ให้ f(x) = x^2 + 2x - 3 เมื่อ x < 2 และ f(x) = ax + 1 เมื่อ x >= 2 จงหาค่าของ a ที่ทำให้ f ต่อเนื่องที่ x = 2

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนสิ่งที่ความต่อเนื่องที่จุดหนึ่งเรียกร้อง ฟังก์ชันจะต่อเนื่องที่ $x=2$ ก็ต่อเมื่อทั้งสามสิ่งนี้มีอยู่และเท่ากันหมด

   $\lim_{x\to 2^-}f(x)=f(2)=\lim_{x\to 2^+}f(x)$

   แต่ละกิ่งเป็นพหุนาม จึงต่อเนื่องบนฝั่งของตัวเองอยู่แล้ว สิ่งเดียวที่พังได้คือความไม่ตรงกันที่รอยต่อ $x=2$

2. 2

   คำนวณลิมิตข้างซ้ายจากกิ่งแรก สำหรับ $x<2$ กฎคือ $f(x)=x^2+2x-3$ ซึ่งเป็นพหุนาม ลิมิตจึงเท่ากับค่าของมันที่ $2$

   $\lim_{x\to 2^-}f(x)=2^2+2(2)-3=4+4-3=5$

3. 3

   คำนวณค่าที่จุดและลิมิตข้างขวาจากกิ่งที่สอง กฎที่สองใช้กับ $x\ge 2$ มันจึงให้ทั้ง $f(2)$ และลิมิตข้างขวา

   $f(2)=2a+1,\qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=2a+1$

   เนื่องจากอสมการเป็น $x\ge 2$ ไม่ใช่ $x>2$ ฟังก์ชันจึงนิยามที่รอยต่ออยู่แล้ว ไม่มีรูโหว่ให้อุด มีแต่การกระโดดที่ต้องปิด

4. 4

   ให้สองข้างเท่ากันแล้วแก้สมการ ความต่อเนื่องบังคับให้

   $2a+1=5\qquad\Longrightarrow\qquad 2a=4\qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{a=2}$

5. 5

   ตรวจด้วยการเขียนฟังก์ชันใหม่ เมื่อ $a=2$

   $f(x)=\begin{cases} x^2+2x-3, & x<2\\ 2x+1, & x\ge 2\end{cases}$

   เข้าใกล้จากทางซ้าย $f(1.99)=4.9401$ จากทางขวา $f(2.01)=5.02$ และ $f(2)=5$ กราฟจึงเชื่อมกันโดยไม่กระโดด สังเกตว่าสิ่งที่ได้มีเพียงความต่อเนื่องเท่านั้น อนุพันธ์ทางซ้ายคือ $2x+2=6$ ที่ $x=2$ ขณะที่อนุพันธ์ทางขวาคือ $2$ กราฟจึงยังมีมุมหักตรงนั้น และไม่มีค่า $a$ ใดที่ทำให้หาอนุพันธ์ได้