จงหาอนุพันธ์ของ y = (x - 1)^x

Step-by-step solution

1. 1

   เข้าใจก่อนว่าทำไมกฎมาตรฐานใช้ไม่ได้ กฎกำลัง $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$ ต้องการเลขชี้กำลังที่เป็น ค่าคงตัว ส่วนกฎเลขชี้กำลัง $\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$ ต้องการฐานที่เป็น ค่าคงตัว แต่โจทย์นี้ทั้งฐาน $x-1$ และเลขชี้กำลัง $x$ ต่างแปรค่า จึงใช้กฎใดไม่ได้เลย และการเอาสองกฎมาผสมกันจะได้ผลลัพธ์ที่ไร้ความหมาย ทางออกคือการหาอนุพันธ์แบบลอการิทึม

2. 2

   ระบุโดเมนก่อน เพื่อให้ $(x-1)^x$ นิยามได้ในฐานะกำลังจำนวนจริงที่มีเลขชี้กำลังแปรค่า ฐานต้องเป็นบวก

   $x-1>0\qquad\Longleftrightarrow\qquad x>1$

   ทุกอย่างต่อจากนี้ใช้ได้บน $(1,\infty)$ ซึ่งเป็นช่วงเดียวกับที่ $\ln(x-1)$ มีความหมายพอดี

3. 3

   ใส่ลอการิทึมธรรมชาติทั้งสองข้าง ลอการิทึมเปลี่ยนเลขชี้กำลังให้กลายเป็นสัมประสิทธิ์ ซึ่งคือจุดประสงค์ทั้งหมด

   $\ln y=\ln\bigl((x-1)^x\bigr)=x\ln(x-1)$

   ข้างขวาตอนนี้เป็นผลคูณธรรมดาของฟังก์ชันคุ้นเคยสองตัว

4. 4

   หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างเทียบกับ $x$ ข้างซ้าย $y$ เป็นฟังก์ชันของ $x$ กฎลูกโซ่จึงให้ $\frac{1}{y}\,y'$ ตรงนี้คือจุดที่การหาอนุพันธ์โดยปริยายเข้ามา ส่วนข้างขวาใช้กฎผลคูณ

   $\frac{d}{dx}\bigl(x\ln(x-1)\bigr)=1\cdot\ln(x-1)+x\cdot\frac{1}{x-1}$

   ดังนั้น

   $\frac{y'}{y}=\ln(x-1)+\frac{x}{x-1}$

5. 5

   แก้หา $y'$ แล้วแทนฟังก์ชันเดิมกลับเข้าไป คูณด้วย $y$ แล้วแทน $y=(x-1)^x$

   $\boxed{\,y'=(x-1)^x\left(\ln(x-1)+\frac{x}{x-1}\right)\,}$

   คำตอบต้องมีนิพจน์เดิมเป็นตัวประกอบอยู่ด้วย ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของการหาอนุพันธ์แบบลอการิทึม และการลืม $(x-1)^x$ ข้างหน้าคือความผิดพลาดที่พบบ่อย

6. 6

   ตรวจเชิงตัวเลข ที่ $x=3$ สูตรให้ $2^3\left(\ln 2+\tfrac{3}{2}\right)=8(0.6931+1.5)\approx 17.545$ ส่วนผลหารผลต่างแบบกลางที่ $h=10^{-6}$ ของ $(x-1)^x$ ที่ $x=3$ ให้ $17.5452$ อนุพันธ์จึงถูกต้อง แม่แบบเดียวกันนี้ใช้ได้กับ $f(x)^{g(x)}$ ทุกตัว อนุพันธ์ของมันคือ $f^g\left(g'\ln f+\frac{gf'}{f}\right)$