กำหนดให้ F(x) เป็นปริพันธ์ของ dx/(2x + 1) โดยมี F(0) = 0 จงหา F((e² − 1)/2)

Step-by-step solution

1. 1

   หาปริพันธ์ด้วยการแทนค่า $u=2x+1$ ตัวถูกอินทิเกรตเป็นส่วนกลับของฟังก์ชันเชิงเส้น การแทนค่าเชิงเส้นจึงจัดการได้ทันที

   $u=2x+1,\qquad du=2\,dx,\qquad dx=\frac{du}{2}$

   $F(x)=\int\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\ln|u|+C=\frac{1}{2}\ln|2x+1|+C$

   ตัวประกอบ $\tfrac12$ มาจากการย้อนอนุพันธ์ของสิ่งที่อยู่ข้างใน การลืมตัวนี้คือความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดของปริพันธ์กลุ่มนี้

2. 2

   ตรึงค่าคงตัวด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น แทน $x=0$

   $F(0)=\frac{1}{2}\ln|1|+C=0+C$

   และ $F(0)=0$ บังคับให้

   $C=0\qquad\Longrightarrow\qquad F(x)=\frac{1}{2}\ln|2x+1|$

   เงื่อนไขนี้เองที่ยกระดับตระกูลปฏิยานุพันธ์ทั้งตระกูลให้เหลือฟังก์ชันเดียว

3. 3

   จัดรูปสิ่งที่จะแทนเข้าไปก่อน เมื่อ $x=\dfrac{e^2-1}{2}$

   $2x+1=2\cdot\frac{e^2-1}{2}+1=(e^2-1)+1=e^2$

   ค่าที่ดูยุ่งยากนี้ถูกออกแบบมาให้ $2x+1$ ยุบเหลือ $e^2$ พอดี ให้จัดรูปข้างในลอการิทึมก่อนเสมอ และเนื่องจาก $e^2>0$ ค่าสัมบูรณ์จึงไม่มีผลอะไร

4. 4

   แทนค่าและคำนวณ ใช้ $\ln(e^2)=2$

   $F\!\left(\frac{e^2-1}{2}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(e^2\right)=\frac{1}{2}\cdot 2=1$

   $\boxed{1}$

5. 5

   ตรวจคำตอบด้วยปริพันธ์จำกัดเขต เพราะ $F(0)=0$ คำตอบจึงเท่ากับ

   $\int_0^{(e^2-1)/2}\frac{dx}{2x+1}=\left[\frac{1}{2}\ln(2x+1)\right]_0^{(e^2-1)/2}=\frac{1}{2}(2-0)=1$

   คำนวณเชิงตัวเลข ขอบบนมีค่า $\approx 3.1945$ และ $\tfrac12\ln(2\cdot 3.1945+1)=1.0000$ ยืนยันคำตอบ