จงหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ a ที่ทำให้สมการ โคไซน์ของรากที่สองของ (a ลบ x กำลังสอง) เท่ากับ 1 มีราก 8 รากพอดี

Step-by-step solution

1. 1

   แปลงสมการโคไซน์ให้เป็นรายการของระดับค่า $\cos\theta=1$ ก็ต่อเมื่อ $\theta=2\pi k$ สำหรับจำนวนเต็ม $k$ และในที่นี้ $\theta=\sqrt{a-x^2}\ge0$ จึงเป็นไปได้เฉพาะ $k=0,1,2,\dots$

   $\sqrt{a-x^2}=2\pi k \quad\Longrightarrow\quad x^2=a-4\pi^2k^2$

   สมการกลายเป็นตระกูลของสมการกำลังสองง่าย ๆ หนึ่งสมการต่อหนึ่งค่า $k$

2. 2

   นับว่าแต่ละระดับให้รากมากี่ราก สำหรับ $k$ ที่ตรึงไว้ค่าหนึ่ง

   • ถ้า $a-4\pi^2k^2>0$ จะมีราก สอง ราก คือ $x=\pm\sqrt{a-4\pi^2k^2}$
   • ถ้า $a-4\pi^2k^2=0$ จะมีราก หนึ่ง รากพอดี คือ $x=0$
   • ถ้า $a-4\pi^2k^2<0$ จะ ไม่มี รากเลย

   ค่า $k$ ที่ต่างกันให้ค่า $|x|$ ที่ต่างกัน จึงไม่มีรากใดถูกนับซ้ำ

3. 3

   ตัดกรณีที่จุดขอบออกไปทันที ถ้า $a=4\pi^2m^2$ สำหรับจำนวนเต็ม $m$ บางตัว จำนวนรากรวมจะเป็น $2m+1$ ซึ่งเป็นจำนวน คี่ เนื่องจาก $8$ เป็นจำนวนคู่ ค่า $a$ เช่นนั้นจึงใช้ไม่ได้เลย และทุกระดับต้องผ่านแบบเข้มงวด

4. 4

   ต้องมีค่า $k$ ที่ใช้ได้สี่ค่าพอดี เมื่อไม่มีกรณีเท่ากัน จำนวนรากคือ $2\times(\text{จำนวน }k\text{ ที่ }4\pi^2k^2<a)$ การให้ค่านี้เป็น $8$ หมายความว่า $k=0,1,2,3$ ต้องสอดคล้องกับอสมการเข้มงวดทั้งหมด ขณะที่ $k=4$ ต้องไม่ผ่าน

   $4\pi^2\cdot3^2<a\le 4\pi^2\cdot4^2$

5. 5

   ตัดจุดปลายที่ปิดอยู่ทิ้ง ปลายขวา $a=64\pi^2$ เป็นหนึ่งในค่าขอบที่ถูกตัดออก (เพราะให้ราก $2\cdot4+1=9$ ราก) จึงต้องตัดทิ้ง และ $a=36\pi^2$ ก็ให้ราก $2\cdot3+1=7$ ราก คำตอบจึงเป็นช่วงเปิด

   $36\pi^2<a<64\pi^2$

6. 6

   ตรวจปลายทั้งสองด้วยการนับ ที่ $a=50\pi^2$ (ซึ่งอยู่ในช่วง) ระดับ $k=0,1,2,3$ ผ่านทั้งหมดและ $k=4$ ไม่ผ่าน ได้ราก $2\cdot4=8$ ราก ที่ $a=36\pi^2$ จำนวนรากลดเหลือ $7$ และที่ $a=64\pi^2$ กระโดดขึ้นเป็น $9$ อสมการเข้มงวดที่ปลายทั้งสองข้างจึงจำเป็นจริง ๆ