จงหาปริพันธ์สองชั้นของ x² − 8y บนบริเวณสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ x วิ่งจาก −2 ถึง −1 และ y วิ่งจาก 0 ถึง 1

Step-by-step solution

1. 1

   สังเกตว่านี่คือกรณีที่ง่ายที่สุด $D$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ขอบเขตทั้งสองจึงเป็นค่าคงตัว และลำดับการอินทิเกรตไม่มีผล เลือกทำ $x$ ก่อน

   $\int_0^1 \int_{-2}^{-1} (x^2-8y)\,dx\,dy$

2. 2

   หาปริพันธ์เทียบ $x$ โดยตรึง $y$ ไว้เป็นค่าคงตัว

   $\int (x^2-8y)\,dx = \frac{x^3}{3}-8yx$

3. 3

   แทนขอบเขตของ $x$ ที่ $x=-1$: $-\tfrac{1}{3}+8y$ ที่ $x=-2$: $-\tfrac{8}{3}+16y$ ลบกันได้

   $\left(-\tfrac{1}{3}+8y\right)-\left(-\tfrac{8}{3}+16y\right) = \tfrac{7}{3}-8y$

   ค่า $x$ ที่เป็นลบคือจุดที่คนพลาดเครื่องหมายบ่อยที่สุด สังเกตว่า $(-2)^3 = -8$ ไม่ใช่ $8$

4. 4

   นำผลที่ได้ไปหาปริพันธ์เทียบ $y$ จาก $0$ ถึง $1$

   $\int_0^1\left(\tfrac{7}{3}-8y\right)dy = \left[\tfrac{7}{3}y-4y^2\right]_0^1 = \tfrac{7}{3}-4 = -\tfrac{5}{3}$