จงหาค่าปริพันธ์ตามเส้นของ (e^x sin y - xy) dx + (xy + e^x cos y) dy ตามครึ่งขวาของวงกลม x^2 + y^2 = 4 โดยเดินไปในทิศที่ y เพิ่มขึ้น

Step-by-step solution

1. 1

   กำหนดวิถีและจุดปลายให้ชัด ครึ่งขวาของ $x^2+y^2=4$ ทอดจาก $(0,-2)$ ไปยัง $(0,2)$ โดยผ่าน $(2,0)$ ทิศที่ $y$ เพิ่มขึ้นหมายความว่าเราเริ่มที่ $(0,-2)$ และจบที่ $(0,2)$ การรู้จุดปลายเป็นเรื่องสำคัญ เพราะส่วนหนึ่งของตัวถูกอินทิเกรตจะกลายเป็นส่วนที่ไม่ขึ้นกับวิถี

2. 2

   ทดสอบความแม่นตรงก่อนจะกำหนดพารามิเตอร์ เมื่อ $P=e^x\sin y-xy$ และ $Q=xy+e^x\cos y$

   $P_y=e^x\cos y-x,\qquad Q_x=y+e^x\cos y.$

   ทั้งสองไม่เท่ากัน สนามนี้จึงไม่เป็นสนามอนุรักษ์ และปริพันธ์ทั้งก้อนไม่ได้ไม่ขึ้นกับวิถี แต่ความไม่ตรงกันอยู่ที่พจน์ $-xy$ กับ $xy$ เท่านั้น

3. 3

   แยกส่วนที่แม่นตรงออกมา สังเกตว่า

   $d\!\left(e^x\sin y\right)=e^x\sin y\,dx+e^x\cos y\,dy,$

   สองพจน์นั้นจึงประกอบเป็นอนุพันธ์สมบูรณ์ และขึ้นกับจุดปลายเท่านั้น

   $\int_L e^x\sin y\,dx+e^x\cos y\,dy=\Big[e^x\sin y\Big]_{(0,-2)}^{(0,2)}=\sin 2-\sin(-2)=2\sin 2.$

4. 4

   กำหนดพารามิเตอร์ให้ส่วนที่เหลือ สำหรับ $\displaystyle\int_L -xy\,dx+xy\,dy$ ให้ใช้ $x=2\cos t$, $y=2\sin t$ โดย $t$ วิ่งจาก $-\tfrac{\pi}{2}$ ถึง $\tfrac{\pi}{2}$ (แบบนี้ทำให้ $x\ge 0$ และทำให้ $y$ เพิ่มขึ้น ตรงกับทิศที่โจทย์กำหนด) จากนั้น $dx=-2\sin t\,dt$, $dy=2\cos t\,dt$ และ $xy=4\sin t\cos t$

   $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(8\sin^2 t\cos t+8\sin t\cos^2 t\right)dt.$

5. 5

   ใช้สมมาตรก่อน แล้วค่อยแทนค่า $\sin t\cos^2 t$ เป็นฟังก์ชันคี่บนช่วงที่สมมาตร ปริพันธ์ของมันจึงเป็น $0$ ส่วนอีกพจน์หนึ่งให้แทน $u=\sin t$

   $8\int_{-1}^{1}u^2\,du=8\cdot\frac{2}{3}=\frac{16}{3}.$

6. 6

   บวกสองส่วนเข้าด้วยกัน ปริพันธ์ตามเส้นเท่ากับ

   $\frac{16}{3}+2\sin 2\approx 7.1519,$

   ซึ่งตรงกับการคำนวณเชิงตัวเลขของปริพันธ์ที่กำหนดพารามิเตอร์แล้วโดยตรงถึงทศนิยมห้าตำแหน่ง