จงหาค่า a, b และ c ที่ทำให้ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ x = 1 โดย f(x) = (a x^2 - x - 1)/(x - 1) เมื่อ x > 1, f(1) = b และ f(x) = -x + c เมื่อ x < 1

Step-by-step solution

1. 1

   ระบุให้ชัดว่าความต่อเนื่องที่จุดหนึ่งเรียกร้องอะไรบ้าง ปริมาณสามอย่างต้องมีอยู่และเท่ากันทั้งหมด

   $\lim_{x\to1^-}f(x)=f(1)=\lim_{x\to1^+}f(x)$

   เนื่องจากกิ่งทั้งสามมีตัวไม่รู้ค่าสามตัว เงื่อนไขนี้จึงให้สมการครบสามสมการพอดี ให้เริ่มจากกิ่งที่บีบมากที่สุด นั่นคือกิ่งขวา

2. 2

   บังคับให้ลิมิตข้างขวาเป็นค่าจำกัด ขั้นนี้คือสิ่งที่กำหนดค่า $a$ เมื่อ $x\to1^+$ ตัวส่วน $x-1\to0$ ถ้าตัวเศษไม่เข้าใกล้ $0$ ด้วย ผลหารจะระเบิดไปเป็น $\pm\infty$ และไม่ว่าจะเลือก $b$ หรือ $c$ อย่างไรก็กู้ความต่อเนื่องไม่ได้ ดังนั้นต้องมี

   $a(1)^2-1-1=0\quad\Longrightarrow\quad a-2=0\quad\Longrightarrow\quad a=2.$

   เช่น ถ้า $a=3$ ตัวเศษจะ $\to1$ บนตัวส่วนที่ $\to0^+$ ได้ $+\infty$ ซึ่งซ่อมไม่ได้เลย

3. 3

   ตัดตัวประกอบร่วมแล้วหาค่าลิมิต เมื่อ $a=2$ ตัวเศษแยกตัวประกอบได้เพราะ $x=1$ เป็นราก

   $2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)$

   $\lim_{x\to1^+}\frac{(2x+1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1^+}(2x+1)=3$

   การตัดทิ้งตรงนี้ทำได้อย่างถูกต้อง เพราะลิมิตสนใจเฉพาะ $x\neq1$ ซึ่ง $x-1\neq0$

4. 4

   จับคู่ค่าที่จุดนั้น ซึ่งกำหนดค่า $b$ ความต่อเนื่องบังคับให้ $f(1)$ เท่ากับลิมิตนั้น

   $b=3.$

5. 5

   จับคู่ลิมิตข้างซ้าย ซึ่งกำหนดค่า $c$ กิ่งซ้ายเป็นพหุนาม ลิมิตของมันจึงเท่ากับค่าของมันเอง

   $\lim_{x\to1^-}(-x+c)=-1+c$

   $-1+c=3\quad\Longrightarrow\quad c=4.$

6. 6

   ตรวจว่าปริมาณทั้งสามเท่ากันจริง เมื่อ $a=2$, $b=3$, $c=4$ ลิมิตข้างซ้ายคือ $-1+4=3$ ค่าที่จุดคือ $f(1)=3$ และลิมิตข้างขวาคือ $2(1)+1=3$ เท่ากันหมด $f$ จึงต่อเนื่องที่ $x=1$ เชิงตัวเลข $f(0.999)=3.001$ และ $f(1.001)=3.002$ ซึ่งบีบเข้าหา $3$ จากทั้งสองข้างตามที่คาด