถูกใช้เลย ซึ่งควรระบุไว้ในคำตอบด้วย

5. 5

   ตรวจด้วยทฤษฎีบทของแคลโรต์โดยสลับลำดับ ถ้าหาอนุพันธ์เทียบ $y$ ก่อนจะได้ $3z\,\mathbf i-x\,\mathbf k$ แล้วหาเทียบ $x$ ต่อได้ $-\mathbf k$ ทั้งสองลำดับให้ผลตรงกัน ตามที่ต้องเป็นสำหรับสนามเวกเตอร์ที่เป็นพหุนาม (จึงเรียบ)