จงหาค่าปริพันธ์สามชั้นของ x บนทรงตันที่ล้อมด้วยกรวย x^2 = y^2 + z^2 และพาราโบลอยด์ x = y^2 + z^2

Step-by-step solution

1. 1

   ใช้ประโยชน์จากสมมาตร ผิวทั้งสองขึ้นกับ $y$ และ $z$ ผ่าน $y^2+z^2$ เท่านั้น ให้

   $r^2=y^2+z^2$

   กรวยจะกลายเป็น $x^2=r^2$ และพาราโบลอยด์กลายเป็น $x=r^2$ ทรงตันนี้เป็นผิวหมุนรอบ แกน $x$ พิกัดที่เป็นธรรมชาติจึงเป็นพิกัดทรงกระบอกที่พันรอบแกนนั้น ไม่ใช่แกน $z$ ตามปกติ

2. 2

   ตั้งพิกัดทรงกระบอกที่หมุนแล้ว ให้

   $y=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,\qquad x=x$

   โดย $r\ge 0$ และ $0\le\theta\le 2\pi$ จาโคเบียนยังเหมือนเดิม ดังนั้น

   $dV=r\,dx\,dr\,d\theta$

   การลืมตัวประกอบ $r$ ที่เพิ่มเข้ามาคือความผิดพลาดคลาสสิกตรงนี้

3. 3

   หาจุดที่ผิวทั้งสองพบกัน บริเวณที่ถูกล้อมอยู่ในซีก $x\ge 0$ ซึ่งกรวยคือ $x=r$ ให้ทั้งสองเท่ากัน

   $r=r^2\qquad\Longrightarrow\qquad r(r-1)=0\qquad\Longrightarrow\qquad r=0\ \text{ หรือ }\ r=1$

   ทรงตันจึงอยู่เหนือแผ่นวงกลม $0\le r\le 1$ ในระนาบ $yz$ และเส้นโค้งทั้งสองพบกันที่จุดกำเนิดและที่ $x=1$

4. 4

   ตัดสินว่าผิวใดเป็นขอบล่าง สำหรับ $0<r<1$ จะได้ $r^2<r$ พาราโบลอยด์ $x=r^2$ จึงอยู่ทางซ้ายของกรวย $x=r$ สำหรับ $(r,\theta)$ ที่ตรึงไว้ ตัวแปร $x$ จึงวิ่งจาก $r^2$ ขึ้นไปถึง $r$

   $\iiint_E x\,dV=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1\!\!\int_{r^2}^{r} x\,r\,dx\,dr\,d\theta$

5. 5

   อินทิเกรตตาม $x$ แล้วตาม $r$ ปริพันธ์ชั้นในคือ

   $\int_{r^2}^{r}x\,r\,dx=r\left[\frac{x^2}{2}\right]_{r^2}^{r}=\frac{r^3-r^5}{2}$

   จากนั้น

   $\int_0^1\frac{r^3-r^5}{2}\,dr=\frac{1}{2}\left[\frac{r^4}{4}-\frac{r^6}{6}\right]_0^1=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}=\frac{1}{24}$

6. 6

   ปิดท้ายด้วยปริพันธ์เชิงมุม ตัวถูกอินทิเกรตไม่มี $\theta$ อยู่เลย การอินทิเกรตครั้งสุดท้ายจึงเป็นเพียงการคูณด้วยรอบเต็ม

   $\int_0^{2\pi}\frac{1}{24}\,d\theta=\frac{2\pi}{24}=\frac{\pi}{12}$

   $\boxed{\iiint_E x\,dV=\frac{\pi}{12}\approx 0.2618}$

   ผลบวกรีมันน์เชิงตัวเลขบนบริเวณเดียวกันให้ $0.26180$ ยืนยันผลลัพธ์ เนื่องจาก $x\ge 0$ ตลอดทั้งทรงตัน คำตอบที่เป็นบวกจึงเป็นไปตามที่คาด