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Algebra questions asked by real students

Real algebra questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.

dim W₁ < dim W₂ なら W₂ に W₁ と直交する非零ベクトルがある

結論は「必ず存在する」。x ↦ ⟨x, ·⟩ で W₂ を W₁ の双対空間へ写すと像の次元は dim W₁ 以下なので、次元定理より核 W₂ ∩ W₁⊥ の次元は dim W₂ − dim W₁ ≥ 1 となる。

|x| = 5 − 10 が実数解をもたない理由：解なし

解は存在しない。右辺を整理すると |x| = −5 となるが、絶対値は 0 からの距離なので負の数に等しくなることはない。c の符号を先に読むのが要点。

|2x + 5| = 0 を解く：解はただ 1 つ x = −5/2

解は x = −5/2 だけ。絶対値が 0 に等しいときは場合分けが不要で、0 からの距離が 0 になる数は 0 自身しかないため、そのまま記号を外せる。

|3x − 5| = 5 を場合分けで解く：x = 0 と x = 10/3

解は x = 0 と x = 10/3。|A| = 5 は A = 5 または A = −5 を意味するので、1 本の絶対値方程式が 2 本のふつうの一次方程式に分かれる。

|3x + 4| = 2 を解く：解は x = −2/3 と x = −2

解は x = −2/3 と x = −2。絶対値が正の数に等しいときは 3x+4 = 2 と 3x+4 = −2 の 2 つの場合に分かれ、どちらも 1 手で解ける一次方程式になる。

|4x + 3| = 2 を解く：解は x = −1/4 と x = −5/4

解は x = −1/4 と x = −5/4。|4x + 3| = 2 を 4x + 3 = 2 と 4x + 3 = −2 の 2 つの場合に分け、それぞれ一次方程式として解けばよい。

|5 − x| = 5 を解く：解は x = 0 と x = 10

解は x = 0 と x = 10。5 − x = 5 と 5 − x = −5 に分けるだけだが、x の係数が負であることが 2 つ目の場合で x = 10 を生む。

|−x| = 3.4 を |−x| = |x| で解く：x = ±3.4

解は x = 3.4 と x = −3.4。絶対値の中のマイナス符号は何も変えない。ある数とその反数は 0 から同じ距離にあるからである。

|(2x − 3)/7| = (1/2)|(x + 3)/4| を解く：x = 5 と 3/23

解は x = 5 と x = 3/23。正の定数を絶対値の外に出して 8|2x − 3| = 7|x + 3| にし、両辺を 2 乗すると 23x² − 118x + 15 = 0 が得られる。

|x| + |x − 1| = 3 を場合分けで解く：x = −1 と x = 2

解は x = −1 と x = 2。x = 0 と x = 1 で区切って 3 つの場合に分けると、真ん中の場合は 1 = 3 に退化して解をもたないことがわかる。

|x² − 13| = 3 を解く：解は x = ±4 と x = ±√10

解は 4 個で、x = ±4 と x = ±√10。二次式に絶対値がかかった方程式は x²−13 = 3 と x²−13 = −3 に分かれ、それぞれが 2 個ずつ解を出す。

絶対値不等式 |2x − 1| ≤ 3 を解く：−1 ≤ x ≤ 2

答えは −1 ≤ x ≤ 2。「以下」型の絶対値不等式は −3 ≤ 2x − 1 ≤ 3 という 1 本の連結不等式になり、各辺に 1 を足して 2 で割れば解ける。

絶対値不等式 |2x + 5| < 13 を解く：−9 < x < 4

答えは −9 < x < 4。「未満」型の絶対値不等式は −13 < 2x + 5 < 13 という 1 本の連結不等式になり、各辺から 5 を引いて 2 で割れば解ける。

7|w − 6| ≥ 2 を解く：w ≤ 40/7 または w ≥ 44/7

答えは w ≤ 40/7 または w ≥ 44/7。まず 7 で割って絶対値を単独にすると、「以上」型は 1 つの区間ではなく外向きの半直線 2 本に分かれる。

7|w − 6| ≥ 21 を解く：w ≤ 3 または w ≥ 9

解は w ≤ 3 または w ≥ 9。7 で割って |w − 6| ≥ 3 にすれば、w が 6 から左右どちらにも 3 以上離れている、と距離で読める。

|a − 1| < |2a| を 2 乗して解く：a < −1 または a > 1/3

解は a < −1 または a > 1/3。両辺とも絶対値なので 2 乗が同値変形になり、問題は二次不等式 3a² + 2a − 1 > 0 に帰着する。

−2|3m| + 3 < −51 を解く：m < −9 または m > 9

解は m < −9 または m > 9。|3m| を単独にし、−2 で割るときに不等号を反転して |3m| > 27 とすれば、外向きの 2 本の枝に分かれる。

−2|3m| + 3 < 51 を解く：すべての実数が解

解はすべての実数。−2 で割ると |3m| > −24 となり、絶対値は決して負にならないので、この不等式はどんな m でも成り立つ。

|x²−5x+6| + |x−4| ≥ −x²+5x+7 の解：x ≤ (11−√97)/4 と x ≥ 5

答えは x ≤ (11−√97)/4 または x ≥ 5、数値ではおよそ x ≤ 0.288 または x ≥ 5。切れ目 2, 3, 4 で 4 つの場合に分かれ、解をもつのは外側の 2 つだけである。

|2x − 3| ≤ x − 1 を解く：4/3 ≤ x ≤ 2

解は 4/3 ≤ x ≤ 2。右辺に文字があるときはまず x − 1 ≥ 0 を課し、そのうえで −(x−1) ≤ 2x−3 ≤ x−1 というはさみこみを解く。

|x−1|/(x²−4) ≥ 0 を解く：x < −2、x = 1、x > 2

解は x < −2、x = 1、x > 2。分子は決して負にならないので符号は分母が決め、x = 1 では分数がちょうど 0 になって孤立点として解に加わる。

(|x − 2| − x)/(x² − 4) ≤ 0 を符号表で解く

(|x − 2| − x)/(x² − 4) ≤ 0 の解は (−2, 1] ∪ (2, +∞)。x = 2 で絶対値を場合分けし、符号表を作って、なぜ x = 1 は含まれ ±2 は除かれるのかを確かめる。

1/√2 + 1/√2 を簡単にする：答えは √2 ≈ 1.414214

答えは √2、およそ 1.414214。同類項なのでそのまま足すと 2/√2 になり、分母を有理化すると 2 が約分されてちょうど √2 が残る。

4 の 5 乗根の 2 倍と 5 倍を足す：答えは 7 倍

和は 4 の 5 乗根の 7 倍。2 つの項はもともと根号の指数も中身も同じなので、係数の 2 と 5 だけを足せば済む。

5√50 + 3√32 を先に簡単にして足す：答えは 37√2

和は 37√2。√50 を 5√2 に、√32 を 4√2 に直せば同類の根号になり、あとは係数 25 と 12 を足すだけである。

3 つの二次式を加減して次数を答える：7x² − 7x + 9、次数 2

結果は 7x² − 7x + 9 で次数は 2。まず 3 つ目の多項式に引き算の符号を配分し、そのあと x² の項、x の項、定数項を別々にまとめる。

2 つの三次式を足して次数を答える：−x³ + 8x² − 15x − 4、次数 3

和は −x³ + 8x² − 15x − 4 で次数は 3。同じ次数どうしの係数を足すだけだが、三次の項は打ち消し合わないので次数は 3 のまま残る。

(−x² + 9) + (−3x² − 11x + 4) を計算する：−4x² − 11x + 13

和は −4x² − 11x + 13。次数ごとに同類項をそろえる手順、−11x だけがそのまま残る理由、x = 1 と x = 2 で検算するやり方をたどる。

f(x) = 5x + 2 と g(x) = x − 6 を足す：(f + g)(x) = 6x − 4

(f + g)(x) = 6x − 4 で定義域はすべての実数。2 つの式を並べて x の項 5x + x = 6x と定数 2 − 6 = −4 を足し、最後に定義域を述べる。

f(x) = 2 − x² と g(x) = x² + 4x − 60 を足す：(f + g)(x) = 4x − 58

(f + g)(x) = 4x − 58 で定義域はすべての実数。2 つの x² の項がちょうど反数どうしなので打ち消し合い、二次関数の和が一次関数になる。

√(3+√5) + √(3−√5) を 2 乗して簡単にする：答えは √10

和は √10。2 乗すると 6 + 2√(9−5) = 10 になり、どちらの根号も正なので、和は −√10 ではなく正の平方根 √10 になる。

(x² − 2yz + z²) + (3yz − z² + 5x²) を計算する：6x² + yz

答えは 6x² + yz。引き算ではなく足し算なので括弧はそのまま外してよく、2 つの z² の項はちょうど打ち消し合って消える。

x/(x−8) + (x−8)/x を通分して足す：2(x²−8x+32)/(x(x−8))

和は 2(x² − 8x + 32)/(x(x − 8))。共通分母 x(x − 8) にそろえると分子は x² + (x − 8)² となり、展開して 2(x² − 8x + 32) にまとまる。

(x+5)/(2x−2) + 3x/(x²+x−2)：答えは (x²+13x+10)/(2(x−1)(x+2))

和は (x²+13x+10)/(2(x−1)(x+2))。2x−2 を 2(x−1)、x²+x−2 を (x+2)(x−1) と因数分解すれば最小公分母が見え、両方の分子をそこまで持ち上げればよい。

9 : 4 が 20 枚増えて 8 : 3 に：大人 108 枚・子ども 48 枚

前日までは大人 108 枚、子ども 48 枚で、大人券は合計 128 枚。枚数を 9k と 4k と置けば未知数が 1 つで済み、3(9k + 20) = 8(4k) から k = 12 が出る。

いま 8 倍、8 年後に 3 倍の年齢問題：Boss は 25 と 3/5 歳

Boss は 25 と 3/5 歳。年下の年齢を x とおいて 8x + 8 = 3(x + 8) を立て、5x = 16 を解いてから 8 倍に戻せばよい。

いま 8 倍、8 年後に 3 倍：兄は 128/5 = 25.6 歳

答えは兄が 128/5 = 25.6 歳、弟が 16/5 = 3.2 歳。弟の年齢を x とおくと 8x + 8 = 3(x + 8) となり、5x = 16 が得られる。

父はいま 4 倍、12 年前は 10 倍：子は 18 歳、父は 72 歳

子は 18 歳、父は 72 歳。方程式 4x − 12 = 10(x − 12) から x = 18 が出て、12 年前は 6 歳と 60 歳でちょうど 10 倍になる。

いま 5 倍、5 年後に 3 倍：上は 25 歳、下は 5 歳

上のきょうだいは 25 歳、下は 5 歳。5a + 5 = 3(a + 5) から 2a = 10 が出る。2 人とも同じ 5 年だけ年をとることが、比の下がる理由である。

母はいま 3 倍、10 年前は 5 倍：私は 20 歳、母は 60 歳

私は 20 歳、母は 60 歳。両方の年齢から 10 を引くと 3x − 10 = 5(x − 10) となり x = 20。10 年前は 10 歳と 50 歳でちょうど 5 倍である。

年齢の和が 46、4 年前は 2 倍：88/3 歳と 50/3 歳

年齢は 88/3 歳と 50/3 歳、およそ 29.33 歳と 16.67 歳。2 つの条件から式が 2 本でき、代入すると 3D − 4 = 46 に帰着する。

