จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ x กำลังสอง คูณกับ e ยกกำลัง x เทียบกับ x

Step-by-step solution

1. 1

   มองให้ออกว่าเป็นผลคูณแบบใด แล้วเลือก $u$ ให้พหุนามหดลง ตัวถูกอินทิเกรตเป็นพหุนามคูณกับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ซึ่งเป็นสัญญาณคลาสสิกของ การอินทิเกรตทีละส่วน

   $\int u\,dv=uv-\int v\,du$

   เลือก $u=x^2$ และ $dv=e^x\,dx$ เหตุผลคือการหาอนุพันธ์ของ $x^2$ จะ ลด ดีกรีของมัน ขณะที่ $e^x$ ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่ออินทิเกรต การใช้สูตรแต่ละรอบจึงพาเราเข้าใกล้ปริพันธ์ที่ทำได้จริงเสมอ ถ้าเลือกกลับกัน ($u=e^x$) จะยกกำลังขึ้นเป็น $x^3$ และทำให้โจทย์แย่ลง

2. 2

   ใช้สูตรรอบแรก เมื่อ $u=x^2$ และ $dv=e^x\,dx$ จะได้ $du=2x\,dx$ และ $v=e^x$ ดังนั้น

   $\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-\int e^x\cdot 2x\,dx=x^2e^x-2\int xe^x\,dx$

   ปริพันธ์ที่เหลือมีรูปร่างเดิม แต่เปลี่ยนจาก $x^2$ เป็น $x$ ดีกรีลดลงหนึ่งพอดีตามแผน

3. 3

   ใช้สูตรรอบที่สองกับ $\int xe^x\,dx$ ให้ $u=x$, $dv=e^x\,dx$ ดังนั้น $du=dx$ และ $v=e^x$

   $\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x$

   โดยทั่วไป $\int x^n e^x\,dx$ ต้องทำ $n$ รอบ เพราะดีกรีลดลงหนึ่งทุกครั้ง ในที่นี้ $n=2$ จึงต้องทำสองรอบพอดี

4. 4

   แทนกลับแล้วจัดรูป ใส่ผลของรอบที่สองกลับเข้าไปในรอบแรก

   $\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2\big(xe^x-e^x\big)=x^2e^x-2xe^x+2e^x$

   ดึงตัวประกอบร่วม $e^x$ ออกมาได้รูปที่เรียบร้อย

   $\int x^2e^x\,dx=e^x\left(x^2-2x+2\right)+C$

   อย่าลืมค่าคงตัว $C$ ซึ่งเติมเพียงครั้งเดียวตอนท้ายสุด ไม่ใช่เติมหลังทุกรอบ

5. 5

   ตรวจคำตอบด้วยการหาอนุพันธ์ นี่คือการตรวจที่ใช้ได้เสมอสำหรับปริพันธ์ไม่จำกัดเขต โดยกฎผลคูณ

   $\frac{d}{dx}\Big[e^x\big(x^2-2x+2\big)\Big]=e^x\big(x^2-2x+2\big)+e^x\big(2x-2\big)=e^x\big(x^2-2x+2+2x-2\big)=x^2e^x$

   พจน์เชิงเส้นสองก้อนตัดกัน และเราได้ตัวถูกอินทิเกรตเดิมกลับมาพอดี ปฏิยานุพันธ์จึงถูกต้อง

6. 6

   จำแบบรูปไว้ใช้ซ้ำ โครงสร้างเครื่องหมายสลับนี้ขยายผลได้

   $\int x^ne^x\,dx=e^x\left(x^n-nx^{n-1}+n(n-1)x^{n-2}-\cdots\pm n!\right)+C$

   สำหรับ $n=2$ อ่านได้เป็น $e^x(x^2-2x+2)+C$ ตรงกับที่เราหาไว้ การจำแบบรูปนี้ทำให้เขียน $\int x^3e^x\,dx=e^x(x^3-3x^2+6x-6)+C$ ได้ทันทีโดยไม่ต้องทำงานซ้ำสามรอบ