จงเปลี่ยนลำดับการอินทิเกรตแล้วหาค่าปริพันธ์สองชั้นของ e^(y^3) โดย x วิ่งจาก 0 ถึง 2 และ y วิ่งจากรากที่สองของ 2x ขึ้นไปถึง 2

Step-by-step solution

1. 1

   ดูให้ออกว่าลำดับที่ให้มาเป็นทางตัน ปริพันธ์ชั้นในเรียกร้อง $\int e^{y^3}\,dy$ และ $e^{y^3}$ ไม่มีปฏิยานุพันธ์ในรูปฟังก์ชันพื้นฐาน การสลับลำดับจึงไม่ใช่ทางเลือกเชิงสไตล์ แต่เป็นทางเดียวที่จะทำให้จบได้ เพราะการอินทิเกรตตาม $x$ ก่อนจะสร้างตัวประกอบ $y^2$ เพิ่มขึ้นมา ซึ่งเป็นสิ่งที่การแทนค่า $u=y^3$ ต้องการพอดี

2. 2

   บรรยายบริเวณจากขอบเขตที่ให้มา ขอบเขตบอกว่า $0\le x\le 2$ และ $\sqrt{2x}\le y\le 2$ ขอบล่าง $y=\sqrt{2x}$ คือครึ่งขวาของพาราโบลา $y^2=2x$ หรือ $x=\dfrac{y^2}{2}$ สังเกตว่าที่ $x=2$ ขอบล่างเท่ากับขอบบน $y=2$ พอดี บริเวณจึงปิดตรงนั้น

3. 3

   หั่นใหม่ในแนวนอน สำหรับ $y$ ที่ตรึงไว้ค่าหนึ่งระหว่าง $0$ กับ $2$ บริเวณทอดจากขอบซ้าย $x=0$ ข้ามไปถึงพาราโบลา $x=\dfrac{y^2}{2}$ ดังนั้น

   $R=\left\{(x,y):0\le y\le 2,\ 0\le x\le \tfrac{y^2}{2}\right\},\qquad \int_0^2\!\!\int_0^{y^2/2} e^{y^3}\,dx\,dy.$

4. 4

   หาปริพันธ์ชั้นใน $e^{y^3}$ เป็นค่าคงตัวเมื่อเทียบกับ $x$ จึงเพียงแค่หยิบความกว้างของแถบมาคูณ

   $\int_0^{y^2/2}e^{y^3}\,dx=\frac{y^2}{2}\,e^{y^3}.$

5. 5

   แทน $u=y^3$ จะได้ $du=3y^2\,dy$ ดังนั้น $y^2\,dy=\tfrac{du}{3}$ และขอบเขต $y=0,2$ กลายเป็น $u=0,8$

   $\int_0^2\frac{y^2}{2}e^{y^3}\,dy=\frac{1}{6}\int_0^8 e^{u}\,du=\frac{1}{6}\left[e^u\right]_0^8=\frac{e^8-1}{6}.$

6. 6

   ตรวจขนาดของคำตอบ $\dfrac{e^8-1}{6}\approx 496.66$ และการคำนวณเชิงตัวเลขโดยตรงของปริพันธ์ซ้ำเดิมก็ให้ $496.66$ เช่นกัน การสลับลำดับจึงรักษาบริเวณไว้ได้ถูกต้อง