周の長さ 48 m、長さが幅より 4 m 長い長方形の面積：140 m²

面積は 140 m²。幅を x とおくと長さは x + 4 で、2(2x + 4) = 48 を解くと x = 10。辺は 10 m と 14 m になる。

周の長さ 52 m、長さが幅より 6 m 長い長方形の面積：160 m²

面積は 160 m²。幅を x とおいて長さを x + 6 と書き、2(x + (x+6)) = 52 を解いて x = 10 を得たら、10 と 16 を掛ける。

u₁ = 1/3、u₈ = 26 の等差数列の公差：d = 11/3

u₈ = u₁ + 7d より 7d = 26 − 1/3 = 77/3 となり d = 11/3。戻して確かめると u₈ = 1/3 + 7(11/3) = 78/3 = 26 になる。

u₄ = 10、u₄ + u₆ = 26 の等差数列の公差：d = 3

u₄ = 10 なので 2 本目の式から u₆ = 16。u₆ − u₄ = 2d より 2d = 6、すなわち d = 3 となり、u₁ = 1 で数列全体が復元できる。

u₂ = 3、u₄ = 7 の等差数列の第 15 項：u₁₅ = 29

u₄ − u₂ = 2d より d = 2、u₁ = 1 となる。したがって u₁₅ = 1 + 14(2) = 29 で、第 15 項は誘い込みの 31 ではなく 29 である。

u₁ = 3、d = 2 の等差数列の第 5 項：u₅ = 11

一般項の公式 uₙ = u₁ + (n − 1)d に u₁ = 3、d = 2 を入れると u₅ = 3 + 4(2) = 11。3, 5, 7, 9, 11 と書き出しても第 5 項が 11 だと確かめられる。

携帯プランの料金の式 30 + 0.05t + 0.10x を立てて計算する

月額は通話 t 分・送信 x 通に対して 30 + 0.05t + 0.10x ドル。5 通りの使い方で計算すると 40、38.80、41.25、43.50、42.50 ドルになる。

(x+1)(x+2) ≥ (x+3)(x+4) ≥ (x+5)(x+6) の解き方

解は x ≤ -9/2、すなわち区間 (-∞, -9/2]。連鎖不等式を 2 つに分け、x^2 の項がすべて消えるのを確かめ、2 つの解の共通部分をとる。

log 1576 / log 2.44 を底の変換で求める：約 8.2541

log 1576 / log 2.44 は 2.44 を底とする 1576 の対数で、約 8.2541。共通の底が約分され、2.44 を 8.2541 乗すると 1575.99 に戻る。

3 つの小数の式が等しいか調べる：等しいのは後ろの 2 つだけ

答えは、等しいのは後ろの 2 つだけ。式 1 は 0.015S − 0.955、式 2 と式 3 はどちらも 0.0138462S − 0.789231 になり、一致するのは S = 431/3 のときだけである。

60 枚で 450 の硬貨：5 単位が 30 枚、10 単位が 30 枚

5 単位の硬貨が 30 枚、10 単位の硬貨が 30 枚。もう一方の枚数を 60 − x と書けば、2 つの条件が 5x + 10(60 − x) = 450 という 1 本の方程式にまとまる。

80 枚で 650 の硬貨：5 単位が 30 枚、10 単位が 50 枚

5 単位の硬貨が 30 枚、10 単位の硬貨が 50 枚。5x + 10(80 − x) = 650 という 1 本の式が、枚数の条件と金額の条件を同時に表している。

(2x + 1)² + 2(2x + 1) + 1 を完全平方にする：4(x + 1)²

この式は (2x + 2)² = 4(x + 1)² に等しい。展開せずに A = 2x + 1 とおいて A² + 2A + 1 の形を見抜き、括弧から 2 をくくり出せばよい。

同類項をまとめる 4x + 2x − 5x：答えは x

答えは 1x でも 0 でもなく x。係数を足すと 4 + 2 − 5 = 1 になり、係数の 1 は文字の前に書かない約束だからである。

6xy² − 3xy² − 12xy² の同類項をまとめる：−9xy²

答えは −9xy²。3 つの項はどれも文字の部分が同じ xy² なので、係数だけがまとまって 6 − 3 − 12 = −9 となり、xy² はそのまま残る。

9x − 14x + 6x の同類項をまとめる：答えは x

答えは x。3 つの項は同じ文字を共有しているので係数だけが足し合わされ、9 − 14 + 6 = 1。係数の 1 は書き出さない約束である。

3x² + 2x − x² + 5x − 7 の同類項をまとめる：2x² + 7x − 7

簡単にした形は 2x² + 7x − 7。次数ごとにまとめて 3x² − x² = 2x²、2x + 5x = 7x とし、定数 −7 は組む相手がいないのでそのまま残る。

5 次式の同類項をまとめる：−x⁵ − 15x⁴ − 6x + 1

簡単にした形は −x⁵ − 15x⁴ − 6x + 1。同類項は 2 つの x³ の項だけで、それが打ち消し合うので 3 次の項がすっかり消える。

−20 + 7x + 17 − 15x + 3x − 9 = 0 を解く：x = −12/5

答えは x = −12/5 = −2.4。3 つの x の項を −5x に、3 つの定数を −12 にまとめ、最後に割り算して分数の形で答える。

同類項 −12xy、9xy、−3xy をまとめる：−6xy

−12xy + 9xy − 3xy = −6xy。3 つの項はどれも文字の部分が同じ xy なので、係数だけを足して −12 + 9 − 3 = −6 となり、xy はそのまま残る。

3 つの大きな係数をまとめて x を求める：x ≈ 0.0011432627

答えは x ≈ 0.0011432627。3 つの項はすべて同類項なので係数を足して 87,000,451.12 とし、あとは 1 回割り算するだけで終わる。

3 − 2a と 3 − 2b を比べる：負の係数で不等号が逆転する

a < b なら 3 − 2a > 3 − 2b、逆も同様である。両辺から 3 を引くのは無害だが、−2 で割ると不等号の向きが反転する。

4a − 3 と 4b − 3 を比べる：正の係数では向きが変わらない

a < b なら 4a − 3 < 4b − 3。正の数 4 を掛けることも 3 を引くことも順序を保つので、不等号の向きは決して変わらない。

a^3 + b^3 と a^2b + ab^2 の大小比較（a, b > 0）

a^3 + b^3 は常に a^2b + ab^2 以上で、等号が成り立つのは a = b のときだけ。差が (a + b)(a - b)^2 と因数分解でき、非負の積になるからである。

一次関数 G と H の初期値：どちらも −1 でケリーは誤り

ケリーは誤りで、初期値はどちらも −1 である。関数 H は (8, 3) を通る傾き 1/2 の直線なので、x = 0 までさかのぼると y が 4 下がり、G と同じ −1 に着く。

3x² − 4x + 2 を平方完成して零点を求める：最小値 2/3

答えは 3(x − 2/3)² + 2/3 で最小値は 2/3。判別式が −8 なので零点は実数ではなく、複素数の組 (2 ± i√2)/3 になる。

x² − 2x + 3 を平方完成する：(x − 1)² + 2、最小値は 2

答えは (x − 1)² + 2 なので、最小値は x = 1 における 2。判別式は −8 で、この二次式が実数の範囲で因数分解できないのはそのためである。

−0.2 = 4.3957x² + 1.7334x + 0.0496 を解く：実数解なし

答えは実数解なしで、x = −0.19717 ± 0.13382i。−0.2 を移項して 4.3957x² + 1.7334x + 0.2496 = 0 とし、判別式 −1.38399 を読み取る。

f, g, h の合成：(g∘f)(x) = 128x² − 456x + 403 ほか

(g∘f)(x) = 128x² − 456x + 403、(h∘f)(2) = 11、(f∘h)(x) = 16x³ + 36x − 15。外側の関数の変数が現れるところすべてに、内側の関数を代入する。

1 < x + 4 ≤ 2 を各辺から引いて解く：−3 < x ≤ −2

解は −3 < x ≤ −2、区間では (−3, −2]。連結不等式の 3 つの部分すべてから 4 を引けば、符号を反転させずに 1 手で x が取り出せる。

10 < 60(1 + x)/7 < 11 を 3 辺同時に解く：1/6 < x < 17/60

解は 1/6 < x < 17/60。7 を掛け、60 で割り、1 を引く——どれも正の数による操作なので、2 つの不等号は向きを変えない。

11 < 60(1+x)/7 < 12 を分母を払って解く：17/60 < x < 2/5

答えは 17/60 < x < 2/5。3 つの部分すべてに 7 を掛け、60 で割り、1 を引く。掛けたり割ったりする数がどちらも正なので向きは変わらない。

16 < 3y − 8 ≤ 40 を解く：答えは 8 < y ≤ 16

答えは 8 < y ≤ 16。3 つの部分すべてに 8 を足し、次に 3 で割るだけでよい。3 は正なので不等号の向きも狭義・広義の別も変わらない。

5x − 4 > 3 ≥ 1 − x を解く：答えは x > 7/5

答えは x > 7/5。変数が外側の両方にあるので連鎖を 2 つの不等式に分け、解集合の共通部分をとる。7/5 > −2 なので厳しい方だけが残る。

7 < 60(1+x)/7 < 8 を解く：答えは −11/60 < x < −1/15

答えは −11/60 < x < −1/15。60/7 は約 8.57 で目標の窓より上にあるため、1 + x を 1 より小さく引き下げる必要があり、両端とも負になる。

8 < 60(1+x)/7 < 7 を解く：解なし（空集合）

解は存在しない。8 より大きく同時に 7 より小さい数を要求しているからで、実際に計算しても上限と下限が逆転したまま残ることで確認できる。

8 < 60(1+x)/7 < 9 を解く：答えは −1/15 < x < 1/20

答えは −1/15 < x < 1/20。60/7 は約 8.57 で x = 0 の時点ですでに目標の窓の中にあるため、解の区間は 0 をまたぐ形になる。

2 か所で矛盾する連鎖不等式：解は空集合

解は存在しない。4018 − 2734 を 1284 に直すと、連鎖は 3818 ≤ 499x − 20y < 1284 と 1284 ≤ 33x − 78y < −2534 を同時に要求し、どちらも不可能である。

−4 ≤ 3x − 1 ≤ 8 を解く：答えは −1 ≤ x ≤ 3

答えは −1 ≤ x ≤ 3。3 つの部分を一度に扱う。すべてに 1 を足して −3 ≤ 3x ≤ 9 とし、正の 3 で割る。向きの反転は起こらない。

1/6 < (2x − 13)/12 ≤ 2/3 を解く：答えは 15/2 < x ≤ 21/2

答えは 15/2 < x ≤ 21/2、すなわち (7.5, 10.5]。3 つの部分すべてに 12 を掛けて分母を払い、13 を足して 2 で割る。開いた端と閉じた端はそのまま残る。

A = x⁵(x−1)⁵/(x²+1)⁴：3 つの対数を 1 つにまとめる

A = x⁵(x − 1)⁵ / (x² + 1)⁴ となる。指数法則で各係数を指数へ移し、負の係数がついた因数は分母へ回る。定義域は x > 1 に注意。

(x²−16)/(1+4x−5x²) ≥ 0 の整数解は 7 個

答えは 7 個（−4, −3, −2, −1, 2, 3, 4）。分子・分母を因数分解し、分母の負の符号をくくり出して向きを反転させ、−4, −1/5, 1, 4 で符号表を作る。

固有多項式 x³(x−1)⁴ をもつ複素行列の相似類は 15 個

相似類は 15 個。ℂ 上ではジョルダン標準形が完全不変量なので、個数は 2 つの重複度の分割数の積 p(3)·p(4) = 3·5 = 15 になる。

∛(5 − 3x) = 4 を解く：答えは x = −59/3

答えは x = −59/3、約 −19.667。両辺を 3 乗するだけでよい。平方根と違って 3 乗根には定義域の条件がなく、無縁解も生じない。

(2x + 2)^(1/3) = −4 の解き方｜三乗根の方程式

実数解は x = −33。両辺を 3 乗して 1/3 乗を外し、2x + 2 = −64 を解く。奇数乗根では無縁解が生じない理由もあわせて確認する。

3 つの実数解は −7.4802×10⁻⁸、0.00106167、0.00814390

3 つの実数解は x ≈ −7.4802×10⁻⁸、0.00106167、0.00814390。先に x を 1000 分の 1 のスケールに置き換えると、条件の悪い小数が扱いやすい 3 次式に変わる。

20.2x³ − 80.8x² + 60.6 = 0 の 3 解は x = 1 と (3 ± √21)/2

答えは x = 1 と x = (3 ± √21)/2、小数では約 3.7913 と −0.7913。決め手は 214221 = 101² × 21 に気づいて根号が厳密に外れることである。

