จงหาค่าปริพันธ์จำกัดเขตจาก x = -2 ถึง x = 2 ของ (x^3 cos(x/2) + 1/2) คูณกับรากที่สองของ (4 - x^2)

Step-by-step solution

1. 1

   แยกปริพันธ์ออกก่อนจะพยายามหาปฏิยานุพันธ์ ตัวประกอบ $x^{3}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}$ ไม่มีปฏิยานุพันธ์ในรูปฟังก์ชันพื้นฐาน ความพยายามแทนค่าหรือใช้การแยกส่วนจึงล้มเหลวแน่นอน เนื่องจากช่วงสมมาตรรอบ $0$ ให้แยกออกเป็นสองก้อนแทน

   $\int_{-2}^{2}x^{3}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx+\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx.$

2. 2

   จำแนกก้อนแรกด้วยความเป็นคี่คู่ $x^{3}$ เป็นฟังก์ชันคี่ $\cos\frac{x}{2}$ เป็นฟังก์ชันคู่ และ $\sqrt{4-x^{2}}$ เป็นฟังก์ชันคู่ คี่ $\times$ คู่ $\times$ คู่ ได้ฟังก์ชันคี่ ตัวถูกอินทิเกรตทั้งก้อนจึงสอดคล้องกับ $f(-x)=-f(x)$ บนช่วงที่สมมาตร ฟังก์ชันคี่ทุกตัวอินทิเกรตได้ศูนย์ เพราะพื้นที่เชิงเครื่องหมายบน $[-2,0]$ หักล้างกับพื้นที่บน $[0,2]$ พอดี

   $\int_{-2}^{2}x^{3}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=0.$

   นี่คือแก่นของโจทย์ทั้งข้อ พจน์ที่ดูยากคือตัวล่อ

3. 3

   มองก้อนที่สองให้ออกว่าเป็นครึ่งวงกลม เส้นโค้ง $y=\sqrt{4-x^{2}}$ สมมูลกับ $x^{2}+y^{2}=4$ ที่ $y\ge 0$ นั่นคือครึ่งบนของวงกลมรัศมี $2$ ปริพันธ์นี้จึงเป็นพื้นที่เชิงเรขาคณิต ไม่ใช่สิ่งที่ต้องไปหาปฏิยานุพันธ์

   $\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\pi r^{2}=\frac{1}{2}\pi(2)^{2}=2\pi.$

4. 4

   ประกอบกลับเข้าด้วยกัน คูณครึ่งวงกลมด้วยค่าคงตัว $\tfrac12$ แล้วบวกส่วนที่เป็นฟังก์ชันคี่ซึ่งหายไป

   $\int_{-2}^{2}\left(x^{3}\cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)\sqrt{4-x^{2}}\,dx=0+\frac{1}{2}(2\pi)=\pi.$

5. 5

   ตรวจเชิงตัวเลข กฎซิมป์สันแบบประกอบบน $[-2,2]$ ให้ $3.1415926$ สำหรับตัวถูกอินทิเกรตทั้งก้อน และให้ $2\times10^{-16}$ สำหรับส่วนที่เป็นฟังก์ชันคี่เพียงลำพัง ยืนยันทั้งค่าที่แน่นอน $\pi\approx 3.14159$ และเหตุผลเรื่องการหักล้าง