จงหาปริมาตรของทรงตันที่เกิดจากการหมุนบริเวณที่ล้อมด้วย y = x² + 5 แกน x แกน y และเส้นตรง x = 5 ไปรอบแกน x เป็นมุม 360°

Step-by-step solution

1. 1

   ตรึงบริเวณให้ชัดแล้วเลือกวิธี ขอบทั้งสี่ให้ $0\le x\le 5$ (แกน $y$ คือ $x=0$) และ $0\le y\le x^2+5$ เนื่องจาก $x^2+5>0$ ทุกจุดบน $[0,5]$ เส้นโค้งจึงไม่เคยตัดแกนหมุน และบริเวณแตะแกนนั้นตลอดฐานของมัน ภาคตัดที่ตั้งฉากกับแกน $x$ แต่ละภาคจึงเป็น จานกลมเต็มวง ไม่ใช่วงแหวน วิธีจานกลมจึงเป็นทางเลือกตรงไปตรงมา ส่วนวิธีเปลือกทรงกระบอกจะต้องแบ่งบริเวณที่ $y=5$ และงานมากกว่า

2. 2

   เขียนปริพันธ์ตามวิธีจานกลม แผ่นบาง ๆ ที่ตำแหน่ง $x$ หนา $dx$ กวาดเป็นจานกลมรัศมี $R(x)=y=x^2+5$ พื้นที่ $\pi R(x)^2$ ดังนั้น

   $V=\pi\int_0^5 \left(x^2+5\right)^2 dx.$

3. 3

   กระจายกำลังสองก่อนอินทิเกรต ตรงนี้ไม่มีทางลัดแบบกฎลูกโซ่ ($\int (x^2+5)^2dx \ne \tfrac{(x^2+5)^3}{3}$ เพราะอนุพันธ์ของสิ่งที่อยู่ข้างในไม่ใช่ค่าคงตัว) จึงต้องคูณกระจายออกก่อน

   $\left(x^2+5\right)^2=x^4+10x^2+25.$

4. 4

   อินทิเกรตทีละพจน์ แต่ละพจน์เป็นกำลังธรรมดา

   $V=\pi\int_0^5\left(x^4+10x^2+25\right)dx=\pi\left[\frac{x^5}{5}+\frac{10x^3}{3}+25x\right]_0^5.$

5. 5

   แทนขอบเขต ที่ $x=5$: $\tfrac{5^5}{5}=625$, $\tfrac{10\cdot 125}{3}=\tfrac{1250}{3}$ และ $25\cdot 5=125$ ส่วนขอบล่างให้ $0$ เมื่อบวกกันบนตัวส่วนร่วม $3$

   $625+125+\frac{1250}{3}=\frac{1875+375+1250}{3}=\frac{3500}{3}.$

6. 6

   สรุปปริมาตร ดังนั้น

   $V=\frac{3500\pi}{3}\approx 3665.19\text{ หน่วยลูกบาศก์}.$

   การคำนวณ $\pi\int_0^5(x^2+5)^2dx$ เชิงตัวเลขให้ $3665.1914$ ยืนยันค่าที่แน่นอน