2s³ + 33s² + 180s + 300 = 0：実数解は s ≈ −3.086409 ただ 1 つ

実数解は s ≈ −3.086409、複素数解は −6.706796 ± 1.902385i。有理根がないので y³ − 3y/4 − 49/4 に簡約してカルダノの公式を使う。

2x³ + 33x² + 180x − 300 = 0 の実数解はただ 1 つ x ≈ 1.3210837

答えは x = 1.3210837 で、これが唯一の実数解。判別式 −42,120,000 が負なのでカルダノの公式は実数解 1 つと複素数解 2 つを与える。有理根は存在しない。

3.68x³ + 92.3x² − 500 = 0 の 3 実解は −24.8617、−2.4502、2.2304

答えは x = −24.8617、−2.4502、2.2304。最も速い検算は解と係数の関係で、和は −92.3/3.68 = −25.0815、積は 500/3.68 = 135.87 になる。

49 − 112x + 21x² − x³ = 0 の 3 実解は 0.4797、8.4956、12.0248

3 つの実数解は x ≈ 0.4797、8.4956、12.0248。有理根がないので y³ − 35y + 49 に簡約し、還元不能の場合に使う余弦の公式で求める。

(x−1)(x+2)(x−3) < 0 の解き方｜三次不等式

解集合は (−∞, −2) ∪ (1, 3)。3 つの零点を求めて数直線を分け、各区間で積の符号を符号表から読み取る手順を解説する。

(x³+1)(x²−2) < x(x³+1) を解く：解は (−∞, −1) ∪ (−1, 2)

解集合は (−∞, −1) ∪ (−1, 2)。共通因数 x³ + 1 をくくり出すと (x+1)²(x²−x+1)(x−2) < 0 になり、負になれるのは x − 2 だけで x = −1 は除かれる。

(x−2)(x+1)(x−4) < 0 を解く：答えは (−∞, −1) ∪ (2, 4)

答えは (−∞, −1) ∪ (2, 4)。単純な 3 つの根が数直線を 4 区間に分け、符号は交互に入れ替わる。狭義の不等号なので 3 つの根はすべて除かれる。

零点と最高次の係数から三次多項式を求める

答えは f(x) = 5(x + 3)(x − 6)(x − 10) = 5x³ − 65x² + 60x + 900。各零点が因数になる仕組みと、最高次の係数が定数倍を決める理由を解説する。

唯一の実数解は x ≈ 0.00548128：ずらした完全 3 乗に帰着する

唯一の実数解は x ≈ 0.00548128。0.016875 = 3(0.005625)、9.4921875×10⁻⁵ = 3(0.005625)² と気づけば、3 次式はずらした完全 3 乗にまとまる。

x³ + 12x² + 48x + 72 = 0 を (x+4)³ + 8 = 0 と見る：答えは x = −6

答えは x = −6。この 3 次式は (x+4)³ の定数 64 に 8 を足したものなので (x+4)³ = −8 となり、x + 4 は実数の 3 乗根 −2 に等しい。

x³ − 14x² + 23 = 0 の 3 実解は −1.228936、1.348310、13.880626

解は x = −1.228936、1.348310、13.880626。x の項が欠けているので 2 つずつの積の和がゼロになり、これが数値解を検算する最も鋭い手がかりになる。

3 実解は −0.0126509、0.0239023、245.6997486（定数項 0.074296）

解は x = −0.012650903、0.023902272、245.699748632。ゼロの近くでは x³ を捨てて小さい 2 解を出し、大きい解は解の和 245.711 から求める。

3 実解は −0.0146815、0.0259332、245.6997483（定数項 0.093547）

解は x = −0.014681475、0.025933162、245.699748313。ゼロの近くでは x³ を捨てて小さい 2 解を出し、大きい解は解の和 245.711 から求める。

3 実解は −0.0167473、0.0279994、245.6997480（定数項 0.115212）

解は x = −0.016747308、0.027999354、245.699747954。ゼロの近くでは x³ を捨てて小さい 2 解を出し、大きい解は解の和 245.711 から求める。

3 実解は −0.0187425、0.0299950、245.6997476（定数項 0.138128）

解は x = −0.018742545、0.029994971、245.699747574。ゼロの近くでは x³ を捨てて小さい 2 解を出し、大きい解は解の和 245.711 から求める。

x³ − 3x² + 3x − 2 = 0 を (x−1)³ − 1 と見る：実数解は x = 2

唯一の実数解は x = 2。3 次式は (x − 1)³ − 1 なので方程式は (x − 1)³ = 1 になり、実数の 3 乗根から x − 1 = 1 が得られる。

3 実解は −15.219737、11.273122、62.946615（有理根なし）

解は x = −15.219737、11.273122、62.946615。10800 の約数に有理根はないので、符号変化で各解を挟んでニュートン法で精度を上げる。

x³ − 6x² + 11x − 6 = 1 の実数解は x = 2 + ρ ≈ 3.3247180

唯一の実数解は x = 2 + ρ ≈ 3.3247180（ρ はプラスチック数）。左辺を (x−1)(x−2)(x−3) と見て y = x − 2 と置くと y³ − y − 1 = 0 になる。

x³ + 40x² + 400x + 2000 = 0：唯一の実数解は x ≈ −28.392868

唯一の実数解は x ≈ −28.392868、複素数解は −5.803566 ± 6.062907i。簡約すると y³ − 400y/3 + 38000/27 になり、判別式は正である。

自転車がかかった時間は 1.5 時間（速さは 20 km/h）

自転車は 20 km/h で走り、所要時間は 1.5 時間。30/v − 30/(v + 40) = 1 の分母を払うと v² + 40v − 1200 = 0 になり、正の解は 20 だけである。

5 つの値から 4 次多項式の解の和を求める

解の和は 10。1 次のパターン 4x − 3 を引き、差を a(x−1)(x−2)(x−3)(x−4) と因数分解して解と係数の関係を使うと、定数 a は約分されて消える。

8 次方程式に実数解はない：(x⁴−x³+x²−x+1)² + 1 の形

実数解は存在しない。この多項式はちょうど (x⁴ − x³ + x² − x + 1)² + 1 であり、実数の平方が −1 になることはないので値は 1 を下回らない（実際の最小値は約 1.4537）。

a = (√5 − 1)c/4：二重根号 √(6 − 2√5) を外す

答えは a = (√5 − 1)c/4。厄介な根号 √(6 − 2√5) は、6 − 2√5 がちょうど (√5 − 1)² であるため √5 − 1 に外れる。

√(11 − √120) の二重根号を外す：答えは √6 − √5 ≈ 0.2134

二重根号は √6 − √5 ≈ 0.2134 になる。11 − √120 を 11 − 2√30 と書き、m + n = 11、mn = 30 を満たす m, n を探すと (√6 − √5)² が現れる。

x + y ≤ 6 かつ x ≥ 2 の表す領域：頂点 (2, 4) の非有界な角

解は頂点 (2, 4) をもつ非有界な領域で、左は x = 2、上は y = 6 − x で区切られる。各不等式を y について解くと、重なりが塗り分けやすくなる。

行が (9,2,2)、(28,8,8)、(18,5,4) の 3×3 行列式は −16

行列式は −16。第 1 行で余因子展開すると 9(32−40) − 2(112−144) + 2(140−144) = −72 + 64 − 8 = −16。中央の行を (27,7,7) から (28,8,8) に変えるだけで値は −9 から −16 に動く。

行が (9,2,2)、(27,7,7)、(18,5,4) の 3×3 行列式は −9

行列式は −9。第 1 行に沿って余因子展開すると 9(28−35) − 2(108−126) + 2(135−126) = −63 + 36 + 18 = −9 になる。

4×4 行列式は 9：第 1 列をひとつの成分だけにしてから展開する

行列式は 9。第 3 行の定数倍を引いて第 1 列を成分 9 のひとつだけにし、その列に沿って展開すると、値 1 の 3×3 行列式が残る。

4×4 行列式は −46：2 段階の行基本変形で第 1 列を掃き出す

行列式は −46。2 段階の行基本変形で第 1 列を左上の 1 だけにすると、あとは値 −46 の 3×3 行列式を計算すればよい。

(2x + 1)² − (2x − 1)² を簡単にする：答えは 8x

答えは 8x。2 つの平方を展開せず、A = 2x + 1、B = 2x − 1 として A² − B² = (A − B)(A + B) を使えば、2 次の項は最初から現れない。

4(x + 3)(x − 3) を展開する：答えは 4x² − 36

4(x + 3)(x − 3) = 4(x² − 9) = 4x² − 36。2 つのかっこは共役な組なので、a² − b² で 1 手にまとまり、総当たりで展開する必要はない。

2 つの 3 次商の平方の差は −16a(a²+2)(a²+8)/(a²−4)²

式は −16a(a² + 2)(a² + 8)/(a² − 4)² にまとまる。a³ + 8 と a³ − 8 に気づけば、引き算に入る前に各平方を 1 つの分数にできる。

x²/9 − ((2x/3 − m)/4)² を因数分解：(2x + 3m)(2x − m)/48

答えは (2x + 3m)(2x − m)/48。どちらの項もすでに平方なので、a = x/3、b = (2x/3 − m)/4 = x/6 − m/4 として a² − b² をそのまま使える。

(x + 2y)² − (x − 2y)² を簡単にする：答えは 8xy

答えは 8xy。2 乗の差として因数分解すると因数は 4y と 2x になり、何かを展開する前に平方の項がすべて消えてくれる。

巨大な 2 つの完全 3 乗の差は (c−e)(y−b)(A²+AB+B²)

20 項ずつの各ブロックが完全 3 乗なので、差は A³ − B³ であり A − B = (c − e)(y − b) になる。3 乗と見抜くだけで 40 項が 3 つの因数にまとまる。

(9a²−4)/(2−3a) − (6a²−5a−6)/(3−2a) は恒等的に 0

答えは 0。分母が逆向きに書かれているため −1 の因数が現れ、どちらの分数も −(3a + 2) に約分されて差が消える。

f(x) = 5x² − 3x + 9 の差分商は 10x + 5h − 3

差分商は 10x + 5h − 3。f(x+h) を展開すると h を含まない項がすべて消えるので、分母の h がきれいに約分できる。

f(x) = 7/(3x − 1) の差分商は −21/((3x+3h−1)(3x−1))

結果は −21/((3x + 3h − 1)(3x − 1))。2 つの分数を通分すると分子が −21h につぶれるので、h が約分できる。

f(x) = x² − 5x + 2 の差分商を簡単にする

差分商は 2x + h − 5 に簡単になる。f(x + h) を展開し、f(x) を引き、分子から h をくくり出して約分するまでを順を追って解説する。

f(x) = −x² + 7x + 2 の差分商は A = −2、B = −1、C = 7

差分商は −2x − h + 7 に簡単になるので A = −2、B = −1、C = 7。h を含まない項がすべて消えるため、分母の h を約分できる。

√(5x + 1) の差分商は 5/(√(5x+5h+1) + √(5x+1))

結果は 5/(√(5x+5h+1) + √(5x+1))。共役な式を掛けて分子を有理化すると根号の差が 5h になり、分母の h が約分できる。

(m²+n²+1)(m²+n²+3) = 8 のとき OP = 1

OP = 1。t = m² + n² と置くと条件は t² + 4t − 5 = 0 になり、解は 1 と −5。平方の和は負になれないので t = 1 だけが残る。

(3m − 4 + 2m²) ÷ (m + 5) = 2m − 7 + 31/(m + 5)

答えは 2m − 7 + 31/(m + 5)。降べきの順に並べ替えて根 −5 で組立除法を行い、m = −5 での分子の値が余り 31 に一致することを確かめる。

2x³+x²−4x−2 を 2x+1 で割ると商は x² − 2、余りは 0

答えは商 x² − 2、余り 0。筆算は 2 手で終わり、2x³+x²−4x−2 = x²(2x+1) − 2(2x+1) という組み分けでも同じ結果が確かめられる。

