จงใช้จุดปลายซ้ายและจุดปลายขวากับสี่เหลี่ยม 6 รูป หาค่าประมาณสองค่าของพื้นที่บริเวณระหว่างกราฟของ f(x) = 2x กำลังสอง ลบ x ลบ 1 กับแกน x บนช่วงจาก 2 ถึง 5

Step-by-step solution

1. 1

   ยืนยันก่อนว่าบริเวณนี้คือพื้นที่ใต้เส้นโค้งจริง ๆ บน $[2,5]$ รากของ $f$ คือ $x=1$ และ $x=-\tfrac12$ ซึ่งอยู่ทางซ้ายของช่วงทั้งคู่ และ $f(2)=5>0$ ดังนั้น $f>0$ ตลอดช่วง สี่เหลี่ยมจึงวัดพื้นที่ได้โดยตรง ไม่ต้องกังวลเรื่องเครื่องหมายกลับด้าน

2. 2

   คำนวณความกว้างของสี่เหลี่ยมแต่ละรูป การแบ่งช่วงออกเป็น $n$ ส่วนเท่า ๆ กันให้

   $\Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{5-2}{6}=\frac12$

   จุดแบ่งจึงเป็น $2,\ \tfrac52,\ 3,\ \tfrac72,\ 4,\ \tfrac92,\ 5$

3. 3

   หาค่า $f$ ที่จุดแบ่งทุกจุดครั้งเดียว ผลบวกซ้ายกับขวาใช้ค่าเจ็ดค่าชุดเดียวกัน การคำนวณครั้งเดียวจึงประหยัดงานไปครึ่งหนึ่ง

   $f(2)=5,\quad f\!\left(\tfrac52\right)=9,\quad f(3)=14,\quad f\!\left(\tfrac72\right)=20,\quad f(4)=27,\quad f\!\left(\tfrac92\right)=35,\quad f(5)=44$

4. 4

   สร้างผลบวกซ้ายจากหกค่าแรก กฎจุดปลายซ้ายใช้ค่าที่ขอบ ซ้าย ของแต่ละแถบ จึงตัด $f(5)$ ทิ้ง

   $L_6=\tfrac12\,(5+9+14+20+27+35)=\tfrac12(110)=55$

5. 5

   สร้างผลบวกขวาจากหกค่าหลัง กฎจุดปลายขวาตัด $f(2)$ ทิ้งและหยิบ $f(5)$ เข้ามา

   $R_6=\tfrac12\,(9+14+20+27+35+44)=\tfrac12(149)=74.5$

   สังเกตว่า $R_6-L_6=\tfrac12\big(f(5)-f(2)\big)=\tfrac12(39)=19.5$ ผลบวกทั้งสองต่างกันเพียงพจน์แรกกับพจน์สุดท้ายเท่านั้น

6. 6

   ตีความตัวเลขทั้งสองเป็นการคร่อมค่าจริง $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน $[2,5]$ สี่เหลี่ยมซ้ายทุกรูปจึงอยู่ใต้เส้นโค้ง และสี่เหลี่ยมขวาทุกรูปล้ำเกินเส้นโค้ง พื้นที่จริงจึงสอดคล้องกับ $55<A<74.5$ เมื่ออินทิเกรตแบบตรง ๆ จะได้

   $A=\int_2^5\left(2x^2-x-1\right)dx=\frac{129}{2}=64.5$

   ซึ่งอยู่ระหว่างสองค่านั้นจริง