มีจำนวนเต็ม m กี่ค่าที่ทำให้ฟังก์ชัน f(x) = (mx - 4)/(x - m) เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง (0, อนันต์)

Step-by-step solution

1. 1

   หาอนุพันธ์ด้วยกฎผลหาร แล้วสังเกตว่าตัวเศษยุบลง

   $f'(x)=\frac{m(x-m)-(mx-4)\cdot 1}{(x-m)^2}=\frac{mx-m^2-mx+4}{(x-m)^2}=\frac{4-m^2}{(x-m)^2}$

   พจน์ที่มี $x$ ตัดกันหมด $f'$ จึงมีตัวเศษเป็น ค่าคงตัว นี่เป็นลักษณะทั่วไปของ $\frac{ax+b}{cx+d}$ เครื่องหมายของอนุพันธ์ถูกตรึงด้วย $ad-bc$ และไม่เปลี่ยนเลยภายในกิ่งเดียวกัน

2. 2

   เปลี่ยนเครื่องหมายของ $f'$ ให้เป็นเงื่อนไขของ $m$ ตัวส่วน $(x-m)^2$ เป็นบวกทุกที่ที่ $f$ นิยามได้ ดังนั้น

   $f'(x)>0\iff 4-m^2>0\iff -2<m<2.$

   จุดปลายต้องถูกตัดออก ไม่ใช่รวมเข้ามา เพราะ $m=\pm2$ ให้ $f'\equiv0$ และ $f$ ยุบเป็นค่าคงตัว $2$ หรือ $-2$ จริง ๆ (เช่น $m=2$ ให้ $\frac{2x-4}{x-2}=2$) ซึ่งไม่ใช่ฟังก์ชันเพิ่ม

3. 3

   เพิ่มเงื่อนไขว่าช่วงต้องอยู่ภายในกิ่งเดียวกัน อนุพันธ์ที่เป็นบวกพิสูจน์ได้เพียงว่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นบนแต่ละชิ้นที่เชื่อมต่อกันของโดเมนเท่านั้น จุด $x=m$ เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง ถ้ามันตกอยู่ในช่วง $(0,+\infty)$ ฟังก์ชันจะกระโดดจาก $+\infty$ ไปเป็น $-\infty$ ตรงนั้น จึงไม่ใช่ฟังก์ชันเพิ่มตลอดทั้งช่วง เราจึงต้องมี

   $m\notin(0,+\infty)\quad\Longleftrightarrow\quad m\le 0.$

4. 4

   ดูตัวอย่างความล้มเหลวชัด ๆ ที่ $m=1$ จะได้ $f(x)=\frac{x-4}{x-1}$ และ $f(0.5)=7$ ขณะที่ $f(2)=-2$ อนุพันธ์เป็นบวกทั้งสองข้างของ $x=1$ แต่ฟังก์ชันกลับลดลงเมื่อข้ามเส้นกำกับ ซึ่งเป็นกับดักที่เงื่อนไขเพิ่มเติมข้อนั้นมีไว้ดักพอดี

5. 5

   หาส่วนร่วมของสองเงื่อนไข

   $-2<m<2\quad\text{และ}\quad m\le 0\qquad\Longrightarrow\qquad -2<m\le 0$

6. 6

   นับจำนวนเต็ม จำนวนเต็มในช่วง $(-2,\,0]$ คือ $m=-1$ และ $m=0$ จึงมี $\mathbf{2}$ ค่า ตรวจเร็ว ๆ ที่ $m=0$: $f(x)=-\frac{4}{x}$ ซึ่งเพิ่มขึ้นจาก $-\infty$ เข้าหา $0$ บน $(0,\infty)$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มจริงตามที่อ้าง