2x² − 1 を 2x + 1 で割る：商 x − 1/2、余り −1/2

商は x − 1/2、余りは −1/2。欠けている 0x の項を補い、最高次どうしを 2 回割る。割る式がモニックでないため商に分数が現れる。

2x² + 2x + 1 を 2x + 3 で割る：商 x − 1/2、余り 5/2

商は x − 1/2、余りは 5/2。最高次どうしを割る操作を 2 回行えば終わり、割り算の等式で分数の部分まで確かめられる。

(2x²+7x+3)/(x+3) を簡単にする：答えは 2x + 1（x ≠ −3）

答えは 2x + 1、ただし x ≠ −3。中央の項を 6 と 1 に分けて組み分けすると (2x+1)(x+3) になり、共通因数が約分できる。

(4p − 2 + 3p²) ÷ (p − 1) = 3p + 7 + 5/(p − 1)

答えは 3p + 7 + 5/(p − 1)。まず降べきの順に並べ替え、根 1 で組立除法を行う。余り 5 は p = 1 における分子の値に等しい。

3x² − 5 を x + 1 で割る：商 3x − 3、余り −2

商は 3x − 3、余りは −2。割る前に欠けている 0x の項を補い、x = −1 での値を使う剰余の定理で確認する。

3x⁴ − 4x² + 8x − 1 ÷ (x − 2)：商 3x³+6x²+8x+24、余り 47

商は 3x³ + 6x² + 8x + 24、余りは 47。欠けている x³ の項を 0x³ と書いてから割る理由と、f(2) = 47 による検算のしかたがわかる。

(4a²−b²)/(b+2a) ÷ (b−2a)² を簡単にすると 1/(2a−b)

4a² − b² を (2a−b)(2a+b) と因数分解すると (2a+b) が (b+2a) と約分され、(2a−b)/(b−2a)² が残って 1/(2a−b) になる。

(−5p + 4p² + 4) ÷ (p − 2) = 4p + 3 + 10/(p − 2)

答えは 4p + 3 + 10/(p − 2)。4p² − 5p + 4 に並べ替えて根 2 で組立除法を行い、p = 2 での分子の値によって余りを確認する。

(9−a²)/(a²−8a+15) ÷ (2a²−10a)/(a²−10a+25) = −(a+3)/(2a)

9 − a² を −(a−3)(a+3) と因数分解して符号を表に出し、逆数を掛けてから (a−3) と (a−5) を約分する。マイナスは最後まで残る。

2x⁴ − x³ − 5x² + 2x + 2 を x − 1 で割る：商 2x³+x²−4x−2、余り 0

商は 2x³ + x² − 4x − 2 で余りは 0、つまり x = 1 は解である。組立除法の一番下の行が、そのまま商の係数を与えてくれる。

(a²−3a−18)/(2a²−11a−6) ÷ (a²+a−6)/(2a²−a−1) = (a−1)/(a−2)

4 つの 2 次式はすべて因数分解できる：(a−6)(a+3)、(2a+1)(a−6)、(a+3)(a−2)、(2a+1)(a−1)。逆数を掛けると 3 組が約分され、(a−1)/(a−2) だけが残る。

20x²y² + 16x²y − 12xy² を 4xy で割ると 5xy + 4x − 3y

商は 5xy + 4x − 3y。分数を 3 つに分け、係数を割って指数を引き、最後に掛け戻してもとの分子に戻ることを確かめる。

(f³ + 64) ÷ (f + 4) = f² − 4f + 16（余りなし）

答えは f² − 4f + 16 で余りはない。欠けている f² と f の項を 0 と書き、−4 で組立除法を行うと、3 乗の和の因数分解が見えてくる。

(j³ − 64) ÷ (j − 4) = j² + 4j + 16（余り 0）

答えは j² + 4j + 16、余りは 0。係数 1, 0, 0, −64 に対して根 +4 を使う。3 乗の差の公式なので、商の符号はすべてプラスになる。

x³ ÷ (x + 1) = x² − x + 1 − 1/(x + 1)

結果は x² − x + 1 − 1/(x + 1)。x³ + 0x² + 0x + 0 として筆算すると商 x² − x + 1、余り −1 になり、剰余の定理とも一致する。

x³ − 3x² + 5x − 3 を x − 1 で割ると商は x² − 2x + 3

商は x² − 2x + 3 で余りは 0、つまり x − 1 は因数である。割る・掛ける・引くの 3 巡と、因数定理による検算をたどる。

x³ + 6x² + 11x + 6 ÷ (x² + 4x + 3) の商は x + 2

商は x + 2、余りは 0。2 次式で割ると商が 1 次になる理由と、2 回の割り算で終わる仕組みを、因数分解による検算つきで確かめる。

(x⁴+5x³−3x−15) ÷ (x³−3) の商は x + 5

答えは x + 5、余りは 0。筆算でちょうど割り切れる。項を組に分けて x⁴+5x³−3x−15 = (x+5)(x³−3) と因数分解しても、同じ商が直接得られる。

x²−12x+5 ÷ (3x+9)：商は x/3 − 5、余りは 50

商は x/3 − 5、余りは 50。x² を 3x で割ると先頭に分数 x/3 が出るが、3 を括り出さずにそのまま進めると 2 段目できれいに片づく。

x⁵ + 20x³ − x − 8 を x² − 2x + 7 で割る筆算

商は x³ + 2x² + 17x + 20、余りは −80x − 148。両方を次数の降順に並べ替え、抜けている次数に 0 を補ってから、割る・掛ける・引くを 4 回くり返す。

y²−81 を分数式で割る：逆数を掛けて (y−9)(y²+9)/(y−5)

商は (y − 9)(y² + 9)/(y − 5)。逆数を掛ける形に直し、平方の差と 2 次式を因数分解してから、共通因数 (y + 9) を約分する。

割り算の表の空欄 A を求める：2x³−x²+2x+5 ÷ (x+1) で A = 5

答えは A = 5。2x³ − x² + 2x + 5 を x + 1 で割ると商は 2x² − 3x + 5 なので、A と書かれた 3 番目（定数）の欄は 5 になる。

f(x) = 1/√(x + 2) の定義域は (−2, ∞)

定義域は −2 から無限大までの開区間。根号の中は 0 以上、分母は 0 でないという 2 つの条件が重なり、x + 2 > 0 という強い不等式になる。

2/(x² − 12x + 35) の定義域は x = 5, 7 を除く実数全体

定義域は 5 と 7 を除く実数全体で、3 つの区間に分かれる。分母を (x − 5)(x − 7) と因数分解すれば、0 になる 2 つの値がそのまま見える。

(2x+1)/(x⁴ − 5x² + 4) の定義域：x = ±1, ±2 を除く

定義域からは x = ±1 と ±2 が除かれ、5 つの開区間になる。4 次の分母は u = x² と置けば (x²−1)(x²−4) に因数分解できる。

f(x) = 6/(x−15) + 6/(x+12) の定義域は 3 つの区間

定義域は (−∞, −12) ∪ (−12, 15) ∪ (15, ∞)。分母がそれぞれ 1 つずつ除外値を生み、数直線が 3 つの開区間に分かれる。

f(x) = 1/(8/(x−5) − 2) の定義域を区間で表す

f(x) = 1/(8/(x − 5) − 2) の定義域は (−∞, 5) ∪ (5, 9) ∪ (9, ∞)。繁分数には内側と外側の 2 つの分母があり、除外すべき値も 2 つ隠れている。

(2x + 9)/(x³ + 3x² − x − 3) の定義域：組分けで分母を因数分解

定義域からは −3、−1、1 が除かれる。項を組に分けると 3 次式は (x + 3)(x − 1)(x + 1) となり、数直線は 4 つの開区間に分かれる。

f と g がともに多項式のとき f − g の定義域は実数全体

定義域は (−∞, ∞)。f(x) = 2 − x² も g(x) = x² + 4x − 60 もすべての実数で定義される多項式なので、その差もまた同じである。

√(x − 4) + √(x + 15) の定義域は [4, ∞)

定義域は [4, ∞)。根号の中はどちらも 0 以上でなければならず、x ≥ 4 と x ≥ −15 の共通部分をとると厳しいほうだけが残る。

f(x) = √(x + 10) の定義域は [−10, ∞)

定義域は [−10, ∞)。平方根は根号の中が 0 以上である必要があるので x + 10 ≥ 0 から x ≥ −10 となり、√0 = 0 なので −10 自身も含まれる。

f(x) = x² − 2x + 9 の定義域は実数全体 (−∞, ∞)

定義域は (−∞, ∞)。多項式には分母も偶数乗根も対数もないので、どんな実数を入れてもよい。判別式が制限するのは値域のほうである。

f(x) = √(4x − 12) の定義域は [3, ∞)

定義域は [3, ∞)。根号の中は 0 以上でなければならないので 4x − 12 ≥ 0 から x ≥ 3 となり、√0 = 0 は定義されるので端点も含まれる。

x / ∛(x² − 36) の定義域：3 乗根は負の数も受け入れる

定義域は (−∞, −6) ∪ (−6, 6) ∪ (6, ∞)。3 乗根はすべての実数で定義されるので、除かれるのは分母が 0 になる根号の中の零点だけである。

−1 < x² − x − 1 < 1 を 2 つに分けて解くと (−1, 0) ∪ (1, 2)

解は (−1, 0) ∪ (1, 2)。2 つの 2 次不等式に分け、それぞれを符号表で解いて共通部分をとる。厳しい下限が [0, 1] に穴を開ける。

a − 2b + 4c = 0 で重解を持つなら a = b

正しい結論は a = b。b² = 4ac と 2b = a + 4c を組み合わせると (a − 4c)² = 0 となり a = 4c、これを戻すと b = 4c も出る。

(5x + 7)² = (5x − 6)² を場合分けで解くと x = −0.1

解は x = −0.1 のみ。平方が等しいので 5x + 7 = ±(5x − 6) となり、プラスの場合は 7 = −6 で不成立、マイナスの場合から 10x = −1 が出る。

(10, −5) と (1, −8) を通る直線は y = x/3 − 25/3

直線は y = x/3 − 25/3。傾きは負どうしの割り算なので正の 1/3 になり、分数の切片は四捨五入せず分数のまま残す。

(−6, 1) と (−3, 7) を通る直線は y = 2x + 13

直線は y = 2x + 13。負の x 座標を引くので分母は 3 になり、傾き 2 が急なため切片は与えられた 2 点よりずっと上にくる。

(x+1)² + (x−1)² = (x+1)² + (1−x)² は恒等式で解はすべての実数

すべての実数が解になる。1 − x と x − 1 は符号違いなので平方が等しく、両辺は文字どおり同じ式である。

x² の項が消える分数方程式：解は x = 11

解は x = 11。両辺を展開すると x² の項がどちらも 1/2 x² になって消え、あとには x の 1 次方程式だけが残る。

(7/20)x + (x−2)/15 + x²/12 = (x+3)²/12 − (2x+3)/20 の解は x = 44

解は x = 44。(x + 3)² を展開すると x²/12 の項が両辺に現れて消え、12 分母と 20 分母の 1 次方程式だけが残る。

x = 6 のとき 2 + 8(x − 2)³ の値は 514

値は 514。かっこの中を先に計算して 4、3 乗して 64、8 倍して 512、最後に外側の 2 を足す。

8x³ + 12x³ + 6x + 1 をまとめて x = 1/2 を代入すると 13/2

値は 13/2。先に 2 つの 3 乗の項をまとめると 20x³ + 6x + 1 になるので、1/2 の 3 乗を 1 回計算するだけで済む。

x = 1 のとき (2x + 3)² − (2x − 1)² − 6x の値は 18

値は 18。平方の差を使うと最初の 2 項が (4x + 2)(4) = 16x + 8 となり、式全体は 10x + 8、x = 1 で 18 になる。

(2x+5)² − 4(x+3)(x−3) を整理してから x = 1/20 を代入すると 62

値は 62。先に展開すると式は 20x + 61 に縮むので、扱いにくい分数 x = 1/20 を 2 乗する必要がまったくない。

8x³ + 12x³ + 6x + 1 の x = 1/2 での値は 13/2

8x³ と 12x³ をまとめると 20x³ + 6x + 1 になり、x = 1/2 では 5/2 + 3 + 1 = 13/2。よく似た 8x³ + 12x² + 6x + 1 = (2x + 1)³ なら 8 になる。

