ฐานของทรงตันคือบริเวณในจตุภาคที่หนึ่งซึ่งล้อมด้วยแกน x แกน y เส้นโค้ง y = e^x และเส้นตรงแนวตั้ง x = 3 ภาคตัดทุกภาคที่ตั้งฉากกับแกน x เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จงหาปริมาตรของทรงตันนี้

Step-by-step solution

1. 1

   อ่านฐานทีละแผ่นแนวตั้ง โจทย์ปริมาตรจากภาคตัดไม่เคยต้องการรูปร่างของทรงตันทั้งก้อน ต้องการเพียงขนาดของแผ่นเดียว ตรึง $x$ ค่าหนึ่งระหว่าง $0$ กับ $3$ แล้วหั่นฐานในแนวตั้ง ด้านล่างของฐานคือแกน $x$ ($y=0$) และด้านบนคือเส้นโค้ง $y=e^{x}$ แผ่นนั้นจึงมีความยาว

   $L(x)=e^{x}-0=e^{x}.$

   ส่วนแกน $y$ กับเส้น $x=3$ เพียงบอกว่าเริ่มหั่นและหยุดหั่นที่ไหน คือ $0\le x\le 3$

2. 2

   เปลี่ยนความยาวของแผ่นให้เป็นพื้นที่ภาคตัด ภาคตัดที่ตั้งอยู่บนแผ่นนั้นเป็นรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัส และแผ่นนั้นคือด้านเต็ม ๆ ด้านหนึ่งของมัน ความยาวด้านจึงเป็น $s=e^{x}$ และพื้นที่ภาคตัดคือ

   $A(x)=s^{2}=\left(e^{x}\right)^{2}=e^{2x}.$

   กฎ $(e^{x})^{2}=e^{2x}$ คือสิ่งที่ทำให้ปริพันธ์นี้เป็นปริพันธ์พื้นฐาน จึงควรยกกำลังสองก่อนอินทิเกรต ไม่ใช่ทำทีหลัง

3. 3

   ตั้งปริพันธ์หาปริมาตร ซ้อนแผ่นที่มีพื้นที่ $A(x)$ และหนา $dx$ ตั้งแต่ $x=0$ ถึง $x=3$ จะได้

   $V=\int_{0}^{3}A(x)\,dx=\int_{0}^{3}e^{2x}\,dx.$

4. 4

   อินทิเกรต ด้วยการแทน $u=2x$ (หรือแค่สังเกตแบบรูป) ได้ $\int e^{2x}\,dx=\tfrac12 e^{2x}$ เพราะการหาอนุพันธ์ของ $\tfrac12 e^{2x}$ จะคืนตัวประกอบ $2$ กลับมา

   $V=\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_{0}^{3}=\frac{1}{2}e^{6}-\frac{1}{2}e^{0}.$

5. 5

   คำนวณและตรวจความสมเหตุสมผล เนื่องจาก $e^{0}=1$

   $V=\frac{e^{6}-1}{2}\approx 201.214.$

   ตรวจเร็ว ๆ: ภาคตัดที่ใหญ่ที่สุด (ที่ $x=3$) มีพื้นที่ $e^{6}\approx 403.4$ และที่เล็กที่สุด (ที่ $x=0$) มีพื้นที่ $1$ ปริมาตรราว $201$ บนความยาว $3$ จึงอยู่ในระดับที่ถูกต้อง พื้นที่โตเร็วมากจนปริมาตรเกือบทั้งหมดกระจุกอยู่ใกล้ $x=3$ การอินทิเกรต $e^{2x}$ บน $[0,3]$ เชิงตัวเลขให้ $201.21440$ ตรงกับค่าที่แน่นอน