Calculus · real student question

จงหาอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งทั้งสองตัวของ z = ln( (x - รากที่สองของ (x^2 - y^2)) / (x + รากที่สองของ (x^2 - y^2)) )

Question

จงหาอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งทั้งสองตัวคือ ∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x} และ ∂z∂y\dfrac{\partial z}{\partial y} ของ

z=ln⁡ ⁣(x−x2−y2x+x2−y2)z=\ln\!\left(\frac{x-\sqrt{x^2-y^2}}{x+\sqrt{x^2-y^2}}\right)

Step-by-step solution

  1. แตกลอการิทึมของผลหารให้เป็นผลต่างของลอการิทึมก่อน การจัดรูปก่อนหาอนุพันธ์ช่วยประหยัดการคำนวณด้วยกฎผลหารไปทั้งชุด เขียน u=x2−y2u=\sqrt{x^2-y^2} จะได้

    z=ln⁡(x−u)−ln⁡(x+u)z=\ln(x-u)-\ln(x+u)

    และให้บันทึกอนุพันธ์ย่อยสองตัวของรากข้างในไว้ครั้งเดียว เพราะอนุพันธ์ทั้งสองตัวต้องใช้

    ux=xx2−y2=xu,uy=−yx2−y2=−yuu_x=\frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}=\frac{x}{u},\qquad u_y=\frac{-y}{\sqrt{x^2-y^2}}=-\frac{y}{u}

    อีกความสัมพันธ์หนึ่งจะทำงานหนักแทนเราในภายหลัง คือ x2−u2=x2−(x2−y2)=y2x^2-u^2=x^2-(x^2-y^2)=y^2

  2. หาอนุพันธ์เทียบ xx โดยมอง yy เป็นค่าคงตัว ใช้กฎลูกโซ่กับลอการิทึมแต่ละตัวได้

    ∂z∂x=1−uxx−u−1+uxx+u=1−xux−u−1+xux+u\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1-u_x}{x-u}-\frac{1+u_x}{x+u}=\frac{1-\dfrac{x}{u}}{x-u}-\frac{1+\dfrac{x}{u}}{x+u}

    อย่า หยุด ตรงนี้แล้วเดาว่าสองก้อนที่หน้าตาสมมาตรกันจะตัดกัน เพราะมันไม่ตัด ต้องจัดรูปแต่ละก้อนก่อน

  3. จัดรูปแต่ละก้อนแยกกัน ทำตัวเศษให้อยู่บนตัวส่วน uu

    1−xux−u=u−xux−u=−(x−u)u(x−u)=−1u\frac{1-\frac{x}{u}}{x-u}=\frac{\frac{u-x}{u}}{x-u}=\frac{-(x-u)}{u(x-u)}=-\frac{1}{u}

    1+xux+u=u+xux+u=x+uu(x+u)=1u\frac{1+\frac{x}{u}}{x+u}=\frac{\frac{u+x}{u}}{x+u}=\frac{x+u}{u(x+u)}=\frac{1}{u}

    พจน์แรกจึงเป็น −1u-\tfrac1u และพจน์ที่สองเป็น +1u+\tfrac1u ส่วนอนุพันธ์คือ ผลต่าง ของทั้งสอง

    ∂z∂x=−1u−1u=−2u=−2x2−y2\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{1}{u}-\frac{1}{u}=-\frac{2}{u}=-\frac{2}{\sqrt{x^2-y^2}}

    ขั้นนี้คือขั้นที่พลาดเครื่องหมายแล้วพังทั้งข้อ การเอา +1u+\tfrac1u ไปลบออกจาก −1u-\tfrac1u ให้ −2u-\tfrac2u ไม่ใช่ 00

  4. หาอนุพันธ์เทียบ yy โดยมอง xx เป็นค่าคงตัว คราวนี้มีเพียง uu ที่ขึ้นกับ yy

    ∂z∂y=−uyx−u−uyx+u=y/ux−u+y/ux+u=yu(1x−u+1x+u)\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-u_y}{x-u}-\frac{u_y}{x+u}=\frac{y/u}{x-u}+\frac{y/u}{x+u}=\frac{y}{u}\left(\frac{1}{x-u}+\frac{1}{x+u}\right)

    ทั้งสองพจน์ลงเอยเป็นบวก เพราะแต่ละพจน์พาตัวประกอบเดียวกันคือ −uy=+yu-u_y=+\dfrac{y}{u} มาด้วย เครื่องหมายลบจากกฎผลหารกับเครื่องหมายลบจาก uy=−y/uu_y=-y/u หักล้างกันเอง

  5. รวมสองเศษส่วนเข้าด้วยกันโดยใช้ x2−u2=y2x^2-u^2=y^2

    1x−u+1x+u=(x+u)+(x−u)x2−u2=2xy2\frac{1}{x-u}+\frac{1}{x+u}=\frac{(x+u)+(x-u)}{x^2-u^2}=\frac{2x}{y^2}

    ดังนั้น

    ∂z∂y=yu⋅2xy2=2xy u=2xyx2−y2\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{u}\cdot\frac{2x}{y^2}=\frac{2x}{y\,u}=\frac{2x}{y\sqrt{x^2-y^2}}

  6. ตรวจคำตอบทั้งสองเชิงตัวเลข ให้ x=3x=3, y=2y=2 ดังนั้น u=9−4=5≈2.2360680u=\sqrt{9-4}=\sqrt5\approx2.2360680 ผลต่างแบบกลางที่ขั้น 10−610^{-6} ให้

    zx≈−0.8944272,zy≈1.3416408z_x\approx-0.8944272,\qquad z_y\approx1.3416408

    ส่วนสูตรให้ −2/5=−0.8944272-2/\sqrt5=-0.8944272 และ 2(3)/(25)=1.34164082(3)/(2\sqrt5)=1.3416408 ตรงกันถึงทศนิยมเจ็ดตำแหน่งทั้งคู่ (คำตอบผิดที่พบบ่อยคือ zx=0z_x=0 ซึ่งตกการทดสอบนี้ทันที เพราะ zz เปลี่ยนค่าจริง ๆ เมื่อ xx ขยับโดยตรึง yy ไว้)

Answer

∂z∂x=−2x2−y2,∂z∂y=2xyx2−y2\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2}{\sqrt{x^2-y^2}},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2x}{y\sqrt{x^2-y^2}}

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions