จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่ง dy/dx + 2y = e^(-x)

Step-by-step solution

1. 1

   ยืนยันว่าสมการอยู่ในรูปเชิงเส้นมาตรฐานอยู่แล้ว สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่งมีหน้าตาเป็น $\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ ในที่นี้ $P(x)=2$ และ $Q(x)=e^{-x}$ โดยสัมประสิทธิ์ของอนุพันธ์เท่ากับ $1$ จึงไม่ต้องหารตลอดก่อนเริ่ม

2. 2

   สร้างตัวประกอบปริพันธ์ วิธีนี้มีอยู่เพื่อบีบให้ข้างซ้ายกลายเป็นอนุพันธ์ก้อนเดียว ตัวประกอบที่ทำหน้าที่นั้นคือ

   $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$

   (ตัดค่าคงตัวของการหาปริพันธ์ทิ้ง เพราะพหุคูณที่ไม่เป็นศูนย์ใด ๆ ของ $\mu$ ก็ใช้ได้ดีเท่ากัน)

3. 3

   คูณตลอดแล้วยุบข้างซ้าย คูณทุกพจน์ด้วย $e^{2x}$

   $e^{2x}\frac{dy}{dx} + 2e^{2x}y = e^{2x}e^{-x} = e^{x}$

   ข้างซ้ายคือกฎผลคูณที่ทำย้อนกลับพอดี

   $\frac{d}{dx}\left(e^{2x}y\right) = e^{x}$

4. 4

   อินทิเกรตทั้งสองข้างหนึ่งครั้ง การอินทิเกรตอนุพันธ์ทางซ้ายก็คือการถอดอนุพันธ์ทิ้ง ส่วนทางขวาเป็นปริพันธ์พื้นฐาน

   $e^{2x}y = e^{x} + C$

   ค่าคงตัวใด ๆ $C$ เข้ามาตรงนี้ และเป็นที่เดียวที่มันเข้ามาได้ สมการอันดับหนึ่งมีค่าคงตัวเพียงตัวเดียวพอดี

5. 5

   แก้หา $y$ หารด้วย $e^{2x}$ หรือคูณด้วย $e^{-2x}$ ซึ่งเทียบเท่ากัน

   $y = e^{-2x}\left(e^{x} + C\right) = e^{-x} + Ce^{-2x}$

6. 6

   ตรวจด้วยการแทนกลับ เมื่อ $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$ อนุพันธ์คือ $y' = -e^{-x} - 2Ce^{-2x}$ ดังนั้น

   $y' + 2y = \left(-e^{-x} - 2Ce^{-2x}\right) + \left(2e^{-x} + 2Ce^{-2x}\right) = e^{-x}$

   พจน์ที่มี $C$ ตัดกันหมดสำหรับทุกค่า $C$ ยืนยันว่าเป็นผลเฉลยทั่วไป ส่วน $e^{-x}$ คือผลเฉลยเฉพาะ และ $Ce^{-2x}$ คือส่วนเอกพันธุ์ที่ลดลงตามเวลา