3x − 2y = 20 のとき 9x² − 12xy + 4y² = (3x − 2y)² = 400

値は 400。9x² も 4y² も平方であり、12xy はその平方根どうしの積のちょうど 2 倍なので、式は (3x − 2y)² = 20² にまとまる。

x : y = 2 : 3 のとき (3x²−2xy+5y²)/(5x²−3xy+3y²) = 45/29

x = 2k、y = 3k と置く。すべての項が 2 次なので k² が約分され、分子は 45k²、分母は 29k² となって 45/29 が残る。

x = 90.1 のとき −28.9 ln(x) + 64.449 は約 −65.63

値は約 −65.63。ln(90.1) = 4.500920 を 6 桁まで保つこと。4.5017 のような粗い値を使うと答えが −65.65 にずれ、約 0.02 の誤差が出る。

3 つに分かれた区分関数の x = 4 での値は f(4) = 9

答えは f(4) = 9。まず x = 4 がどの条件を満たすかを見る。3 ≤ x ≤ 10 に入るので真ん中の式 x² − 7 を使い、16 − 7 = 9 となる。

区分関数 g の x = −1, 7, 0, −2 での値：g(−2) は定義されない

g(−1) = −6、g(7) = 38、g(0) = −4 であり、g(−2) は定義されない。1 つ目の式の条件 −2 < x は等号を含まない不等式なので、端の −2 自身は除かれる。

m = 3、n = 2 のとき m − m²n/(3n) は n が約分されて 0

値は 0。m = 3、n = 2 を代入すると 3 − 18/6 = 3 − 3 になり、先に n を約分すれば式は実は m − m²/3 で、m = 3 で 0 になる。

i = 2 から 5 までの (i² − 1) の和は 50

答えは 50。シグマを 3 + 8 + 15 + 24 と書き下すか、平方の和の公式から項数を引くか、どちらでも 50 になる。

x = 8、y = 4 のとき x² − 5(x − y) の値は 44

値は 44。まず代入し、かっこと累乗を掛け算より先に片づけ、最後に引く。64 − 5(4) = 64 − 20 = 44 となる。

x = 7 のとき x² − 6x + 3 の値は 10

値は 10。x = 7 を代入すると 49 − 42 + 3 になる。掛け算より先に 2 乗し、6x はひとまとまりの引き算として扱い、最後は左から順に計算する。

x − 4y = 5 のとき x² − 8xy + 16y² = (x − 4y)² = 25

値は 25。この式は完全平方 (x − 4y)² なので、与えられた関係式をまるごと代入できる。x と y を別々に求める必要はない。

x = 2、y = x × x のとき y = 4

答えは y = 4。代入がすべてである。2 つ目の式の x を値に置き換えると 2 × 2 になり、2 + 2 ではなく 4 になる。

z = 2 + i、u = 3 − 2i のとき z² − 3u³ + 2v = 29 + (142 − √3)i

値は 29 + (142 − √3)i。3 − 2i を 3 乗すると −9 − 46i となり、係数 −3 で 27 + 138i に変わって実部・虚部の合計を支配する。

任意の m×n 行列 A に ABA = A となる n×m 行列 B が存在する証明

階数標準形 PAQ = D（D は r 次単位行列のブロック）を使う。D⁻ を n×m のブロック単位行列として B = QD⁻P とおけば、どんな A でも ABA = A が成り立つ。

(1 − 2x)(5 − 3x) + (4 − x)² を展開すると 7x² − 21x + 21

答えは 7x² − 21x + 21。積は分配法則で、平方は (a − b)² の公式で展開し、2 つの結果を項ごとに足し合わせる。

(1 + x + x² + x³)² − x³ の展開は x⁶ + 2x⁵ + 3x⁴ + 3x³ + 3x² + 2x + 1

結果は x⁶ + 2x⁵ + 3x⁴ + 3x³ + 3x² + 2x + 1。2 乗すると係数が 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 と左右対称に並び、x³ を引くと真ん中の 4 が 3 に下がる。

(10x³+3x+8)(4x³−8x−9) を項ごとに分配して展開する

積は 40x⁶ − 68x⁴ − 58x³ − 24x² − 91x − 72。左の 3 項をそれぞれ右の 3 項に配り、出てきた 9 個の積を次数ごとにまとめる。

(2x − √2x − 1)(2x + √2x − 1) は和と差の積で 4x² − 6x + 1

積は 4x² − 6x + 1 に簡単になる。(2x − 1) を 1 つのかたまり、√(2x) をもう一方とみると、積は (2x − 1)² − 2x になる。

(4x² − 3)² を 2 乗の公式で展開すると 16x⁴ − 24x² + 9

(4x² − 3)² は 16x⁴ − 24x² + 9 になる。項を 1 組ずつ掛けるのではなく、a = 4x²、b = 3 として (a − b)² = a² − 2ab + b² を使う。

5(x−3)(x²+4x+1) = 5x³+5x²−55x−15（選択肢はどれも合わない）

展開すると 5x³ + 5x² − 55x − 15。まず 2 つのかっこを掛けて x³ + x² − 11x − 3 を出し、そのあと 5 を配る。よくある誤答はこの最後の一手を忘れている。

(515 − 0.27x) × 98² を展開すると 4946060 − 2593.08x

(515 − 0.27x) × 98² = 4946060 − 2593.08x。先に 98 を 2 乗して 9604 を出し、そのあと分配する。515 × 9604 = 4946060、0.27 × 9604 = 2593.08 が x の係数になる。

(5x² + 6x)(9x² − 8) を展開すると 45x⁴ + 54x³ − 40x² − 48x

積は 45x⁴ + 54x³ − 40x² − 48x。左の 2 項が右の 2 項それぞれに掛かり、4 つの次数がすべて違うので同類項は 1 つも出ない。

(x²y + 5y² − 5 − 2y³ − 2x + 6y − 5y⁴) × 5y² の展開

展開すると 5x²y³ − 10xy² − 25y⁶ − 10y⁵ + 25y⁴ + 30y³ − 25y²。x を含まない項では y の指数だけが 2 ずつ上がる。

(7x + 7)(x² + 4x − 7) を展開すると 7x³ + 35x² − 21x − 49

積は 7x³ + 35x² − 21x − 49。7x と 7 を順に 3 項式へ配り、2 つの x² の項と 2 つの x の項をそれぞれまとめる。

(7x²+7x−5)(5x²−4x+2) を展開すると 35x⁴+7x³−39x²+34x−10

積は 35x⁴ + 7x³ − 39x² + 34x − 10。左の 3 項をそれぞれ 3 項式に配り、同じ次数の項をまとめる。

(98 − 0.18x) × 270² を展開すると 7144200 − 13122x

(98 − 0.18x) × 270² = 7144200 − 13122x。270 を 2 乗すると 72900 になり、98 × 72900 = 7144200、0.18 × 72900 = 13122 で x の係数は整数になる。

(8 − 6xy − x²y² − 6x³ − 5y³ − 7y + 4x) × 8xy の展開

展開すると −48x⁴y − 8x³y³ − 48x²y² + 32x²y − 40xy⁴ − 56xy² + 64xy。7 項それぞれに 8xy を掛け、x と y の指数を別々に足す。

((a₁(x−y)+b₁)(x−y)+(a₂y+b₂)y)/x を展開して整理する

分子は a₁x² − 2a₁xy + (a₁+a₂)y² + b₁x + (b₂−b₁)y に展開される。入れ子の形はホーナー法の書き方なので、かっこを 1 層ずつほどくのが安全である。

(515−0.27x)(368−0.27x)(98−0.18x) を 2 つずつ展開する

3 次式は −0.013122x³ + 50.058x² − 57477.78x + 18572960。まず 2 つの 2 項式を掛け、次に 3 つ目を配りながら、小数の係数を 1 つずつ追う。

(1 + √2)(√2 − 4) を展開して簡単にすると −2 − 3√2

結果は −2 − 3√2。√2 × √2 は 2 になり、残った 2 つの根号の項がまとまって −3√2 の 1 項になる。

√6 × (2 − √7) を展開して簡単にすると 2√6 − √42

結果は 2√6 − √42。根号を配ってから 2 つの根号を 1 つにまとめる。√6 × √7 = √42 であり、42 には平方因数がない。

(m − 2)² を差の平方の公式で展開すると m² − 4m + 4

答えは m² − 4m + 4。真ん中の項は m と 2 の積の 2 倍で符号は負、最後の項は平方なので正になる。

−6(7 − 3x³) + 2x(x² − 3) を展開すると 20x³ − 6x − 42

降べきの順に整理すると 20x³ − 6x − 42。それぞれの積を分配し、−6 × (−3x³) の符号に注意して、2 つの 3 次の項をまとめる。

(1/3)(x − 2)² − 3 を展開すると x²/3 − 4x/3 − 5/3

降べきの順では x²/3 − 4x/3 − 5/3。先にかっこを 2 乗し、1/3 を配ってから、3 を 9/3 と書いて 4/3 と合わせ −5/3 にする。

(1/3)(x − 5)(x + 1) を展開すると x²/3 − 4x/3 − 5/3

答えは x²/3 − 4x/3 − 5/3。先にかっこどうしを掛けて x² − 4x − 5 を出し、そのあと 1/3 を先頭だけでなく 3 項すべてに配る。

(p − 1)(q − 1) + 1 を展開すると pq − p − q + 2

答えは pq − p − q + 2。展開すると pq − p − q + 1 になり、かっこの外の 1 は打ち消し合わずに定数項を 2 に押し上げる。

(√2 + √3 + √5)² = 10 + 2√6 + 2√10 + 2√15

(a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) を使う。平方の部分は 2+3+5 = 10、交差項は 2√6 + 2√10 + 2√15 になる。

(x − 2/√x)⁴ を二項定理で展開する

答えは x⁴ − 8x^(5/2) + 24x − 32/√x + 16/x²。分数の指数のため、各項の次数は 1 ずつではなく 3/2 ずつ下がる。ここが落とし穴である。

(x + 1)⁴ − (x + 3)⁴ − 272 は −8x³ − 48x² − 104x − 352

結果は −8x³ − 48x² − 104x − 352、すなわち −8(x³ + 6x² + 13x + 44)。同じ偶数乗どうしなので 4 次の項が消える。

(x + 2)(x − 3) を展開すると x² − x − 6

積は x² − x − 6。外側と内側の項 −3x と +2x がまとまって −x になり、符号が違うので定数どうしの積は −6 になる。

(x + 2)(x + 5) を展開すると x² + 7x + 10

積は x² + 7x + 10。展開すると x²、5x、2x、10 が出て、2 と 5 の和が 7、積が 10 なので真ん中は 7x になる。

(x²+8x+16)(x²−4x+4) の展開＝x⁴+4x³−12x²−32x+64

答えは x⁴+4x³−12x²−32x+64。どちらの因数も完全平方式なので、積は (x²+2x−8)² にまとまり、2 乗の計算を 1 回するだけで済む。

9^(x−1/2) − 4/3^(1−x) = −1 の解は x = 0 と x = 1

答えは x = 0 と x = 1。9 を 3 の 2 乗に直し、分数を負の指数で分子側へ移してから t = 3^(x−1) と置くと、3t² − 4t + 1 = 0 という 2 次方程式になる。

1/(2^x+21) ≤ 3/(2^(x+2)−1) の解は −2 < x ≤ 6

答えは −2 < x ≤ 6。t = 2^x と置き、両辺を 1 つの分母にまとめて符号表を読み、最後に t の範囲を x の範囲に戻す。

(2/5)^x < √((4/25)^((3x+2)/x)) の解き方

解は ((3−√17)/2, 0) ∪ ((3+√17)/2, ∞)。まず底をそろえ、底が 2/5 < 1 なので不等号の向きを変え、(x²−3x−2)/x の符号表で仕上げる。

(10^x − 25·2^x − 2·5^x + 50)/(5x − x² − 4) ≥ 0 の解は 2 ≤ x < 4

答えは 2 ≤ x < 4。分子を組分けして (2^x − 2)(5^x − 25) に因数分解し、分母の 2 次式も因数分解してから 4 つの区間の符号表を読む。

