จงหาค่าปริพันธ์สองชั้นของ x y^2 บนบริเวณที่ x วิ่งจาก 0 ถึง pi และ y วิ่งจาก 0 ถึง 2 sin x

Step-by-step solution

1. 1

   เลือกลำดับ $dy\,dx$ บริเวณนี้ถูกล้อมด้านล่างด้วย $y=0$ และด้านบนด้วยเส้นโค้ง $y=2\sin x$ โดย $x$ วิ่งบนช่วงคงที่ $[0,\pi]$ คำบรรยายนี้อยู่ในรูป "ขอบเขต $x$ เป็นค่าคงตัว ขอบเขต $y$ เป็นฟังก์ชัน" อยู่แล้ว การอินทิเกรตตาม $y$ ก่อนจึงไม่ต้องเตรียมอะไรเพิ่ม

   $\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{2\sin x}xy^{2}\,dy\,dx.$

   ถ้ากลับลำดับ เราจะต้องหาฟังก์ชันผกผันของ $y=2\sin x$ และแบ่งบริเวณที่ $x=\pi/2$ ซึ่งแย่กว่ามาก

2. 2

   หาปริพันธ์ชั้นใน โดยมอง $x$ เป็นค่าคงตัว

   $\int_{0}^{2\sin x}xy^{2}\,dy=x\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2\sin x}=\frac{x(2\sin x)^{3}}{3}=\frac{8}{3}x\sin^{3}x.$

   กำลังสามนี่แหละที่ทำให้ปริพันธ์ชั้นนอกยุ่งยาก จึงต้องจัดการมันเป็นลำดับต่อไป

3. 3

   ทำ $\sin^{3}x$ ให้เป็นเชิงเส้นด้วยเอกลักษณ์มุมสามเท่า จาก $\sin 3x=3\sin x-4\sin^{3}x$ จะได้ $\sin^{3}x=\dfrac{3\sin x-\sin 3x}{4}$ กำลังของไซน์อินทิเกรตคู่กับ $x$ ตรง ๆ ไม่ได้ แต่ไซน์ เดี่ยว ๆ จัดการได้ด้วยการอินทิเกรตทีละส่วน ดังนั้น

   $\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi}x\sin^{3}x\,dx=2\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx-\frac{2}{3}\int_{0}^{\pi}x\sin 3x\,dx.$

4. 4

   อินทิเกรตทีละส่วนกับแต่ละก้อน โดยให้ $u=x$ สำหรับ $\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x$

   $\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx=\big[-x\cos x+\sin x\big]_{0}^{\pi}=\pi.$

   สำหรับ $\int x\sin 3x\,dx=-\dfrac{x\cos 3x}{3}+\dfrac{\sin 3x}{9}$

   $\int_{0}^{\pi}x\sin 3x\,dx=\left[-\frac{x\cos 3x}{3}+\frac{\sin 3x}{9}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi}{3},$

   โดยใช้ $\cos 3\pi=-1$ และ $\sin 3\pi=0$

5. 5

   รวมผลและตรวจคำตอบ

   $2(\pi)-\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi}{3}=2\pi-\frac{2\pi}{9}=\frac{16\pi}{9}\approx 5.5851.$

   การอินทิเกรตเชิงตัวเลขของ $\tfrac{8}{3}x\sin^{3}x$ บน $[0,\pi]$ ให้ $5.5850536$ ตรงกับ $\tfrac{16\pi}{9}=5.5850536$ ผลลัพธ์เป็นบวกตามที่ควรจะเป็น เพราะ $x\ge0$ และ $y^{2}\ge0$ ทุกจุดบน $R$