Calculus · real student question

รูประนาบถูกล้อมด้วยวงกลม x² + y² − 7y = 0 และ x² + y² − 9y = 0 กับเส้นตรง y = x/√3 และ x = 0 จงเขียนปริพันธ์สำหรับพื้นที่ของรูปนี้ในพิกัดเชิงขั้ว แล้วหาค่าพื้นที่

Question

รูประนาบรูปหนึ่งถูกล้อมด้วยเส้น

x2+y2−7y=0,x2+y2−9y=0,y=x3,x=0.x^2+y^2-7y=0,\qquad x^2+y^2-9y=0,\qquad y=\frac{x}{\sqrt{3}},\qquad x=0.

จงเขียนปริพันธ์ที่ให้พื้นที่ของรูปนี้ในพิกัดเชิงขั้ว (r,φ)(r,\varphi) แล้วหาค่า

Step-by-step solution

  1. แปลงวงกลมทั้งสองเป็นรูปเชิงขั้ว แทน x=rcos⁡φx=r\cos\varphi, y=rsin⁡φy=r\sin\varphi จะเปลี่ยน x2+y2x^2+y^2 เป็น r2r^2 ดังนั้น x2+y2−7y=0x^2+y^2-7y=0 กลายเป็น r2−7rsin⁡φ=0r^2-7r\sin\varphi=0 หรือ r(r−7sin⁡φ)=0r(r-7\sin\varphi)=0 ตัดขั้ว r=0r=0 ทิ้งจะได้ r=7sin⁡φr=7\sin\varphi และทำแบบเดียวกันกับวงกลมที่สองได้ r=9sin⁡φr=9\sin\varphi ทั้งคู่เป็นวงกลมที่ผ่านจุดกำเนิดและมีจุดศูนย์กลางบนแกน yy ในบริเวณนี้รัศมีจึงวิ่งจากวงเล็กไปวงใหญ่

    7sin⁡φ≤r≤9sin⁡φ.7\sin\varphi \le r \le 9\sin\varphi.

  2. แปลงเส้นตรงสองเส้นให้เป็นมุม เส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดคือรังสีเดี่ยว φ=ค่าคงตัว\varphi=\text{ค่าคงตัว} ในพิกัดเชิงขั้ว เส้น x=0x=0 คือแกน yy จึงได้ φ=π2\varphi=\tfrac{\pi}{2} ส่วน y=x3y=\tfrac{x}{\sqrt3} แทนรูปเชิงขั้วได้ rsin⁡φ=rcos⁡φ3r\sin\varphi=\tfrac{r\cos\varphi}{\sqrt3} ดังนั้น tan⁡φ=13\tan\varphi=\tfrac{1}{\sqrt3} และ φ=π6\varphi=\tfrac{\pi}{6} มุมจึงกวาดในช่วง

    π6≤φ≤π2.\frac{\pi}{6}\le\varphi\le\frac{\pi}{2}.

  3. ประกอบเป็นปริพันธ์หาพื้นที่ ธาตุพื้นที่ในพิกัดเชิงขั้วคือ dS=r dr dφdS=r\,dr\,d\varphi ตัวประกอบ rr ที่เพิ่มเข้ามาคือจาโคเบียน และเป็นสิ่งที่คนลืมบ่อยที่สุดในหัวข้อนี้ เมื่อใช้ขอบเขตที่หาไว้ข้างต้น

    S=∫π/6π/2∫7sin⁡φ9sin⁡φr dr dφ.S=\int_{\pi/6}^{\pi/2}\int_{7\sin\varphi}^{9\sin\varphi} r\,dr\,d\varphi.

  4. หาปริพันธ์ชั้นในเทียบ rr เพราะตัวถูกอินทิเกรตเป็นแค่ rr ปริพันธ์ชั้นในจึงเป็นผลต่างกำลังสอง ซึ่งเป็นเหตุผลที่ sin⁡2φ\sin^2\varphi ถูกดึงออกมาได้อย่างสวยงาม

    ∫7sin⁡φ9sin⁡φr dr=(9sin⁡φ)2−(7sin⁡φ)22=81−492sin⁡2φ=16sin⁡2φ.\int_{7\sin\varphi}^{9\sin\varphi} r\,dr=\frac{(9\sin\varphi)^2-(7\sin\varphi)^2}{2}=\frac{81-49}{2}\sin^2\varphi=16\sin^2\varphi.

  5. หาปริพันธ์เทียบ φ\varphi ด้วยเอกลักษณ์ลดกำลัง sin⁡2φ\sin^2\varphi ไม่มีปฏิยานุพันธ์พื้นฐานให้เห็นทันที จึงเขียนใหม่เป็น sin⁡2φ=1−cos⁡2φ2\sin^2\varphi=\tfrac{1-\cos 2\varphi}{2}

    S=∫π/6π/216sin⁡2φ dφ=8∫π/6π/2(1−cos⁡2φ) dφ=8[φ−sin⁡2φ2]π/6π/2.S=\int_{\pi/6}^{\pi/2}16\sin^2\varphi\,d\varphi=8\int_{\pi/6}^{\pi/2}(1-\cos 2\varphi)\,d\varphi=8\left[\varphi-\frac{\sin 2\varphi}{2}\right]_{\pi/6}^{\pi/2}.

  6. แทนค่าที่ขอบเขต ที่ φ=π2\varphi=\tfrac{\pi}{2}: π2−sin⁡π2=π2\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\sin\pi}{2}=\tfrac{\pi}{2} ที่ φ=π6\varphi=\tfrac{\pi}{6}: π6−12sin⁡π3=π6−34\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{1}{2}\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{4} ลบกันแล้วคูณ 88

    S=8(π2−π6+34)=8⋅π3+23=8π3+23≈11.84.S=8\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{4}\right)=8\cdot\frac{\pi}{3}+2\sqrt3=\frac{8\pi}{3}+2\sqrt3\approx 11.84.

    ตรวจปริพันธ์เดียวกันเชิงตัวเลขได้ 11.841711.8417 รูปปิดจึงถูกต้อง

Answer

S=∫π/6π/2∫7sin⁡φ9sin⁡φr dr dφ=8π3+23≈11.84S=\int_{\pi/6}^{\pi/2}\int_{7\sin\varphi}^{9\sin\varphi} r\,dr\,d\varphi=\frac{8\pi}{3}+2\sqrt{3}\approx 11.84

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions