ฟังก์ชัน f(x) = (x² − 1)/(x² − 3x + 2) ไม่ต่อเนื่องที่ค่า x ใดบ้าง จงจำแนกจุดไม่ต่อเนื่องแต่ละจุดว่าขจัดได้หรือขจัดไม่ได้ พร้อมให้เหตุผล

Step-by-step solution

1. 1

   หาจุดต้องสงสัยก่อน นั่นคือศูนย์ของตัวส่วน ฟังก์ชันตรรกยะต่อเนื่องทุกที่ที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ จุดที่อาจมีปัญหาจึงมาจาก

   $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0\ \Longrightarrow\ x=1,\ x=2.$

2. 2

   แยกตัวประกอบตัวเศษด้วย นี่คือสิ่งที่ตัดสินการจำแนก เนื่องจาก $x^2-1=(x-1)(x+1)$

   $f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}.$

   จุดไม่ต่อเนื่องจะขจัดได้ก็ต่อเมื่อตัวประกอบที่ก่อปัญหาตัดกันได้พอดี เพราะเมื่อนั้นลิมิตสองข้างจะหาค่าได้ และขาดแค่ค่าของฟังก์ชันเท่านั้น

3. 3

   พิจารณา $x=1$ ตัวประกอบตัดกันได้ ลิมิตจึงหาค่าได้ สำหรับ $x\neq 1$ ฟังก์ชันเท่ากับ $\dfrac{x+1}{x-2}$ ดังนั้น

   $\lim_{x\to 1}f(x)=\frac{1+1}{1-2}=-2,$

   ขณะที่ $f(1)$ หาค่าไม่ได้ ลิมิตมีอยู่แต่ไม่เท่ากับค่าฟังก์ชัน (ซึ่งขาดหายไป) ดังนั้น $x=1$ จึงเป็นจุดไม่ต่อเนื่องแบบ ขจัดได้ คือรูโหว่ที่ $(1,-2)$ การนิยามใหม่ให้ $f(1)=-2$ จะอุดรูนี้ได้

4. 4

   พิจารณา $x=2$ ตัวประกอบไม่ตัดกัน ใกล้ ๆ $x=2$ รูปที่ลดทอนแล้วคือ $\dfrac{x+1}{x-2}$ ซึ่งตัวเศษเข้าใกล้ $3\neq 0$ ส่วนตัวส่วนเข้าใกล้ $0$ ดังนั้น

   $\lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty.$

   เชิงตัวเลข $f(1.999999)\approx -3\times 10^{6}$ และ $f(2.000001)\approx 3\times 10^{6}$ ไม่มีลิมิตจำกัด จึงไม่มีการนิยามใหม่ใดแก้ได้ $x=2$ เป็นจุดไม่ต่อเนื่องแบบ ขจัดไม่ได้ (จุดไม่ต่อเนื่องแบบอนันต์ที่มีเส้นกำกับแนวตั้ง)

5. 5

   สรุปผลพร้อมเหตุผล $f$ ไม่ต่อเนื่องเฉพาะที่ $x=1$ และ $x=2$ โดย $x=1$ ขจัดได้เพราะตัวประกอบร่วม $x-1$ ตัดกันและลิมิต $-2$ หาค่าได้ ส่วน $x=2$ ขจัดไม่ได้เพราะลิมิตข้างเดียวทั้งสองข้างเป็นอนันต์และมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน