Calculus · real student question

จงใช้การแปลงลาปลาสแก้สมการเชิงปริพันธ์-อนุพันธ์ y′(t) − 2∫₀ᵗ y(τ) sin(t − τ) dτ = 1 โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้น y(0) = −1

Question

จงแก้สมการเชิงปริพันธ์-อนุพันธ์

y′(t)−2∫0ty(τ)sin⁡(t−τ) dτ=1,y(0)=−1.y'(t)-2\int_0^t y(\tau)\sin(t-\tau)\,d\tau = 1,\qquad y(0)=-1.

Step-by-step solution

  1. มองให้ออกว่าปริพันธ์นี้คือคอนโวลูชัน ปริพันธ์มีรูปร่างตรงกับ ∫0ty(τ)g(t−τ) dτ=(y∗g)(t)\int_0^t y(\tau)g(t-\tau)\,d\tau=(y*g)(t) พอดี เมื่อ g(t)=sin⁡tg(t)=\sin t นี่คือเหตุผลที่การแปลงลาปลาสเป็นเครื่องมือที่ถูกต้อง ทฤษฎีบทคอนโวลูชันบอกว่า L{y∗g}=Y(s)G(s)\mathcal{L}\{y*g\}=Y(s)G(s) ปริพันธ์ที่ยุ่งเหยิงจึงกลายเป็นผลคูณธรรมดา เมื่อ L{sin⁡t}=1s2+1\mathcal{L}\{\sin t\}=\tfrac{1}{s^2+1} พจน์ปริพันธ์จะแปลงเป็น 2Y(s)s2+1\tfrac{2Y(s)}{s^2+1}

  2. แปลงทั้งสมการ ใช้ L{y′}=sY(s)−y(0)\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0) ที่ y(0)=−1y(0)=-1 และ L{1}=1s\mathcal{L}\{1\}=\tfrac1s

    sY(s)+1−2Y(s)s2+1=1s.sY(s)+1-\frac{2Y(s)}{s^2+1}=\frac{1}{s}.

  3. แก้หา Y(s)Y(s) ด้วยพีชคณิต รวมพจน์ที่มี YY ไว้บนตัวส่วนร่วม แล้วย้ายค่าคงตัวไปข้างขวา

    Y(s)⋅s(s2+1)−2s2+1=1s−1=1−ss.Y(s)\cdot\frac{s(s^2+1)-2}{s^2+1}=\frac{1}{s}-1=\frac{1-s}{s}.

    พหุนามกำลังสามแยกตัวประกอบได้เป็น s3+s−2=(s−1)(s2+s+2)s^3+s-2=(s-1)(s^2+s+2) และ 1−s=−(s−1)1-s=-(s-1) ตัวประกอบ (s−1)(s-1) จึงตัดกัน เป็นสัญญาณชัดว่าพีชคณิตเดินมาถูกทาง

    Y(s)=−s2+1s (s2+s+2).Y(s)=-\frac{s^2+1}{s\,(s^2+s+2)}.

  4. แยกเป็นเศษส่วนย่อย เขียน s2+1s(s2+s+2)=As+Bs+Cs2+s+2\dfrac{s^2+1}{s(s^2+s+2)}=\dfrac{A}{s}+\dfrac{Bs+C}{s^2+s+2} กำจัดตัวส่วนได้ (A+B)s2+(A+C)s+2A=s2+1(A+B)s^2+(A+C)s+2A=s^2+1 ดังนั้น 2A=12A=1, A+C=0A+C=0, A+B=1A+B=1 นั่นคือ A=12A=\tfrac12, B=12B=\tfrac12, C=−12C=-\tfrac12 จึงได้

    Y(s)=−12s−s−12(s2+s+2).Y(s)=-\frac{1}{2s}-\frac{s-1}{2(s^2+s+2)}.

  5. ทำกำลังสองสมบูรณ์เพื่อให้เข้ากับทฤษฎีบทการเลื่อน พหุนามกำลังสองมีรากเชิงซ้อน แทนที่จะแยกตัวประกอบ เราเขียน s2+s+2=(s+12)2+74s^2+s+2=\left(s+\tfrac12\right)^2+\tfrac74 แล้วเขียนตัวเศษใหม่รอบการเลื่อนเดียวกัน คือ s−1=(s+12)−32s-1=\left(s+\tfrac12\right)-\tfrac32

    Y(s)=−12s−12⋅s+12(s+12)2+(72)2+34⋅1(s+12)2+(72)2.Y(s)=-\frac{1}{2s}-\frac12\cdot\frac{s+\tfrac12}{\left(s+\tfrac12\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt7}{2}\right)^2}+\frac34\cdot\frac{1}{\left(s+\tfrac12\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt7}{2}\right)^2}.

  6. แปลงผกผันทีละพจน์ ทั้งสามก้อนคือการแปลงของค่าคงตัว โคไซน์ที่ถูกหน่วง และไซน์ที่ถูกหน่วง (ก้อนสุดท้ายต้องใช้ตัวประกอบ 1ω=27\tfrac{1}{\omega}=\tfrac{2}{\sqrt7} ดังนั้น 34⋅27=327\tfrac34\cdot\tfrac{2}{\sqrt7}=\tfrac{3}{2\sqrt7})

    y(t)=−12−12e−t/2cos⁡ ⁣(72t)+327e−t/2sin⁡ ⁣(72t).y(t)=-\frac12-\frac12e^{-t/2}\cos\!\left(\frac{\sqrt7}{2}t\right)+\frac{3}{2\sqrt7}e^{-t/2}\sin\!\left(\frac{\sqrt7}{2}t\right).

  7. ตรวจผลเฉลย ที่ t=0t=0 พจน์ไซน์เป็นศูนย์ และ y(0)=−12−12=−1y(0)=-\tfrac12-\tfrac12=-1 ตรงกับเงื่อนไขเริ่มต้น เมื่อแทนรูปปิดกลับเข้าไปแล้วคำนวณ y′(t)−2∫0ty(τ)sin⁡(t−τ) dτy'(t)-2\int_0^t y(\tau)\sin(t-\tau)\,d\tau เชิงตัวเลขที่ค่า tt หลายค่า จะได้ 1.0000001.000000 ทุกครั้ง คำตอบจึงสอดคล้องกับสมการเดิม ไม่ใช่เพียงกับเงื่อนไขเริ่มต้นเท่านั้น

Answer

y(t)=−12−12e−t/2cos⁡ ⁣(72t)+327e−t/2sin⁡ ⁣(72t)y(t)=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-t/2}\cos\!\left(\frac{\sqrt{7}}{2}t\right)+\frac{3}{2\sqrt{7}}e^{-t/2}\sin\!\left(\frac{\sqrt{7}}{2}t\right)

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions