จงพิจารณาว่าอนุกรมผลบวกตั้งแต่ n = 1 ถึงอนันต์ของ n/3^n ลู่เข้าหรือลู่ออก และหาผลบวกของอนุกรม

Step-by-step solution

1. 1

   เลือกการทดสอบที่เหมาะกับรูปร่างของพจน์ พจน์ทั่วไป $a_n = n/3^n$ ผสมตัวประกอบพหุนามเข้ากับตัวประกอบเลขชี้กำลัง อัตราส่วนของพจน์แบบนี้จัดรูปได้สวยงาม เพราะ $3^{n+1}/3^n$ ยุบเหลือค่าคงตัว การทดสอบอัตราส่วนจึงเป็นทางเลือกที่เป็นธรรมชาติ การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบก็ใช้ได้ แต่ต้องเลือกอนุกรมมาเทียบอย่างชาญฉลาด

2. 2

   สร้างอัตราส่วนของพจน์ที่ติดกัน เมื่อ $a_n = \dfrac{n}{3^n}$ และ $a_{n+1} = \dfrac{n+1}{3^{n+1}}$

   $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n} = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{3}$

   พจน์ทุกตัวเป็นบวก การใส่ค่าสัมบูรณ์จึงไม่เปลี่ยนอะไร

3. 3

   หาลิมิตแล้วใช้การทดสอบ เนื่องจาก $\dfrac{n+1}{n} = 1 + \dfrac{1}{n} \to 1$

   $L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1}{3}$

   เพราะ $L = \tfrac13 < 1$ การทดสอบอัตราส่วนจึงรับประกันว่าอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ สังเกตว่าตัวประกอบพหุนาม $n$ ไม่มีผลต่อลิมิตเลย การสลายตัวแบบเรขาคณิตเอาชนะการโตแบบพหุนามเสมอ

4. 4

   หาผลบวกที่แน่นอนจากสูตรอนุกรมเลขคณิต-เรขาคณิต การลู่เข้าเพียงอย่างเดียวไม่ได้ให้ค่ามา แต่อนุกรมนี้เป็นอนุกรมมาตรฐาน การหาอนุพันธ์ของอนุกรมเรขาคณิต $\sum_{n\ge0} r^n = \dfrac{1}{1-r}$ แล้วคูณด้วย $r$ ให้ผลว่า สำหรับ $|r|<1$

   $\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n} = \frac{r}{(1-r)^2}$

5. 5

   แทน $r = 1/3$ เขียน $\dfrac{n}{3^n} = n\left(\dfrac13\right)^{n}$

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n} = \frac{\tfrac13}{\left(1-\tfrac13\right)^2} = \frac{\tfrac13}{\tfrac49} = \frac13\cdot\frac94 = \frac34$

6. 6

   ตรวจเชิงตัวเลข บวกพจน์แรก ๆ ได้ $0.3333 + 0.2222 + 0.1111 + 0.0494 + 0.0206 + \cdots$ และผลบวกย่อยไต่ขึ้นไปที่ $0.75000$ แล้วอยู่ตรงนั้น ตรงกับค่าที่แน่นอน $3/4$