ให้ f นิยามบน (0, อนันต์) โดย f(x) = (3 + รากที่สองของ x) / (4 รากที่สองของ x) จงหาลิมิตของ f(x) และลิมิตของ f(f(x)) เมื่อ x เข้าสู่อนันต์

Step-by-step solution

1. 1

   แยกเศษส่วนออก แทนที่จะไปสู้กับรูปแบบไม่กำหนด ถ้าเขียนไว้อย่างเดิม $f(x)$ อยู่ในรูป $\frac{\infty}{\infty}$ การหารแต่ละพจน์ของตัวเศษด้วยตัวส่วนขจัดความกำกวมได้ทันที

   $f(x)=\frac{3}{4\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{4\sqrt{x}}=\frac{3}{4\sqrt{x}}+\frac{1}{4}$

   การเขียนใหม่แบบนี้ถูกต้องสำหรับทุก $x>0$ ซึ่ง $\sqrt{x}\neq 0$

2. 2

   อ่านลิมิตแรกออกมา เมื่อ $x\to+\infty$ จะได้ $\sqrt{x}\to+\infty$ ดังนั้น $\dfrac{3}{4\sqrt{x}}\to 0$ และ

   $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$

   เส้น $y=\tfrac14$ เป็นเส้นกำกับแนวนอนของกราฟ โดยเข้าใกล้จากด้านบน เพราะ $\tfrac{3}{4\sqrt{x}}>0$ เสมอ

3. 3

   อย่าแทน $+\infty$ ลงในฟังก์ชันชั้นนอก สำหรับ $f(f(x))$ ค่าชั้นใน ไม่ได้ วิ่งไปอนันต์ แต่วิ่งไปที่ $\tfrac14$ เครื่องมือที่ถูกต้องคือกฎลิมิตของฟังก์ชันประกอบ ถ้า $f(x)\to L$ เมื่อ $x\to+\infty$ และ $f$ ต่อเนื่องที่ $L$ แล้ว

   $\lim_{x\to+\infty}f\bigl(f(x)\bigr)=f(L)$

4. 4

   ตรวจว่ากฎนี้ใช้ได้จริง ในที่นี้ $L=\tfrac14$ ซึ่งอยู่ในโดเมน $\left]0,+\infty\right[$ และ $f$ ต่อเนื่องบนนั้น (สร้างขึ้นจาก $\sqrt{x}$ และผลหารที่ตัวส่วน $4\sqrt{x}$ ไม่เคยเป็นศูนย์บนช่วงนั้น) ยิ่งไปกว่านั้น $f(x)>\tfrac14>0$ สำหรับทุก $x>0$ ค่าชั้นในจึงอยู่ในโดเมนของ $f$ ชั้นนอกจริง ๆ ฟังก์ชันประกอบจึงนิยามได้ดีในบริเวณใกล้อนันต์

5. 5

   หาค่าฟังก์ชันชั้นนอกที่ $L=\tfrac14$ เนื่องจาก $\sqrt{1/4}=\tfrac12$

   $f\!\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{3+\frac{1}{2}}{4\cdot\frac{1}{2}}=\frac{\frac{7}{2}}{2}=\frac{7}{4}$

   $\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{1}{4},\qquad \lim_{x\to+\infty}f\bigl(f(x)\bigr)=\frac{7}{4}}$

6. 6

   ยืนยันเชิงตัวเลข ที่ $x=10^4$: $f(x)=0.2575$ และ $f(f(x))=1.72799$ ที่ $x=10^8$: $f(x)=0.250075$ และ $f(f(x))=1.749775$ ค่าต่าง ๆ บีบเข้าหา $\tfrac14=0.25$ และ $\tfrac74=1.75$ ตรงตามที่ข้อโต้แย้งเรื่องความต่อเนื่องทำนายไว้