จงหาค่าปริพันธ์สามชั้นของ 2x - 4yz บนบริเวณ E ที่ 2 <= x <= 3, 0 <= y <= 2x-4 และ 0 <= z <= 5x+5y-3

Step-by-step solution

1. 1

   อ่านลำดับการอินทิเกรตจากคำบรรยายบริเวณ ขอบเขตแต่ละชั้นขึ้นกับตัวแปรที่อยู่ทางซ้ายของมันเท่านั้น บริเวณนี้จึงถูกจัดมาให้พร้อมสำหรับลำดับ $dz\,dy\,dx$ อยู่แล้ว

   $\int_{2}^{3}\int_{0}^{2x-4}\int_{0}^{5x+5y-3}(2x-4yz)\,dz\,dy\,dx$

2. 2

   อินทิเกรตเทียบ $z$ ก่อน มอง $x$ กับ $y$ เป็นค่าคงตัว ปฏิยานุพันธ์ตัวหนึ่งคือ $2xz - 2yz^2$ เมื่อแทนค่าจาก $0$ ถึง $5x+5y-3$ จะได้

   $2x(5x+5y-3)-2y(5x+5y-3)^2$

3. 3

   กระจายตัวถูกอินทิเกรต เมื่อ $(5x+5y-3)^2 = 25x^2+25y^2+9+50xy-30x-30y$ ก้อนในวงเล็บจะกลายเป็น

   $10x^2+70xy-6x-50x^2y-100xy^2+60y^2-50y^3-18y$

4. 4

   อินทิเกรตเทียบ $y$ จาก $0$ ถึง $a = 2x-4$ ปฏิยานุพันธ์ตัวหนึ่งคือ

   $(10x^2-6x)y+35xy^2-25x^2y^2-\tfrac{100x}{3}y^3+20y^3-\tfrac{25}{2}y^4-9y^2$

   แทน $y=a$ จะเหลือพหุนามใน $x$ ล้วน ๆ (ปลาย $y=0$ ไม่ให้ค่าอะไรเลย)

5. 5

   สังเกตจุดตรวจที่มีประโยชน์ก่อนจะทำต่อ เนื่องจาก $a = 2x-4$ เป็นศูนย์ที่ $x=2$ ตัวถูกอินทิเกรตทั้งก้อนจึงเป็นศูนย์ที่ขอบล่าง ถ้านิพจน์ของคุณไม่เป็นเช่นนั้น แสดงว่าพีชคณิตข้างบนผิดไปที่ใดที่หนึ่ง

6. 6

   อินทิเกรตพหุนามใน $x$ ที่ได้ จาก $2$ ถึง $3$ ทุกพจน์เป็นกำลังของ $x$ ขั้นสุดท้ายนี้จึงเป็นงานตามระบบ เมื่อคำนวณด้วยเลขคณิตตรรกยะที่แน่นอนตลอดทาง จะได้

   $\iiint_E (2x-4yz)\,dV = -268$

7. 7

   ประเด็นสำคัญที่ได้จากข้อนี้ ความยากที่แท้จริงอยู่ที่การจดบันทึกให้เป็นระบบ อินทิเกรตตามลำดับที่อสมการกำหนด แทนขอบเขตทีละชั้น และกระจายให้ครบก่อนขยับไปตัวแปรถัดไป ให้เก็บทุกอย่างเป็นเศษส่วนที่แน่นอน เพราะการปัดเศษระหว่างทางในปริพันธ์สามชั้นคือจุดที่ความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมายและขนาดส่วนใหญ่แทรกเข้ามา