จงหาลิมิตของ (รากที่สองของ (3x - 2) + รากที่สองของ (x - 1) - 3) / (x^2 - 4) เมื่อ x เข้าสู่ 2

Step-by-step solution

1. 1

   แทน $x=2$ ก่อนเพื่อระบุรูปแบบไม่กำหนด ให้ตรวจก่อนเสมอ ก่อนจะใช้เทคนิคใด ๆ

   $\text{ตัวเศษ}=\sqrt{3(2)-2}+\sqrt{2-1}-3=\sqrt4+\sqrt1-3=2+1-3=0$

   $\text{ตัวส่วน}=2^2-4=0$

   นิพจน์นี้จึงอยู่ในรูป $\tfrac00$ ซึ่งเป็นข่าวดี ไม่ใช่ข่าวร้าย เพราะรับประกันว่าตัวประกอบ $(x-2)$ ซ่อนอยู่ ทั้ง ข้างบนและข้างล่าง และตัดกันได้ สังเกตด้วยว่า $x=2$ อยู่ในโดเมนอย่างสบาย เพราะ $3x-2>0$ และ $x-1>0$ ในบริเวณใกล้ $x=2$

2. 2

   แยกตัวเศษออก เพื่อให้รากแต่ละตัวหักค่าของตัวเองทิ้ง ค่าคงตัว $-3$ ก็คือ $-(2+1)$ พอดี นั่นคือผลบวกของรากทั้งสองเมื่อคิดที่ $x=2$ การเขียนใหม่แบบนั้นทำให้จัดการรากแต่ละตัวแยกกันได้

   $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}-3=\underbrace{\big(\sqrt{3x-2}-2\big)}_{\to\,0}+\underbrace{\big(\sqrt{x-1}-1\big)}_{\to\,0}$

   นี่คือกลไกสำคัญ การพยายามคูณสังยุคกับตัวเศษสามพจน์รวดเดียวจะยุ่งเหยิง แต่การแยกออกเปลี่ยนลิมิตยาก ๆ หนึ่งข้อ ให้กลายเป็นโจทย์สังยุคง่าย ๆ สองข้อ

3. 3

   คูณสังยุคกับแต่ละก้อน การคูณด้วย $\frac{\sqrt{\;}+\text{ค่า}}{\sqrt{\;}+\text{ค่า}}$ เปลี่ยนผลต่างของรากที่สองให้เป็นผลต่างกำลังสอง

   $\sqrt{3x-2}-2=\frac{(3x-2)-4}{\sqrt{3x-2}+2}=\frac{3(x-2)}{\sqrt{3x-2}+2}$

   $\sqrt{x-1}-1=\frac{(x-1)-1}{\sqrt{x-1}+1}=\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}$

   ตอนนี้ทั้งสองก้อนมีตัวประกอบ $(x-2)$ ปรากฏชัด ซึ่งเป็นตัวประกอบตัวเดียวกับที่อยู่ในตัวส่วนพอดี

4. 4

   ตัดตัวประกอบร่วม $(x-2)$ ทิ้ง แยกตัวส่วนเป็นผลต่างกำลังสอง $x^2-4=(x-2)(x+2)$ แล้วรวมกัน

   $\frac{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}-3}{x^2-4}=\frac{(x-2)\left[\dfrac{3}{\sqrt{3x-2}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right]}{(x-2)(x+2)}$

   $=\frac{1}{x+2}\left[\frac{3}{\sqrt{3x-2}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right]$

   การตัดทิ้งทำได้อย่างถูกต้อง เพราะลิมิตสนใจเฉพาะ $x\ne2$ เท่านั้น

5. 5

   แทน $x=2$ ลงในนิพจน์ที่ตัดแล้ว ไม่มีอะไรเป็นรูปแบบไม่กำหนดอีกต่อไป

   $\frac{1}{4}\left[\frac{3}{2+2}+\frac{1}{1+1}\right]=\frac14\left[\frac34+\frac12\right]=\frac14\cdot\frac54=\frac{5}{16}$

6. 6

   ตรวจซ้ำด้วยกฎโลปีตาล เนื่องจากรูปแบบเดิมเป็น $\tfrac00$ การหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกันจึงใช้ได้เช่นกัน

   $\lim_{x\to2}\frac{\dfrac{3}{2\sqrt{3x-2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}}{2x}=\frac{\tfrac{3}{4}+\tfrac12}{4}=\frac{\tfrac54}{4}=\frac{5}{16}$

   ทั้งสองเส้นทางให้ผลตรงกัน การสุ่มตรวจเชิงตัวเลขก็ยืนยันเช่นกัน ที่ $x=2.00001$ ผลหารเท่ากับ $0.3124986\ldots$ และ $\tfrac{5}{16}=0.3125$