จงหาค่าปริพันธ์สองชั้นของ 9y + 4x บนบริเวณที่ล้อมด้วยพาราโบลา y = 4x² − 9 และ y = 9 − 4x²

Step-by-step solution

1. 1

   หาจุดที่พาราโบลาสองเส้นตัดกัน ให้ $4x^2-9 = 9-4x^2$ จะได้ $8x^2 = 18$ ดังนั้น $x = \pm\tfrac{3}{2}$ บริเวณนี้จึงกินช่วง $-\tfrac{3}{2} \le x \le \tfrac{3}{2}$

2. 2

   เขียนปริพันธ์ซ้ำ สำหรับแต่ละค่า $x$ แถบแนวตั้งวิ่งจากพาราโบลาล่างขึ้นไปหาพาราโบลาบน

   $\int_{-3/2}^{3/2}\int_{4x^2-9}^{9-4x^2}(9y+4x)\,dy\,dx$

3. 3

   ใช้สมมาตรแทนที่จะฝืนคำนวณ $D$ สมมาตรรอบแกน ทั้งสอง แกน การเปลี่ยน $x \to -x$ ส่งบริเวณนี้ทับตัวเอง และ $y \to -y$ ก็เช่นกัน (เส้นขอบทั้งสองสลับที่กัน)

4. 4

   นำสมมาตรไปใช้กับแต่ละพจน์ $9y$ เป็นฟังก์ชันคี่ใน $y$ บนบริเวณที่สมมาตรใน $y$ จึงอินทิเกรตได้ $0$ ส่วน $4x$ เป็นฟังก์ชันคี่ใน $x$ บนบริเวณที่สมมาตรใน $x$ จึงอินทิเกรตได้ $0$ เช่นกัน

5. 5

   สรุป ทั้งสองพจน์เป็นศูนย์ ปริพันธ์จึงเท่ากับ $0$ โดยไม่ต้องหาปฏิยานุพันธ์เลย การตรวจสมมาตรก่อนลงมืออินทิเกรตคุ้มค่าเสมอ เมื่อบริเวณถูกนิยามด้วยฟังก์ชันคู่