Calculus · real student question

มีจำนวนเต็ม m กี่ค่าที่ทำให้ฟังก์ชัน f(x) = (mx - 4)/(x - m) เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง (0, อนันต์)

Question

มีค่าจำนวนเต็มของพารามิเตอร์ mm กี่ค่าที่ทำให้ฟังก์ชัน

f(x)=mx−4x−mf(x)=\frac{mx-4}{x-m}

เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง (0,+∞)(0,+\infty)

Step-by-step solution

  1. หาอนุพันธ์ด้วยกฎผลหาร แล้วสังเกตว่าตัวเศษยุบลง

    f′(x)=m(x−m)−(mx−4)⋅1(x−m)2=mx−m2−mx+4(x−m)2=4−m2(x−m)2f'(x)=\frac{m(x-m)-(mx-4)\cdot 1}{(x-m)^2}=\frac{mx-m^2-mx+4}{(x-m)^2}=\frac{4-m^2}{(x-m)^2}

    พจน์ที่มี xx ตัดกันหมด f′f' จึงมีตัวเศษเป็น ค่าคงตัว นี่เป็นลักษณะทั่วไปของ ax+bcx+d\frac{ax+b}{cx+d} เครื่องหมายของอนุพันธ์ถูกตรึงด้วย ad−bcad-bc และไม่เปลี่ยนเลยภายในกิ่งเดียวกัน

  2. เปลี่ยนเครื่องหมายของ f′f' ให้เป็นเงื่อนไขของ mm ตัวส่วน (x−m)2(x-m)^2 เป็นบวกทุกที่ที่ ff นิยามได้ ดังนั้น

    f′(x)>0  ⟺  4−m2>0  ⟺  −2<m<2.f'(x)>0\iff 4-m^2>0\iff -2<m<2.

    จุดปลายต้องถูกตัดออก ไม่ใช่รวมเข้ามา เพราะ m=±2m=\pm2 ให้ f′≡0f'\equiv0 และ ff ยุบเป็นค่าคงตัว 22 หรือ −2-2 จริง ๆ (เช่น m=2m=2 ให้ 2x−4x−2=2\frac{2x-4}{x-2}=2) ซึ่งไม่ใช่ฟังก์ชันเพิ่ม

  3. เพิ่มเงื่อนไขว่าช่วงต้องอยู่ภายในกิ่งเดียวกัน อนุพันธ์ที่เป็นบวกพิสูจน์ได้เพียงว่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นบนแต่ละชิ้นที่เชื่อมต่อกันของโดเมนเท่านั้น จุด x=mx=m เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง ถ้ามันตกอยู่ในช่วง (0,+∞)(0,+\infty) ฟังก์ชันจะกระโดดจาก +∞+\infty ไปเป็น −∞-\infty ตรงนั้น จึงไม่ใช่ฟังก์ชันเพิ่มตลอดทั้งช่วง เราจึงต้องมี

    m∉(0,+∞)⟺m≤0.m\notin(0,+\infty)\quad\Longleftrightarrow\quad m\le 0.

  4. ดูตัวอย่างความล้มเหลวชัด ๆ ที่ m=1m=1 จะได้ f(x)=x−4x−1f(x)=\frac{x-4}{x-1} และ f(0.5)=7f(0.5)=7 ขณะที่ f(2)=−2f(2)=-2 อนุพันธ์เป็นบวกทั้งสองข้างของ x=1x=1 แต่ฟังก์ชันกลับลดลงเมื่อข้ามเส้นกำกับ ซึ่งเป็นกับดักที่เงื่อนไขเพิ่มเติมข้อนั้นมีไว้ดักพอดี

  5. หาส่วนร่วมของสองเงื่อนไข

    −2<m<2และm≤0⟹−2<m≤0-2<m<2\quad\text{และ}\quad m\le 0\qquad\Longrightarrow\qquad -2<m\le 0

  6. นับจำนวนเต็ม จำนวนเต็มในช่วง (−2, 0](-2,\,0] คือ m=−1m=-1 และ m=0m=0 จึงมี 2\mathbf{2} ค่า ตรวจเร็ว ๆ ที่ m=0m=0: f(x)=−4xf(x)=-\frac{4}{x} ซึ่งเพิ่มขึ้นจาก −∞-\infty เข้าหา 00 บน (0,∞)(0,\infty) เป็นฟังก์ชันเพิ่มจริงตามที่อ้าง

Answer

m∈(−2,0]  ⇒  m=−1, 0,  จึงมีจำนวนเต็ม 2 ค่าm\in(-2,0]\;\Rightarrow\;m=-1,\,0,\;\text{จึงมีจำนวนเต็ม }2\text{ ค่า}

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions