จงใช้การแปลงลาปลาสแก้ปัญหาค่าเริ่มต้น y'' - y = 4*delta(t - 2) + t^2 โดยมี y(0) = 0 และ y'(0) = 2 เมื่อ delta คือฟังก์ชันเดลตาดิแรก

Step-by-step solution

1. 1

   เลือกใช้การแปลงลาปลาสเพราะมีแรงกระตุ้นแบบอิมพัลส์ พจน์แรงกระตุ้นมี $\delta(t-2)$ อยู่ ซึ่งไม่ใช่ฟังก์ชันที่อินทิเกรตด้วยวิธีปกติได้ ทั้งวิธีสัมประสิทธิ์ไม่กำหนดและวิธีแปรผันพารามิเตอร์ต่างใช้ไม่ได้ การแปลงลาปลาสเปลี่ยนอิมพัลส์ให้เป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมดา $e^{-2s}$ ทั้งโจทย์จึงกลายเป็นพีชคณิต

2. 2

   แปลงทั้งสองข้าง โดยรวมเงื่อนไขเริ่มต้นเข้าไปด้วย ใช้ $\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$ ที่ $y(0)=0$, $y'(0)=2$ พร้อมกับการแปลงมาตรฐาน $\mathcal{L}\{\delta(t-a)\} = e^{-as}$ และ $\mathcal{L}\{t^2\} = 2/s^3$

   $s^2Y - 2 - Y = 4e^{-2s} + \frac{2}{s^3}$

3. 3

   แก้หา $Y(s)$ ดึง $Y$ ออกจากข้างซ้าย

   $Y(s) = \frac{2}{s^2-1} + \frac{4e^{-2s}}{s^2-1} + \frac{2}{s^3(s^2-1)}$

   ทั้งสามก้อนแปลงผกผันแยกกันได้ นี่คือผลตอบแทนของการทำงานในโดเมน $s$

4. 4

   แตกพจน์ที่สามซึ่งยุ่งยากด้วยเศษส่วนย่อย เขียน $\dfrac{1}{s^3(s^2-1)} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{s^2} + \dfrac{C}{s^3} + \dfrac{Ds+E}{s^2-1}$ แล้วจับคู่สัมประสิทธิ์ได้ $A = -1$, $B = 0$, $C = -1$, $D = 1$, $E = 0$ ดังนั้น

   $\frac{2}{s^3(s^2-1)} = -\frac{2}{s} - \frac{2}{s^3} + \frac{2s}{s^2-1}$

5. 5

   แปลงผกผันทีละพจน์ ใช้ $\mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2-1)\} = \sinh t$, $\mathcal{L}^{-1}\{s/(s^2-1)\} = \cosh t$, $\mathcal{L}^{-1}\{2/s^3\} = t^2$ และทฤษฎีบทการเลื่อนที่สอง $\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\} = u(t-a)f(t-a)$

   $y(t) = 2\sinh t + 2\cosh t - t^2 - 2 + 4u(t-2)\sinh(t-2)$

6. 6

   จัดรูปและตรวจคำตอบ เนื่องจาก $2\sinh t + 2\cosh t = 2e^{t}$

   $y(t) = 2e^{t} - t^2 - 2 + 4u(t-2)\sinh(t-2)$

   ตรวจดู: $y(0) = 2 - 0 - 2 = 0$ และ $y'(0) = 2 - 0 = 2$ ถูกต้องทั้งคู่ สำหรับ $t<2$ พจน์เฮวิไซด์ยังเงียบอยู่ และ $y'' - y = (2e^t - 2) - (2e^t - t^2 - 2) = t^2$ ตามที่ต้องการ ส่วนที่ $t=2$ อิมพัลส์ทำให้ $y'$ กระโดดขึ้น $4$ พอดี ขณะที่ $y$ เองยังต่อเนื่อง ซึ่งเป็นลายเซ็นทางกายภาพของอิมพัลส์ขนาด $4$