14^x を組分けする指数不等式：解は 0 < x ≤ log₇2 と log₂7 ≤ x < 4

答えは 0 < x ≤ log₇2 と log₂7 ≤ x < 4。14^x = 2^x·7^x として (7^x − 2)(2^x − 7) に組分けし、分母 −x² + 4x を因数分解して符号表を読む。

2^x/(2^x−3) + (2^x+1)/(2^x−2) + 5/(4^x−5·2^x+6) ≤ 0 の解は x = 0 と 1 < x < log₂3

答えは x = 0 と 1 < x < log₂3。t = 2^x と置くと 3 つの分数が 2(t−1)²/((t−2)(t−3)) にまとまり、2 次式の上に完全平方式が乗った形になる。

12(x + 1) = 7(y − 1) を x について解く：x = (7y − 19)/12

展開すると 12x + 12 = 7y − 7 なので x = (7y − 19)/12。x = 2 を代入すると 36 = 7y − 7 となり、y = 43/7 が得られる。

(1/16)x⁶ + x³ + 4 の因数分解＝(1/16)(x³ + 8)²

答えは (1/16)(x³ + 8)²。u = x³ と置くと完全平方式の 2 次式になり、x³ + 8 はさらに (x + 2)(x² − 2x + 4) に分かれる。

10x² − 3x − 4 の因数分解＝(2x + 1)(5x − 4)

答えは (2x + 1)(5x − 4)。10 × (−4) = −40 と 5 + (−8) = −3 から −3x を 5x − 8x に分け、組分けで共通の 2x + 1 をくくり出す。

125x³ − 64 の因数分解＝(5x − 4)(25x² + 20x + 16)

答えは (5x − 4)(25x² + 20x + 16)。125x³ を (5x)³、64 を 4³ と見て、a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) を当てはめる。

12x + 18 を因数分解：答えは 6(2x + 3)

答えは 6(2x + 3)。12 と 18 の最大公約数は 2 でも 3 でもなく 6 であり、両方の項を 6 で割ると残る括弧 2x + 3 にはもう共通因数がない。

12x² − 176x + 480 の因数分解：整数では 4(3x² − 44x + 120) が限界

最大公約数 4 をくくり出すと 3x² − 44x + 120 が残るが、判別式 496 は平方数ではない。よって解は 6 と 20/3 ではなく (22 ± 2√31)/3 である。

18abc² − 12a²b²c を因数分解：6abc(3c − 2ab)

18abc² − 12a²b²c = 6abc(3c − 2ab)。最大公約数は gcd(18, 12) = 6 と、両方の項に現れる文字 a, b, c それぞれの最も低い次数を組み合わせたものである。

21x³ − 49x² − 18x + 42 を組分けで因数分解：(3x − 7)(7x² − 6)

答えは (3x − 7)(7x² − 6)。有理数解が 7/3 だけなので有理根定理では見落としやすいが、項を 2 つずつ組にすれば一瞬で因数分解できる。

2x³ − x² − 5x − 2 の因数分解：(x − 2)(2x + 1)(x + 1)

答えは (x − 2)(2x + 1)(x + 1)。組分けは通用しないので、有理根定理で x = 2 を見つけ、組立除法で 2x² + 3x + 1 が残る。

2x − 9xy を因数分解：共通因数 x をくくり出して x(2 − 9y)

答えは x(2 − 9y)。2 と 9 に共通因数はなく、y は第 2 項にしか現れないので、両方の項が共有するのは x だけである。

2x² − 10x − 12 の因数分解：先に 2 をくくり出して 2(x − 6)(x + 1)

答えは 2(x − 6)(x + 1)。係数がすべて偶数なので 2 をくくり出すと x² − 5x − 6 が残り、−6 と 1 の組で因数分解できる。

2x² − 3x − 2 を AC 法と組分けで因数分解：(x − 2)(2x + 1)

答えは (x − 2)(2x + 1)。2 と −2 を掛けて −4 を作り、−3x を −4x + x に分けて 4 項を組にし、共通の 1 次式をくくり出す。

2x² − 3x − 20 の因数分解：AC の積 −40 から (2x + 5)(x − 4)

答えは (2x + 5)(x − 4)。AC の積は −40 で、和が −3 になる組は 5 と −8。これで中央の項を分ければ、そのまま組分けに持ち込める。

2x² − 4x + 1 は因数分解できるか：判別式 8 と無理数の因数

整数の範囲では不可、実数の範囲では可能で 2x² − 4x + 1 = (√2(x − 1) − 1)(√2(x − 1) + 1)。判別式 8 は正だが平方数ではない。

2x² − x − 6xy + 3y を組分けで因数分解：(2x − 1)(x − 3y)

答えは (2x − 1)(x − 3y)。前の 2 項を x(2x − 1)、後ろの 2 項を −3y(2x − 1) とすると、共通の括弧が現れてくくり出せる。

2x² + 4x を因数分解：最大公約数 2x をくくり出して 2x(x + 2)

答えは 2x(x + 2)。最大公約数は数の部分 2 と文字の部分 x を合わせたものなので、両方をまとめてくくり出すと x + 2 が残る。

32x²y² − 24x を因数分解：最大公約数 8x をくくり出す

答えは 8x(4xy² − 3)。32 と 24 の数の最大公約数は 8 で、第 2 項に y がないため共有される文字は x の 1 乗だけである。

3x³ + 7x² − 4 を 3 つの 1 次式に因数分解：(x + 1)(x + 2)(3x − 2)

答えは (x + 1)(x + 2)(3x − 2)。x = −1 で値が 0 になり、残る商 3x² + 4x − 4 は 6 と −2 の組を使う AC 法で分解できる。

3x² − 14xy + 15y² + 13x − 23y + 4 の因数分解：(3x − 5y + 1)(x − 3y + 4)

答えは (3x − 5y + 1)(x − 3y + 4)。2 次の部分を (3x − 5y)(x − 3y) と分解し、x と y の係数が 13 と −23 になるように定数 2 つを決める。

3x⁴ + 24x³ + 82x² + 136x + 63 = 0 を解く：(−6 ± √15)/3 と −2 ± i√5

(3x² + 12x + 7)(x² + 4x + 9) と分解でき、実数解は (−6 ± √15)/3、複素数解は −2 ± i√5。推測した因数分解は必ず展開して確かめること。

4AB² − 4A²B − B³ を因数分解：−B(2A − B)²

答えは −B(2A − B)²。B をくくり出すと括弧は完全平方式の符号を変えたものになるので、マイナス符号も一緒にくくり出す必要がある。

4m² − 4m − 5 は整数では因数分解できない：解は (1 ± √6)/2

因数分解は 4(m − (1 + √6)/2)(m − (1 − √6)/2)。AC の積 −20 には和が −4 になる組がないので、解は解の公式から求める。

4m²n − 8mn² − 2mn を因数分解：2mn(2m − 4n − 1)

答えは 2mn(2m − 4n − 1)。最後の項は最大公約数そのものなので、消えてしまうのではなく括弧の中に −1 を残す。

4x² − 9 を平方の差として因数分解：(2x − 3)(2x + 3)

答えは (2x − 3)(2x + 3)。4x² は (2x)²、9 は 3² でどちらも平方数なので、4x² − 9 = 0 の解は x = 3/2 と −3/2 になる。

4x² + 4xy + y² − 4x − 2y − 3 の因数分解：(2x + y − 3)(2x + y + 1)

答えは (2x + y − 3)(2x + y + 1)。最初の 3 項は (2x + y)²、次の 2 項は −2(2x + y) なので、全体は u = 2x + y の 2 次式になる。

4x²y + 12xy + 9y を因数分解：y(2x + 3)²

答えは y(2x + 3)²。まず共通因数 y をくくり出すと、12x が 2 × 2x × 3 に等しいので残りは完全平方式になる。

5x⁴ − 80 を実数の範囲で完全に因数分解：5(x − 2)(x + 2)(x² + 4)

5x⁴ − 80 = 5(x − 2)(x + 2)(x² + 4)。5 をくくり出して平方の差を 2 回使い、平方の和 x² + 4 が残ったところで止める。

6x² − 7ax + 2a² − 6x + 5a − 12 の因数分解：(3x − 2a + 3)(2x − a − 4)

答えは (3x − 2a + 3)(2x − a − 4)。6x² − 7ax + 2a² を (3x − 2a)(2x − a) と分解し、pq = −12 かつ −6x と +5a を生む定数 p, q を決める。

6x(x − y)² + 3(y − x)(y − x)² を因数分解：3(x − y)²(x + y)

答えは 3(x − y)²(x + y)。第 2 項を 3(y − x)³ にまとめ、(y − x)³ = −(x − y)³ で向きを揃えてから 3(x − y)² をくくり出す。

75a⁶ − 147b¹⁶ の因数分解：3(5a³ − 7b⁸)(5a³ + 7b⁸)

答えは 3(5a³ − 7b⁸)(5a³ + 7b⁸)。先に最大公約数 3 をくくり出すと 25a⁶ と 49b¹⁶ が (5a³)² と (7b⁸)² になり、平方の差が使える。

7x² − 7x − 140 は先に 7 をくくり出す：7(x − 5)(x + 4)

7x² − 7x − 140 = 7(x − 5)(x + 4)。まず共通因数 7 を外し、残った三項式 x² − x − 20 を 2 つの 1 次式に分解する。

81x² − 121y² を平方の差として因数分解：(9x − 11y)(9x + 11y)

81x² − 121y² = (9x − 11y)(9x + 11y)。2 つの項を (9x)² と (11y)² と書き直し、公式 a² − b² = (a − b)(a + b) をそのまま当てはめる。

9x³ − 9x を完全に因数分解：9x(x − 1)(x + 1)

完全な因数分解は 9x(x − 1)(x + 1)。最大公約数は 9 だけではなく 9x であり、残った x² − 1 は平方の差になる。

9x² + 6x + 1 を 3x + 1 の平方として因数分解：(3x + 1)²

答えは (3x + 1)²。両端の項がどちらも平方で、中央の項 6x が 3x と 1 の積のちょうど 2 倍になっていることが決め手になる。

巡回型の 2 次形式を因数分解：(a² + ab + b²)(x² + xy + y²)

式は (a² + ab + b²)(x² + xy + y²) にまとまる。A²、AB、B² を展開して x²、xy、y² の項を集めると、同じ因数 a² + ab + b² が 3 回現れる。

(b − c)(b + c)⁴ の巡回和を因数分解：−(a − b)(b − c)(c − a) と 2 次式の積

巡回和は −(a − b)(b − c)(c − a)[3(a² + b² + c²) + 5(ab + bc + ca)] と分解できる。展開した 5 次の形よりずっと見通しのよい結果である。

指数に文字を含む 2 つの積の差を因数分解：(a − b)(a + x)^m (b + x)^(n − 1)

答えは (a − b)(a + x)^m (b + x)^(n − 1)。各底の低いほうの指数をくくり出し、括弧の中で引き算すると x が消えて a − b だけが残る。

a⁴ + 4b⁴ の因数分解：(a² − 2ab + 2b²)(a² + 2ab + 2b²)

答えは (a² − 2ab + 2b²)(a² + 2ab + 2b²)。4a²b² を足して引くと完全平方式ができ、平方の和が平方の差に変わる。

a⁴ + a³ + a² + a + 1：有理数では既約、実数では 2 次式 2 つの積

この式は (a⁵ − 1)/(a − 1) に等しく、有理数の範囲では既約。しかし実数の範囲では、黄金比を係数にもつ 2 つの 2 次式に分かれる。

(1/2)x⁴y² + (1/3)x³y³ + (1/4)x²y⁴ を 1/12 をくくり出して因数分解

答えは (1/12)x²y²(6x² + 4xy + 3y²)。分数の最大公約数は 2, 3, 4 の最小公倍数の逆数で、これで 3 つの分母が一度に払える。

(a + b)²(ab − 1) + 1 の因数分解：(a² + ab − 1)(ab + b² − 1)

答えは (a² + ab − 1)(ab + b² − 1)。まず展開し、ab + b² − 1 で割り切れることに気づくと、対称な組 (a(a + b) − 1)(b(a + b) − 1) が得られる。

