จงหาลิมิตเมื่อ n เข้าสู่อนันต์ ของผลบวกตั้งแต่ i = 1 ถึง n ของ (3 + 2i/n) กำลังสอง คูณ (2/n) โดยตีความเป็นปริพันธ์จำกัดเขต

Step-by-step solution

1. 1

   เทียบผลบวกนี้กับบทนิยามของปริพันธ์ ผลบวกรีมันน์แบบจุดปลายขวาของ $f$ บน $[a,b]$ คือ

   $\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(a+i\,\Delta x)\,\Delta x,\qquad \Delta x=\frac{b-a}{n}.$

   งานของเราจึงคือจับคู่สามอย่างให้ตรงกัน ได้แก่ ความกว้าง $\Delta x$ จุดตัวอย่าง $a+i\,\Delta x$ และกฎของฟังก์ชัน $f$

2. 2

   อ่านความกว้างออกมา แล้วได้ความยาวของช่วงตามมา ตัวประกอบที่อยู่นอกกำลังสองคือ $\dfrac{2}{n}$ ดังนั้น

   $\Delta x=\frac{2}{n}=\frac{b-a}{n}\quad\Longrightarrow\quad b-a=2.$

3. 3

   อ่านจุดปลายซ้ายออกมา จุดตัวอย่างคือ $3+\dfrac{2i}{n}=3+i\,\Delta x$ เมื่อจับคู่กับ $a+i\,\Delta x$ จะได้ $a=3$ และตามมาด้วย $b=a+2=5$ (ค่าคงตัวที่ ไม่ได้ ถูกคูณด้วย $i$ คือจุดปลายซ้ายเสมอ)

4. 4

   อ่านฟังก์ชันออกมา สิ่งที่ถูกกระทำกับจุดตัวอย่างคือ การยกกำลังสอง ดังนั้น $f(x)=x^{2}$ เมื่อประกอบทั้งสามชิ้นเข้าด้วยกัน

   $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(3+\frac{2i}{n}\right)^{2}\frac{2}{n}=\int_{3}^{5}x^{2}\,dx.$

5. 5

   หาค่าปริพันธ์

   $\int_{3}^{5}x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{3}^{5}=\frac{125}{3}-\frac{27}{3}=\frac{98}{3}\approx 32.667.$

   ตรวจ: บวกผลบวกนั้นตรง ๆ ที่ $n=10^{6}$ ได้ $32.66668$ ซึ่งตรงกับ $\tfrac{98}{3}$ ถึงทศนิยมห้าตำแหน่ง สังเกตว่าคำตอบไม่ได้ดูมีรูปเดียวโดยบังเอิญ การเขียนลิมิตเดียวกันด้วย $a=0,\ b=2$ และ $f(x)=(3+x)^{2}$ ก็ให้ตัวเลขเดียวกัน