จงหาลิมิตของ ln(1 + 2^x) คูณกับ ln(1 + 2/x) เมื่อ x เข้าสู่อนันต์ทางบวก

Step-by-step solution

1. 1

   ระบุรูปแบบไม่กำหนด เมื่อ $x\to+\infty$ ตัวประกอบแรก $\ln(1+2^x)\to+\infty$ ขณะที่ตัวประกอบที่สอง $\ln\left(1+\tfrac{2}{x}\right)\to\ln 1=0$ ผลคูณจึงเป็นชนิด $\infty\cdot 0$ ซึ่งลู่เข้าสู่อะไรก็ได้ ต้องนำตัวประกอบทั้งสองมาชั่งน้ำหนักกัน

2. 2

   แทนตัวประกอบที่โตด้วยส่วนที่มีอิทธิพลสูงสุด ดึง $2^x$ ออกมาข้างในลอการิทึม

   $\ln(1+2^x)=\ln\left[2^x\left(1+2^{-x}\right)\right]=x\ln 2+\ln\left(1+2^{-x}\right)$

   ส่วนแก้ $\ln(1+2^{-x})\to 0$ ดังนั้น

   $\frac{\ln(1+2^x)}{x\ln 2}\to 1,\qquad\text{นั่นคือ}\qquad \ln(1+2^x)\sim x\ln 2$

   การเขียนเอกลักษณ์ที่แน่นอนออกมา แทนที่จะพูดลอย ๆ คือสิ่งที่ทำให้ความสมมูลนี้รัดกุม

3. 3

   แทนตัวประกอบที่หายไปด้วยการประมาณเชิงเส้น ให้ $t=\tfrac{2}{x}\to 0$ ความสมมูลมาตรฐาน $\ln(1+t)\sim t$ ให้

   $\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\sim\frac{2}{x}$

   ซึ่งมาจาก $\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1$ โดยตรง อันเป็นอนุพันธ์ของ $\ln(1+t)$ ที่ $t=0$

4. 4

   คูณความสมมูลทั้งสองเข้าด้วยกัน ความสมมูลเชิงเส้นกำกับคงอยู่ภายใต้การคูณ ดังนั้น

   $\ln(1+2^x)\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\sim (x\ln 2)\cdot\frac{2}{x}=2\ln 2$

   ตัว $x$ ตัดกันพอดี ลอการิทึมโตแบบเชิงเส้นและอีกตัวประกอบสลายตัวแบบ $1/x$ ผลคูณจึงลงตัวที่ค่าคงตัวจำกัด

5. 5

   สรุปและหาค่า

   $\boxed{\lim_{x\to+\infty}\ln(1+2^x)\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)=2\ln 2=\ln 4\approx 1.3863}$

6. 6

   ตรวจการลู่เข้าเชิงตัวเลข ที่ $x=100$ ผลคูณเท่ากับ $1.37261$ ที่ $x=1000$ เท่ากับ $1.38491$ และที่ $x=10^4$ เท่ากับ $1.386156$ ค่อย ๆ ไต่เข้าหา $2\ln 2=1.386294$ การลู่เข้าค่อนข้างช้า (ความคลาดเคลื่อนอยู่ในอันดับ $1/x$) ซึ่งตรงกับที่พจน์ที่เราตัดทิ้งทำนายไว้พอดี