จงแสดงว่ากราฟของ f(x) = รากที่สองของ (9x^2 - 6x + 3) มีเส้นกำกับเฉียงเมื่อ x เข้าสู่อนันต์ทางบวก จงหาสมการของเส้นนั้น และตัดสินว่าเส้นโค้งอยู่เหนือหรือใต้เส้นกำกับ

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจพฤติกรรมที่อนันต์ก่อน พหุนามใต้ราก $9x^2-6x+3$ มีสัมประสิทธิ์นำเป็นบวกและดิสคริมิแนนต์ $36-108=-72<0$ จึงเป็นบวกสำหรับ $x$ จำนวนจริงทุกค่า และ $f$ นิยามได้ทั่ว $\mathbb{R}$ เมื่อ $x\to+\infty$ ค่าใต้รากจะ $\to+\infty$ ดังนั้น $f(x)\to+\infty$ กราฟหนีขึ้นข้างบน เส้นกำกับที่เป็นไปได้จึงมีแต่เส้นเฉียงเท่านั้น

2. 2

   ทำกำลังสองสมบูรณ์ใต้ราก ดึง $9$ ออกจากพจน์ที่มี $x$

   $9x^2-6x+3=9\left(x^2-\frac{2}{3}x\right)+3=9\left(x-\frac{1}{3}\right)^2-1+3$

   และเนื่องจาก $9\left(x-\tfrac13\right)^2=(3x-1)^2$

   $9x^2-6x+3=(3x-1)^2+2$

   รูปบัญญัตินี้คือกลไกสำคัญ เพราะมันเผยฟังก์ชันเชิงเส้นที่ซ่อนอยู่ใต้รากที่สองออกมา

3. 3

   เดาเส้นกำกับจากรูปบัญญัติ เขียน

   $f(x)=\sqrt{(3x-1)^2+2}$

   ตัว $+2$ เล็กน้อยมากเมื่อเทียบกับ $(3x-1)^2$ ตอนที่ $x$ ใหญ่ ดังนั้น $f(x)\approx|3x-1|=3x-1$ สำหรับ $x>\tfrac13$ เส้นกำกับที่เป็นตัวเลือกจึงเป็น

   $\Delta:\ y=3x-1$

4. 4

   พิสูจน์ด้วยเทคนิคคูณสังยุค ให้ $h(x)=f(x)-(3x-1)$ นี่เป็นรูปแบบ $\infty-\infty$ จึงคูณและหารด้วยสังยุค

   $h(x)=\frac{\left[(3x-1)^2+2\right]-(3x-1)^2}{\sqrt{(3x-1)^2+2}+(3x-1)}=\frac{2}{\sqrt{(3x-1)^2+2}+(3x-1)}$

   ตัวเศษเป็นค่าคงตัว $2$ ขณะที่ตัวส่วน $\to+\infty$ ดังนั้น

   $\lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-(3x-1)\bigr]=0$

   ซึ่งเป็นบทนิยามของการที่ $y=3x-1$ เป็นเส้นกำกับของ $C$ ที่ $+\infty$ พอดี

5. 5

   อ่านตำแหน่งของเส้นโค้งจากเครื่องหมายของ $h$ สำหรับ $x>\tfrac13$ ทั้งสองพจน์ในตัวส่วนเป็นบวก ดังนั้น

   $h(x)=\frac{2}{\sqrt{(3x-1)^2+2}+(3x-1)}>0$

   จึงได้ $f(x)>3x-1$ เส้นโค้งอยู่ เหนือ เส้นกำกับของมัน และเข้าใกล้จากด้านบนโดยไม่แตะกันเลย

6. 6

   สรุป และกล่าวถึงปลายอีกด้าน

   $\boxed{y=3x-1\ \text{ คือเส้นกำกับที่ }+\infty,\ \text{ โดย } C \text{ อยู่เหนือ } \Delta}$

   เชิงตัวเลข $f(10)-29=0.0345$ และ $f(10^4)-29999=3.33\times 10^{-5}$ หดลงแบบ $\tfrac{1}{3x}$ ด้วยการคำนวณแบบเดียวกันโดยใช้ $|3x-1|=1-3x$ เส้นกำกับที่ $-\infty$ คือ $y=-3x+1$ และเส้นโค้งก็อยู่เหนือมันเช่นกัน