จงหาสมการเชิงอนุพันธ์ของวงศ์ไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด และมีแกนตามขวางอยู่บนแกน x

Step-by-step solution

1. 1

   นับจำนวนค่าคงตัวใด ๆ เพื่อทำนายอันดับของสมการ วงศ์นี้มีพารามิเตอร์อิสระสองตัวคือ $a$ กับ $b$ การกำจัดค่าคงตัว $n$ ตัวต้องหาอนุพันธ์ $n$ ครั้ง คำตอบจึงเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ อันดับสอง การรู้ล่วงหน้าแบบนี้บอกเราว่าควรหยุดหาอนุพันธ์เมื่อไร

2. 2

   หาอนุพันธ์ครั้งที่หนึ่งเทียบกับ $x$ มอง $y$ เป็นฟังก์ชันของ $x$ และใช้กฎลูกโซ่กับ $y^2$

   $\frac{2x}{a^2}-\frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{a^2}=\frac{y\,y'}{b^2}$

   ค่าคงตัว $1$ ที่อยู่ข้างขวาของสมการเดิมหายไปแล้ว และเราได้ความสัมพันธ์หนึ่งระหว่าง $a^2$ กับ $b^2$ มาใช้งาน

3. 3

   หาอนุพันธ์ครั้งที่สอง หาอนุพันธ์ของ $\dfrac{x}{a^2}=\dfrac{y\,y'}{b^2}$ โดยใช้กฎผลคูณกับ $y\,y'$

   $\frac{1}{a^2}=\frac{(y')^2+y\,y''}{b^2}$

4. 4

   หารสองความสัมพันธ์กัน เพื่อกำจัดค่าคงตัวทั้งคู่พร้อมกัน สมการทั้งสองอยู่ในรูป (บางอย่าง)$/a^2$ = (บางอย่าง)$/b^2$ การเอาสมการแรกหารด้วยสมการที่สองจึงทำให้อัตราส่วน $b^2/a^2$ ตัดกันหมด

   $\frac{x/a^2}{1/a^2}=\frac{y\,y'/b^2}{\left((y')^2+y\,y''\right)/b^2}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{y\,y'}{(y')^2+y\,y''}$

   นี่คือความประหยัดที่สำคัญของวิธีนี้ การหารครั้งเดียวกำจัด $a$ กับ $b$ ไปพร้อมกัน แทนที่จะต้องแก้หาทีละตัว

5. 5

   กำจัดตัวส่วนเพื่อให้ได้สมการเชิงอนุพันธ์

   $x\left[\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y\,\frac{d^2y}{dx^2}\right]=y\,\frac{dy}{dx}$

   หรือเขียนย้ายทุกอย่างไปข้างเดียวกัน

   $x\,y\,y''+x\,(y')^2-y\,y'=0$

   ไม่มี $a$ หรือ $b$ ปรากฏอยู่เลย สมการนี้จึงเป็นจริงสำหรับสมาชิก ทุกตัว ของวงศ์ ซึ่งคือความหมายของคำว่า "สมการเชิงอนุพันธ์ของวงศ์" พอดี

6. 6

   ตรวจสอบกับสมาชิกตัวหนึ่งจริง ๆ ให้ $a=2$, $b=3$ จะได้ $y=3\sqrt{x^2/4-1}$ แล้วหาค่าที่ $x=3$ ตรงนั้น $y=3.354102$, $y'=2.012461$ และ $y''=-0.536656$ จากนั้น

   $x\left[(y')^2+y\,y''\right]=3\left[4.050+(-1.800)\right]=6.750,\qquad y\,y'=3.354102\times 2.012461=6.750$

   สองข้างตรงกัน และเมื่อทำซ้ำด้วย $a,b$ ค่าอื่นก็ยังตรงกันเช่นเดิม ยืนยันว่าค่าคงตัวถูกกำจัดออกไปจริง