(x−1)(x−2)(x+3)(x+6) − 5x² の因数分解：(x² + 6x − 6)(x² − 6)

答えは (x² + 6x − 6)(x² − 6)。定数項が両方 −6 になるように括弧を組にし、y = x² + x − 6 と置き換えると簡単な y の 2 次式になる。

(y′)² − 4x²y′ + 4x⁴ − x² の因数分解：(y′ − 2x² − x)(y′ − 2x² + x)

答えは (y′ − 2x² − x)(y′ − 2x² + x)。最初の 3 項を (y′ − 2x²)² にまとめると、式全体が 2 つの平方の差になる。

8x⁴ − 6x³ + 30x² − 18x + 18 = 0 を解く：実数解はなく 4 つとも虚数

2(4x² − 3x + 3)(x² + 3) と分解でき、解は (3 ± i√39)/8 と ±i√3。どちらの 2 次式も判別式が負なので、実数解は存在しない。

3x⁵ + 9x⁴ + 4x³ − 9x² − 15x − 10 の因数分解：(x+2)(3x²−5)(x²+x+1)

答えは (x + 2)(3x² − 5)(x² + x + 1)。解 x = −2 を見つけて組立除法で割り、残る 4 次式 3x⁴ + 3x³ − 2x² − 5x − 5 を 2 つの 2 次式に分ける。

a⁶ + b⁶ を立方の和とみて因数分解：(a² + b²)(a⁴ − a²b² + b⁴)

答えは (a² + b²)(a⁴ − a²b² + b⁴)。指数 6 は偶数だが、a⁶ を (a²)³ と書き直せば立方の和の公式が使える。

a² − 4x² + 12x − 9 を組分けで因数分解：(a − 2x + 3)(a + 2x − 3)

答えは (a − 2x + 3)(a + 2x − 3)。x を含む 3 項をまとめると完全平方式が現れ、式全体が平方の差になる。

a² + 4a + 4 を因数分解：答えは (a + 2)²

答えは (a + 2)²。定数項 4 は 2 の平方で、中央の項 4a は 2 × a × 2 に等しいので、和の平方の型がぴたりと当てはまる。

a² + b² を複素数の範囲で因数分解：(a + bi)(a − bi)

平方の和は実数の範囲では因数分解できないが、複素数の範囲では (a + bi)(a − bi) になる。交差項が消え、i² が −1 になるからである。

(x²−6x+1)(x²+x+1) + 12x² の因数分解：(x − 1)²(x² − 3x + 1)

答えは (x − 1)²(x² − 3x + 1)。展開すると係数が回文になる 4 次式 x⁴ − 5x³ + 8x² − 5x + 1 になり、a = −2, b = −3 として (x² + ax + 1)(x² + bx + 1) に分かれる。

x² − 3x + 2 を因数分解して解く：解は x = 1 と x = 2

因数分解は (x − 1)(x − 2)、解は x = 1 と x = 2。定数項が正で中央の係数が負なら、2 つの因数はどちらも負の数になる。

x² − 4x + 3 = 0 を和と積から因数分解して解く：x = 1 と x = 3

解は x = 1 と x = 3。掛けて +3、足して −4 になる 2 数から (x − 1)(x − 3) を作り、各因数に積が 0 になる条件を使う。

6 項の式を組分けで因数分解：(x + y)(4x²y² + a² + 12)

答えは (x + y)(4x²y² + a² + 12)。6 つの項を 2 つずつ 3 組にすると、どの組にも x + y が隠れており、それを前にくくり出せる。

f² − 16g² + 24gh − 9h² を組み替えて因数分解：(f − 4g + 3h)(f + 4g − 3h)

答えは (f − 4g + 3h)(f + 4g − 3h)。後ろの 3 項はちょうど −(4g − 3h)² なので、式は平方の差 f² − (4g − 3h)² になる。

−x⁴y + 6x³y − 5x²y の因数分解：−x²y(x − 1)(x − 5)

完全な因数分解は −x²y(x − 1)(x − 5)。まず共通因数 x²y をくくり出し、−x² + 6x − 5 の先頭のマイナスを外してから分解する。

−3x⁶ + 12x¹² を最後まで因数分解：3x⁶(2x³ − 1)(2x³ + 1)

完全な因数分解は 3x⁶(2x³ − 1)(2x³ + 1)。3x⁶ をくくり出すと 4x⁶ − 1 が残るが、これはまだ平方の差なのでもう一度分解する。

(9/16)c² − 1 を平方の差として因数分解：(3c/4 − 1)(3c/4 + 1)

答えは (3c/4 − 1)(3c/4 + 1)。9 も 16 も平方数なので分数 9/16 は平方であり、その平方根は分数 3/4 になる。

1/49 − c¹⁰n⁶ を平方の差として因数分解：(1/7 − c⁵n³)(1/7 + c⁵n³)

答えは (1/7 − c⁵n³)(1/7 + c⁵n³)。1/49 は (1/7)²、c¹⁰n⁶ は指数を半分にして (c⁵n³)² なので、どちらも平方である。

3 乗の和・差の因数分解｜27x^3+y^3、x^3+512

27x^3+y^3=(3x+y)(9x^2-3xy+y^2)、x^3-8y^3=(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)、x^3+512=(x+8)(x^2-8x+64)。2 つの立方数を見抜いて因数を書く手順を解説する。

x³ − 7x + 6 を有理根定理で因数分解：(x − 1)(x − 2)(x + 3)

答えは (x − 1)(x − 2)(x + 3)。6 の約数を試して解 x = 1 を見つけ、x − 1 で割り、残った 2 次式 x² + x − 6 を分解する。

x³ + 3x² − 4 を有理数解を使って因数分解：(x − 1)(x + 2)²

答えは (x − 1)(x + 2)²。x = 1 で値が 0 になり、組立除法で x² + 4x + 4 が残る。この商は完全平方式である。

x³ + 3x² − 4x − 12 を組分けで因数分解：(x + 3)(x − 2)(x + 2)

答えは (x + 3)(x − 2)(x + 2)。2 項ずつ組にすると共通因数 x + 3 が現れ、残る x² − 4 は平方の差になる。

x³ + 3x² + 7x + 5 を x = −1 を解として因数分解：(x + 1)(x² + 2x + 5)

答えは (x + 1)(x² + 2x + 5)。有理数の候補のうち通用するのは x = −1 だけで、残る 2 次式の判別式は −16 なのでここで止まる。

x³ + 4x² − 5 の因数分解：有理数の範囲では (x − 1)(x² + 5x + 5)

有理数の範囲では (x − 1)(x² + 5x + 5)。2 次因数の判別式は 5 なので、(−5 ± √5)/2 を使ってさらに分解できるのは実数の範囲だけである。

x³ + x² − 4x − 4 を組分けで因数分解：(x + 1)(x − 2)(x + 2)

答えは (x + 1)(x − 2)(x + 2)。2 項ずつ組にすると共通因数 x + 1 が現れ、残った x² − 4 は平方の差になる。

x³ + x² − x − 1 を因数分解する：答えは (x + 1)²(x − 1)

完全な因数分解は (x + 1)²(x − 1)。2 項ずつ組むと (x + 1)(x² − 1) になり、後ろの因数がさらに平方の差なので必ず分解し切る。

x⁵+x⁴+x³+x²+x+1 の因数分解：(x+1)(x²+x+1)(x²−x+1)

答えは (x + 1)(x² + x + 1)(x² − x + 1)。この和は等比数列の和 (x⁶ − 1)/(x − 1) なので、x⁶ − 1 を分解して x − 1 を約分すれば終わる。

x⁵ + y⁵ を因数分解する：(x + y)(x⁴ − x³y + x²y² − xy³ + y⁴)

答えは (x + y)(x⁴ − x³y + x²y² − xy³ + y⁴)。べきの和が因数分解できるのは指数が奇数のときだけで、長いほうの因数は符号が交互に入れ替わる。

x⁴+2x³+3x²+2x+1 の因数分解：完全平方 (x²+x+1)²

この 4 次式は (x² + x + 1)²。係数 1, 2, 3, 2, 1 という回文は 1, 1, 1 の 2 乗であり、x² + x + 1 は常に正なので実数解はない。

x⁴ + 2x³y + 3x²y² + 2xy³ + y⁴ の因数分解：(x² + xy + y²)²

因数分解は (x² + xy + y²)²。係数 1, 2, 3, 2, 1 の回文は、2 項式ではなく 3 項式を 2 乗したことの目印である。

x⁴ + x³ + 2x² − x + 3 の因数分解：(x² + 2x + 3)(x² − x + 1)

答えは (x² + 2x + 3)(x² − x + 1)。有理数解を持たないので、(x² + ax + b)(x² + cx + d) と置き bd = 3 から係数比較で決める。

x⁴ + x² − 2ax + 1 − a² の因数分解：(x² − x + 1 − a)(x² + x + 1 + a)

答えは (x² − x + 1 − a)(x² + x + 1 + a)。(x² + 1)² を作り出すと、式全体が (x² + 1)² − (x + a)² というただの平方の差になる。

(x+1)⁴ + (x−1)⁴ − 82 の因数分解：2(x−2)(x+2)(x²+10)

答えは 2(x − 2)(x + 2)(x² + 10)。2 つの 4 乗を足すと奇数次の項がすべて消え、2x⁴ + 12x² − 80 という x² の 2 次式に変わる。

(x+1)⁴ + (x+3)⁴ − 82 の因数分解：2x(x+4)(x²+4x+14)

因数分解は 2x(x + 4)(x² + 4x + 14)。中点の y = x + 2 に置き換えると奇数次が消え、y² の 2 次式として分解できる複2次式になる。

(x+6)^(−1/5) − (x+6)^(−6/5) の整理：(x+5)/(x+6)^(6/5)

整理した形は (x + 5)/(x + 6)^(6/5)。負の指数どうしでは小さいほうが −6/5 なので、両方の項からくくり出すのはその冪である。

(x+7)^(1/3) − (x+7)^(4/3) の整理：−(x+6)(x+7)^(1/3)

整理した形は −(x + 6)(x + 7)^(1/3)。指数の小さい (x + 7)^(1/3) をくくり出し、残った 1 − (x + 7) を −x − 6 にまとめればよい。

x² − 100x + 48² の因数分解：48² を先に出して (x − 64)(x − 36)

答えは (x − 64)(x − 36) であって (x − 48)² ではない。まず 48² = 2304 を出し、積が 2304、和がちょうど −100 になる −64 と −36 を見つける。

x² − 2ax + x + a² − a − 2 の因数分解：(x − a − 1)(x − a + 2)

因数分解は (x − a − 1)(x − a + 2)。u = x − a と置くと式は u² + u − 2 に潰れ、そのまま (u − 1)(u + 2) と分解できる。

x² − 2xy + y² − 9 の因数分解：2 手で (x − y − 3)(x − y + 3)

答えは (x − y − 3)(x − y + 3)。はじめの 3 項が (x − y)² にまとまり、残りは 3² との平方の差になる。

x² − 4x を共通因数でくくる：答えは x(x − 4)

答えは x(x − 4)。どちらの項にも x があるので x が最大公約因数で、くくり出すと x − 4 が残り、解は x = 0 と x = 4 になる。

x² − 4x − y² − 6y − 5 を平方の差として因数分解：(x − y − 5)(x + y + 1)

答えは (x − y − 5)(x + y + 1)。x の項と y の項をそれぞれ平方完成すると (x − 2)² − (y + 3)² になり、A² − B² = (A − B)(A + B) が使える。

x² − 7x + 12 を 2 数を見つけて因数分解：(x − 3)(x − 4)

答えは (x − 3)(x − 4)。定数項が正で中央の項が負なら 2 数はどちらも負であり、−3 と −4 が掛けて 12、足して −7 になる。

x² − x + 1 を複素数の範囲で因数分解：解は (1 ± i√3)/2

判別式は −3 なので実数の範囲では因数分解できない。複素数の範囲では (x − (1 + i√3)/2)(x − (1 − i√3)/2) と、共役な解の組に分かれる。

x² + 25 は素か：平方の和が因数分解できない理由

x² + 25 は実数の範囲では素である。平方の和には実数解がないので、x² − 25 とは違って 2 つの実数係数 1 次式の積には分けられない。

x² + (2a+5)x + a² + 5a − 6 の因数分解：(x + a + 6)(x + a − 1)

