จงหาค่าปริพันธ์สองชั้นของ x cos(x + y) บนบริเวณรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด (0, 0), (π, 0) และ (π, π)

Step-by-step solution

1. 1

   เปลี่ยนจุดยอดสามจุดให้เป็นสมการขอบเขต ด้านจาก $(0,0)$ ไป $(\pi,0)$ อยู่บน $y=0$ ด้านจาก $(\pi,0)$ ไป $(\pi,\pi)$ คือเส้นตรงแนวตั้ง $x=\pi$ และด้านจาก $(0,0)$ ไป $(\pi,\pi)$ คือเส้นตรง $y=x$ สามเหลี่ยมนี้จึงเป็นเซตของจุดที่ $0\le x\le\pi$ และ $0\le y\le x$

2. 2

   เลือกลำดับ $dy\,dx$ การอินทิเกรตตาม $y$ ก่อนทำให้ขอบเขตของ $x$ เป็นค่าคงตัว ($0$ ถึง $\pi$) และทำให้ขอบเขตของ $y$ เป็นฟังก์ชันง่าย ๆ สองตัวคือ $0$ กับ $x$ อีกทั้ง $x$ ยังเป็นค่าคงตัวระหว่างการอินทิเกรตชั้นใน ตัวประกอบ $x$ จึงดึงออกมาข้างนอกได้

   $\int_0^\pi\!\!\int_0^x x\cos(x+y)\,dy\,dx.$

3. 3

   หาปริพันธ์ชั้นใน เมื่อ $x$ ถูกตรึงไว้ $\int\cos(x+y)\,dy=\sin(x+y)$

   $x\Big[\sin(x+y)\Big]_{y=0}^{y=x}=x\big(\sin 2x-\sin x\big).$

4. 4

   จัดการ $\int_0^\pi x\sin 2x\,dx$ ด้วยการอินทิเกรตทีละส่วน ให้ $u=x$, $dv=\sin 2x\,dx$ ดังนั้น $du=dx$ และ $v=-\tfrac{\cos 2x}{2}$

   $\left[-\frac{x\cos 2x}{2}\right]_0^\pi+\frac12\int_0^\pi\cos 2x\,dx=-\frac{\pi}{2}+\left[\frac{\sin 2x}{4}\right]_0^\pi=-\frac{\pi}{2}.$

5. 5

   จัดการ $\int_0^\pi x\sin x\,dx$ ด้วยวิธีเดียวกัน ให้ $u=x$, $v=-\cos x$

   $\Big[-x\cos x\Big]_0^\pi+\int_0^\pi\cos x\,dx=\pi+\Big[\sin x\Big]_0^\pi=\pi.$

6. 6

   รวมสองก้อนเข้าด้วยกัน ปริพันธ์ชั้นนอกคือผลต่างของผลลัพธ์ทั้งสอง

   $\iint_R x\cos(x+y)\,dA=-\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{3\pi}{2}\approx -4.712.$

   คำตอบเป็นลบตามที่คาดไว้ เพราะบนพื้นที่ส่วนใหญ่ของสามเหลี่ยมนี้ $x+y$ อยู่ระหว่าง $\tfrac{\pi}{2}$ กับ $\tfrac{3\pi}{2}$ ซึ่ง $\cos(x+y)$ เป็นลบ และน้ำหนัก $x$ ก็ใหญ่ที่สุดตรงบริเวณนั้นพอดี การอินทิเกรตเชิงตัวเลขให้ $-4.71239$ ตรงกับ $-\tfrac{3\pi}{2}$