Calculus · real student question

จงหาเกรเดียนต์และอนุพันธ์ระบุทิศทางในทิศของเวกเตอร์ (0, -1) ของฟังก์ชัน f(x, y) = x^2 y + x e^(-xy)

Question

จงหาเกรเดียนต์และอนุพันธ์ระบุทิศทางในทิศ v=(0,−1)T\mathbf{v}=(0,-1)^{T} ของ

f(x,y)=x2y+xe−xy.f(x,y)=x^{2}y+x e^{-xy}.

Step-by-step solution

  1. ทบทวนกฎและตรวจเวกเตอร์บอกทิศ สำหรับเวกเตอร์หนึ่งหน่วย v\mathbf v อนุพันธ์ระบุทิศทางคือผลคูณเชิงสเกลาร์ Dvf=∇f⋅vD_{\mathbf v}f=\nabla f\cdot \mathbf v ในที่นี้ ∥(0,−1)∥=02+(−1)2=1\|(0,-1)\|=\sqrt{0^2+(-1)^2}=1 ดังนั้น v\mathbf v เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยอยู่แล้ว ไม่ต้องทำให้เป็นบรรทัดฐาน ถ้าไม่ใช่ เราจะต้องหารด้วยความยาวของมันก่อน

  2. หาอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ xx พจน์ x2yx^2y ให้ 2xy2xy ส่วนพจน์ xe−xyxe^{-xy} ต้องใช้กฎผลคูณควบคู่กับกฎลูกโซ่ เพราะ ∂xe−xy=−ye−xy\partial_x e^{-xy}=-y e^{-xy}

    ∂∂x(xe−xy)=e−xy−xy e−xy.\frac{\partial}{\partial x}\left(xe^{-xy}\right)=e^{-xy}-xy\,e^{-xy}.

    ดังนั้น

    fx=2xy+(1−xy)e−xy.f_x=2xy+(1-xy)e^{-xy}.

  3. หาอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ yy คราวนี้ xx เป็นค่าคงตัว x2yx^2y จึงให้ x2x^2 และ ∂ye−xy=−xe−xy\partial_y e^{-xy}=-x e^{-xy} ทำให้พจน์ที่สองเป็น −x2e−xy-x^2 e^{-xy}

    fy=x2−x2e−xy=x2(1−e−xy).f_y=x^{2}-x^{2}e^{-xy}=x^{2}\left(1-e^{-xy}\right).

  4. ประกอบเป็นเกรเดียนต์

    ∇f(x,y)=(2xy+(1−xy)e−xyx2(1−e−xy)).\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}2xy+(1-xy)e^{-xy}\\[2pt] x^{2}\left(1-e^{-xy}\right)\end{pmatrix}.

  5. ดอตกับทิศทาง เนื่องจาก v=(0,−1)\mathbf v=(0,-1) ล้างองค์ประกอบแรกทิ้ง จึงเหลือเพียงอนุพันธ์ย่อยเทียบ yy พร้อมเครื่องหมายที่กลับด้าน

    Dvf=∇f⋅(0,−1)=−fy=−x2(1−e−xy)=x2(e−xy−1).D_{\mathbf v}f=\nabla f\cdot(0,-1)=-f_y=-x^{2}\left(1-e^{-xy}\right)=x^{2}\left(e^{-xy}-1\right).

    ตรงกับที่เรขาคณิตบอกพอดี การเคลื่อนที่ในทิศ −y-y คือการถอยหลังไปตามแกน yy อัตราการเปลี่ยนแปลงจึงเป็นค่าลบของ fyf_y

  6. สุ่มตรวจเชิงตัวเลข ที่ (x,y)=(1.3,0.7)(x,y)=(1.3,0.7) ผลต่างแบบกลางให้ fx≈1.856227f_x\approx 1.856227 และ fy≈1.009734f_y\approx 1.009734 ตรงกับสูตร และ Dvf≈−1.009734D_{\mathbf v}f\approx-1.009734 ส่วนที่ (−2,1.5)(-2,1.5) สูตรให้ Dvf≈76.342D_{\mathbf v}f\approx 76.342 ซึ่งตรงกับอนุพันธ์เชิงตัวเลขอีกเช่นกัน

Answer

∇f=(2xy+(1−xy)e−xy, x2(1−e−xy)),D(0,−1)f=−x2(1−e−xy)\nabla f=\left(2xy+(1-xy)e^{-xy},\ x^{2}\left(1-e^{-xy}\right)\right),\qquad D_{(0,-1)}f=-x^{2}\left(1-e^{-xy}\right)

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions