จงหาอนุพันธ์ของ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x แล้วหาค่าปริพันธ์จำกัดเขตของฟังก์ชันนี้บนช่วง [0, 3]

Step-by-step solution

1. 1

   หาอนุพันธ์ทีละพจน์ด้วยกฎกำลัง เนื่องจาก $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$ และการหาอนุพันธ์เป็นการดำเนินการเชิงเส้น จึงจัดการแต่ละพจน์แยกกันได้

   $\frac{d}{dx}\left(x^3\right)=3x^2,\qquad \frac{d}{dx}\left(-3x^2\right)=-6x,\qquad \frac{d}{dx}(2x)=2$

   ดังนั้น

   $f'(x)=3x^2-6x+2$

2. 2

   หาปฏิยานุพันธ์สำหรับปริพันธ์ ย้อนกฎกำลัง โดยเพิ่มเลขชี้กำลังทีละหนึ่งแล้วหาร

   $F(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+x^2$

   ที่ไม่ใส่ค่าคงตัวของการหาปริพันธ์เป็นความตั้งใจ เพราะในปริพันธ์ จำกัดเขต ค่านั้นจะตัดกันไปในการลบ ปฏิยานุพันธ์ตัวใดก็ใช้ได้ ตรวจเร็ว ๆ: $F'(x)=x^3-3x^2+2x=f(x)$

3. 3

   ใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส

   $\int_0^3 f(x)\,dx=F(3)-F(0)$

   $F(3)=\frac{81}{4}-27+9=\frac{81}{4}-18=\frac{81-72}{4}=\frac{9}{4}$

   $F(0)=0$

   ปริพันธ์จึงเท่ากับ $\dfrac{9}{4}=2.25$

4. 4

   สังเกตว่านี่คือพื้นที่เชิงเครื่องหมาย ไม่ใช่พื้นที่รวม แยกตัวประกอบได้ $f(x)=x(x-1)(x-2)$ เส้นโค้งจึงตัดแกนที่ $x=0,1,2$ เป็นบวกบน $(0,1)$ เป็นลบบน $(1,2)$ และกลับเป็นบวกอีกบน $(2,3)$ ปริพันธ์บวกชิ้นส่วนเหล่านี้ พร้อมเครื่องหมาย ค่าจึงน้อยกว่าพื้นที่เชิงเรขาคณิตระหว่างเส้นโค้งกับแกน

5. 5

   ตรวจคำตอบด้วยการแยกที่ราก ใช้ $F$ ตัวเดิม

   $\int_0^1 f=F(1)-F(0)=\frac14,\qquad \int_1^2 f=F(2)-F(1)=0-\frac14=-\frac14,\qquad \int_2^3 f=F(3)-F(2)=\frac94-0=\frac94$

   บวกกัน: $\tfrac14-\tfrac14+\tfrac94=\tfrac94$ ตรงกับขั้นที่ 3 (ถ้าต้องการพื้นที่แบบไม่คิดเครื่องหมาย จะได้ $\tfrac14+\tfrac14+\tfrac94=\tfrac{11}{4}$)