จงใช้การประมาณเชิงเส้นเฉพาะที่ของ f(x) = รากที่สามของ (64 + x) ที่ x = 0 เพื่อประมาณค่ารากที่สามของ 62.5 แล้วเปรียบเทียบกับค่าที่แท้จริง

Step-by-step solution

1. 1

   เข้าใจก่อนว่าทำไมจึงเขียนฟังก์ชันเป็น $\sqrt[3]{64+x}$ แทนที่จะเป็น $\sqrt[3]{x}$ การประมาณเชิงเส้นแม่นยำเฉพาะบริเวณใกล้จุดฐาน และจะ มีประโยชน์ ก็ต่อเมื่อจุดฐานเป็นจุดที่เราหาค่าได้แน่นอน ในที่นี้ $64$ เป็นกำลังสามสมบูรณ์ และ $62.5$ อยู่ใกล้มัน การเลื่อนตัวแปรจึงวางจุดฐานไว้ที่ $x_0=0$ โดยที่ $f(0)=\sqrt[3]{64}=4$ รู้ค่าแน่นอน

2. 2

   หาอนุพันธ์แล้วแทนค่าที่จุดฐาน เขียน $f(x)=(64+x)^{1/3}$

   $f'(x)=\frac13(64+x)^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{(64+x)^2}}$

   $f'(0)=\frac{1}{3\cdot 64^{2/3}}=\frac{1}{3\cdot 16}=\frac{1}{48}$

3. 3

   เขียนรูปเชิงเส้นออกมา เส้นสัมผัสที่ $x_0=0$ คือ

   $L(x)=f(0)+f'(0)(x-0)=4+\frac{x}{48}$

   สมการนี้บอกว่า การเปลี่ยนแปลงเล็ก ๆ ขนาด $x$ ในตัวเลขใต้ราก จะเปลี่ยนรากที่สามไปราว $x/48$ ตัวประกอบ $1/48$ คือเนื้อหาทั้งหมดของการประมาณนี้

4. 4

   เลือกค่าที่ป้อนเข้าให้ได้ตัวเลขที่โจทย์ถาม เราต้องการ $64+x=62.5$ ดังนั้น

   $x=-1.5$

   $\sqrt[3]{62.5}\approx L(-1.5)=4+\frac{-1.5}{48}=4-0.03125=3.96875=\frac{127}{32}$

5. 5

   เปรียบเทียบกับค่าที่แท้จริง

   $\sqrt[3]{62.5}=3.968503\ldots$

   $\text{ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์}=3.96875-3.968503=0.000247,\qquad\text{ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์}\approx 0.0062\%$

   ได้ตัวเลขสี่หลักแรกตรงกัน จากการหาอนุพันธ์เพียงครั้งเดียว

6. 6

   อธิบายทิศทางของความคลาดเคลื่อน ซึ่งไม่ใช่เรื่องบังเอิญ หาอนุพันธ์อีกครั้ง

   $f''(x)=-\frac{2}{9}(64+x)^{-5/3}<0$

   ดังนั้น $f$ เว้าลงในบริเวณใกล้ $x=0$ และกราฟของมันอยู่ ใต้ เส้นสัมผัสทุกเส้น ค่าประมาณเชิงเส้นจึงต้องเป็นค่าที่สูงเกินจริง และก็เป็นเช่นนั้นจริง เพราะ $3.96875>3.968503$ เหตุผลเดียวกันทำนายว่าความคลาดเคลื่อนโตแบบ $\tfrac12|f''(0)|x^2$ คือราว $0.00024$ เมื่อ $x=-1.5$ ซึ่งตรงกับความคลาดเคลื่อนที่สังเกตได้แทบเป๊ะ