กาแฟที่เพิ่งรินมีอุณหภูมิ 90 องศาเซลเซียส วางไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 20 องศาเซลเซียส หลังผ่านไป 10 นาที กาแฟเย็นลงเหลือ 65 องศาเซลเซียส จงหาอุณหภูมิหลังผ่านไป 20 นาที และหาว่าใช้เวลานานเท่าใดจึงจะถึง 30 องศาเซลเซียส

Step-by-step solution

1. 1

   ตั้งสมการเชิงอนุพันธ์ กฎการเย็นตัวของนิวตันบอกว่าอัตราการเย็นตัวเป็นสัดส่วนกับระยะที่วัตถุร้อนกว่าสิ่งแวดล้อม ไม่ใช่สัดส่วนกับอุณหภูมิของมันเอง

   $\frac{dT}{dt}=-k\,(T-T_a),\qquad T_a=20^\circ\text{C}$

   แยกตัวแปรแล้วอินทิเกรตได้ผลเฉลยมาตรฐาน

   $T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}=20+70e^{-kt}$

   เพราะ $T_0-T_a=90-20=70$

2. 2

   ใช้ค่าที่วัดได้ที่นาทีที่ 10 หาค่า $k$ นี่คือตัวไม่รู้ค่าตัวเดียวในแบบจำลอง และข้อมูลจุดเดียวก็ตรึงมันไว้ได้

   $65=20+70e^{-10k}\;\Longrightarrow\;e^{-10k}=\frac{45}{70}=\frac{9}{14}$

   $k=-\frac{1}{10}\ln\frac{9}{14}=\frac{1}{10}\ln\frac{14}{9}\approx0.04418\ \text{min}^{-1}$

3. 3

   หาอุณหภูมิที่นาทีที่ 20 โดยไม่ต้องใช้ค่าทศนิยมของ $k$ เลย เนื่องจาก $20=2\times10$ ตัวเลขชี้กำลังจึงแค่ยกกำลังสอง

   $e^{-20k}=\left(e^{-10k}\right)^{2}=\left(\frac{9}{14}\right)^{2}=\frac{81}{196}$

   $T(20)=20+70\cdot\frac{81}{196}=20+\frac{405}{14}=20+28.93=48.93^\circ\text{C}$

   การเก็บเศษส่วนที่แน่นอนไว้ช่วยเลี่ยงความคลาดเคลื่อนสะสมจากการปัดเศษที่เกิดจาก $70e^{-0.0442\times20}$

4. 4

   แก้หาเวลาที่ใช้เย็นลงถึง $30^\circ\text{C}$ ให้ $T(t)=30$

   $30=20+70e^{-kt}\;\Longrightarrow\;e^{-kt}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}\;\Longrightarrow\;kt=\ln 7$

   $t=\frac{\ln 7}{k}=\frac{10\ln 7}{\ln(14/9)}=\frac{19.459}{0.44183}\approx44.0\ \text{นาที}$

5. 5

   ตรวจคำตอบทั้งสองเทียบกันเอง กาแฟเสียอุณหภูมิ $25^\circ$ ใน 10 นาทีแรก แต่เสียเพียงราว $16^\circ$ ใน 10 นาทีถัดมา ($65\to48.9$) การที่การสูญเสียลดลงเรื่อย ๆ คือสิ่งที่การเข้าสู่อุณหภูมิห้องแบบเลขชี้กำลังทำนายไว้พอดี และ $30^\circ\text{C}$ สูงกว่าอุณหภูมิห้องเพียง $10^\circ$ จึงควรต้องใช้เวลาหางยาว ๆ กว่าจะไปถึง ค่า $44$ นาทีจึงสอดคล้องกัน อนึ่ง กาแฟจะไม่มีวันเย็นถึง $20^\circ\text{C}$ ในเวลาจำกัด เพราะ $e^{-kt}>0$ สำหรับทุก $t$