答えは (x + a + 6)(x + a − 1)。定数項 a² + 5a − 6 を (a + 6)(a − 1) に分解すると、その和がちょうど x の係数 2a + 5 になる。

x² + 2x − 8y − 3xy − 4y² の因数分解：(x − 4y)(x + y + 2)

答えは (x − 4y)(x + y + 2)。まず 2 次の部分を (x − 4y)(x + y) と分解すると、残る 2x − 8y = 2(x − 4y) が同じ括弧を共有する。

x² + 5xy + 6y² − 2x − 7y − 3 の因数分解：(x + 2y − 3)(x + 3y + 1)

答えは (x + 2y − 3)(x + 3y + 1)。2 次の部分 x² + 5xy + 6y² を (x + 2y)(x + 3y) と分解し、−2x と −7y を再現する定数 2 つを決める。

x² + x − 12 を 2 数を見つけて因数分解：(x + 4)(x − 3)

答えは (x + 4)(x − 3)。定数項が負なので 2 数は符号が逆になり、掛けて −12、足して +1 になるのは 4 と −3 だけである。

x² + x − 6 を 2 数を見つけて因数分解：(x + 3)(x − 2)

答えは (x + 3)(x − 2)。定数項が負なので 2 数は符号が逆になり、掛けて −6、足して +1 になるのは 3 と −2 だけである。

x² + x − (a² − a) の因数分解：(x + a)(x − a + 1)

答えは (x + a)(x − a + 1)。2 つの数 a と 1 − a は掛けて a − a²、足して 1 になり、これがまさに因数分解の型に必要な条件である。

x² + x + 1 の因数分解：実数では既約、複素数では 1 の虚立方根で分解

判別式は −3 なので実数の範囲では因数分解できない。複素数まで広げると (x + 1/2 − i√3/2)(x + 1/2 + i√3/2) となり、2 つの解は 1 の虚立方根 ω, ω² である。

(x² + xy + y²)² − 4xy(x² + y²) の因数分解：答えは (x² − xy + y²)²

答えは (x² − xy + y²)²。展開すると対称な 4 次式 x⁴ − 2x³y + 3x²y² − 2xy³ + y⁴ になり、(x² + axy + y²)(x² + bxy + y²) と置いて係数を比べれば完全平方だと分かる。

x²(x − y) + (y − x) の因数分解：答えは (x − y)(x − 1)(x + 1)

答えは (x − y)(x − 1)(x + 1)。y − x = −(x − y) と符号を反転させると 2 つのかっこがそろい、くくり出したあとに残る x² − 1 は 2 乗の差として分解できる。

x²y − 4xy + 4y の因数分解：答えは y(x − 2)²

因数分解の結果は y(x − 2)²。まず共通因数 y をくくり出すと x² − 4x + 4 が残り、これが完全平方式なので、共通因数と公式の 2 段階が必要になる。

x¹⁰⁵ − 1 の因数分解：答えは (x − 1)(x¹⁰⁴ + x¹⁰³ + … + x + 1)

答えは (x − 1)(x¹⁰⁴ + x¹⁰³ + … + x + 1)。n 乗の差は n の偶奇によらずつねに x − 1 を因数に持ち、残りの因数の符号はすべて正になる。

x¹⁰⁵ + 1 の因数分解：答えは (x + 1)(x¹⁰⁴ − x¹⁰³ + … − x + 1)

答えは (x + 1)(x¹⁰⁴ − x¹⁰³ + … − x + 1)。105 が奇数なので x = −1 が解になり、x + 1 が因数として取り出せて、残りの因数は符号が交互に並ぶ。

x⁴ − x² + 1/4 の因数分解：答えは (x² − 1/2)²

因数分解の結果は (x² − 1/2)²。x² を 1 つの文字とみなすと 2 次式になり、1/4 が (1/2)² で中央の項も条件を満たすので完全平方式である。

xⁿ − yⁿ の因数分解：答えは (x − y)(xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²y + … + yⁿ⁻¹)

答えは (x − y)(xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²y + … + yⁿ⁻¹)。n の偶奇によらず x − y は因数になり、残りの因数の符号はすべて正で、積を展開すると中間の項が打ち消し合う。

x¹⁰ − y¹⁰ の完全な因数分解：(x − y)(x + y) と 2 つの 4 次式の積

答えは (x − y)(x + y)(x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴)(x⁴ − x³y + x²y² − xy³ + y⁴)。まず 2 乗の差として分け、次に 5 乗の差と 5 乗の和の公式を使う。

(xy − 1)² + (x + y − 2)(x + y − 2xy) の因数分解：答えは (x − 1)²(y − 1)²

答えは (x − 1)²(y − 1)²。すべて展開すると 9 項の式になり、それがちょうど xy − x − y + 1 の 2 乗で、この式自体が (x − 1)(y − 1) に分解できる。

ax^2 + bx + 1 > 0 の解が -1 < x < 2｜ab を求める

答えは ab = -1/4（a = -1/2、b = 1/2）。解が 2 つの解の間にあることから a < 0 が決まり、定数項 1 が定数倍を決定する。

2x^(2a−b−1) − 3y^(3a+2b−16) = 10 が 1 次方程式になる a, b は a = 3, b = 4

答えは a = 3, b = 4。2 元 1 次方程式では x と y の指数がどちらも 1 なので、2a − b − 1 = 1 と 3a + 2b − 16 = 1 を連立して解けばよい。

x²−5x+a<0 と x²+3x+b<0 の共通解が 1<x<2 になる (a, b) = (4, −10)

答えは (a, b) = (4, −10)。係数から 2 解の和が 5 と −3 に決まるので、区間は (1, 4) と (−5, 2) しかなく、その共通部分がちょうど (1, 2) になる。

|ax + 5| ≤ b の解が −4 ≤ x ≤ 6 のとき a − b = −30

a = −5、b = 25 なので a − b = −30。区間の中心 1 が −5/a に、半径 5 が b/|a| に等しいことから、2 つの文字が同時に決まる。

a(x − 1)/(x − 2) > 2 の解集合に 3 が入らない条件は a ≤ 1

答えは a ≤ 1。x = 3 を代入すると値は 2a になり、「3 が解集合に入らない」とは 2a > 2 が成り立たないこと、すなわち 2a ≤ 2 である。符号表はいらない。

原点を通り |PF| × (直線 x = a との距離) = 1 となる曲線では a = −1

答えは a = −1。条件式 √((x−1)² + y²)(x − a) = 1 に原点を代入すると 1 × (−a) = 1 となり、a がただちに決まる。

f(x) = 5x + 2、g(x) = x − 6 のとき (f − g)(x) = 4x + 8

答えは (f − g)(x) = 4x + 8。g 全体を引くので、マイナスは −6 にも届いて +6 に変わる。あとは 5x − x と 2 + 6 をまとめるだけである。

多項式の除法の等式から 3 次式の f(2) を求める：f(2) = 18

答えは f(2) = 18。(x + 1)f(x) = (x³ + 2)Q(x) + x + 2 と書くと Q は 1 次で、x = −1 の代入と f(0) = 4 から Q(x) = 2x + 1 が決まる。

a(x − 5)³ + b(x − 5) + 7 の点対称性から k を求める：k = 3

答えは k = 3。この関数は点 (5, 7) について対称で、境界の 1 と 13 も 7 について対称なので、解の区間 k − 9 ≤ x ≤ 3k + 7 の中心が x = 5 になる。

a(x − 4)² + b < 10 の解が k − 8 < x < 2k + 1 になるのは k = 5

答えは k = 5。この不等式は x = 4 について対称なので、区間の中点 (k − 8 + 2k + 1)/2 が 4 に等しく、3k − 7 = 8 から解集合は −3 < x < 11 と決まる。

−√12/2 − √27/9 + √75/15 + √108 = k√3 を満たす k は 5

答えは k = 5。各項を √3 の何倍かに直すと −1, −1/3, +1/3, +6 になり、中央の 2 項がちょうど打ち消し合って 5√3 が残る。

√(4 − (λ − 2024)²) が実数になる λ の範囲は 2022 ≤ λ ≤ 2026

答えは 2022 ≤ λ ≤ 2026。制約をかけるのは平方根だけで、根号の中が 0 以上、すなわち (λ − 2024)² ≤ 4 が |λ − 2024| ≤ 2 に直る。

36 + 2mx = 88 で x = 2 のとき m = 13

答えは m = 13。x = 2 を代入すると 2mx は 4m になり 36 + 4m = 88。両辺から 36 を引いて 4m = 52、4 で割って m = 13 となる。

共役の方程式から |z|^2 を求める複素数の問題

答えは 5/4。両辺を割って z − 1 の共役を取り出し、分母を実数化し、両辺の共役をとって z を復元してから |z|^2 = a^2 + b^2 を使う。

N − (30u²v − 15uv² + v³) = 12u²v + 2v³ − 10uv² のとき N = 42u²v − 25uv² + 3v³

答えは N = 42u²v − 25uv² + 3v³。引かれている 3 項式を両辺に足してから同類項をまとめる。uv² の係数は −10 と −15 で、合わせて −25 になる。

(18m²n − 2mn² + 15mn) − P = 6m²n − 5mn² − 12mn のとき P = 12m²n + 3mn² + 27mn

答えは P = 12m²n + 3mn² + 27mn。P は引かれるほうなので、P は 1 つ目の多項式から 2 つ目を引いた式であり、2 つ目の符号がすべて反転する。

|Z̄ + 4i/Z| = 2√2 のとき |Z| = 2

答えは |Z| = 2。Z = re^(iθ) と極形式で書くと共通因数 e^(−iθ) の絶対値が 1 なので √(r² + 16/r²) = 2√2 となり、(r² − 4)² = 0 が得られる。

x² + x − b > 0 のもう一方の解の区間は (−∞, −3)、このとき b = 6

答えは (−∞, −3) で、b = 6。(2, +∞) が解の区間なので x = 2 は解であり、b = 6 が決まって x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2) と因数分解できる。

1/(5y²) の逆数は 5y²（ただし y ≠ 0）

1/(5y²) の逆数は 5y² で、y ≠ 0 のとき有効である。分数の逆数は分子と分母を入れ替えたもので、もとの数と逆数の積が 1 になることで確かめられる。

2 つずつの和 6.72, 9.34, 8.56 秒から t₁ = 5.59, t₂ = 2.97, t₃ = 3.75 秒

3 つの式をすべて足すと 2(t₁+t₂+t₃) = 24.62 なので合計は 12.31 秒。そこから各組の和を引いて t₁ = 5.59、t₂ = 2.97、t₃ = 3.75 秒が得られる。

x/y = 0.99、x/(y + 23) = 0.98 を解くと y = 2254、x = 2231.46

答えは y = 2254、x = 2231.46。両方の分母を払って x = 0.99y と x = 0.98(y + 23) にし、等号でつなぐと係数 0.01 だけが残る。

2x + 3y = 14、3x + 2y = 15 を解かずに x + y = 29/5 を出す

2 つの式を足すと 5x + 5y = 29 になるので、x + y = 29/5 が 1 行で出る。x と y を別々に求める必要はない。

初項 2018、公差 −5 の等差数列が初めて負になるのは第 405 項（−2）

2018 − 5(n − 1) < 0 を解くと n > 404.6 なので、最初の負の項は u₄₀₅ = −2。直前の u₄₀₄ = 3 はまだ正で、境目がここだと確かめられる。

(8x³ − x² + 6x + 7) ÷ (2x − 1) の第 1 手は 8x³ を 2x で割ること

答えは 8x³ を 2x で割って 4x² を得ること。多項式の筆算では、つねに割られる式の最高次の項を割る式の最高次の項で割ることから始める。

初項 3、公差 7 の等差数列が 2018 を超えるのは第 289 項（2019）から

3 + 7(n − 1) > 2018 を解くと n > 288.86 なので n = 289 で u₂₈₉ = 2019。直前の u₂₈₈ = 2012 はまだ 2018 以下で、答えが確定する。

5 元連立方程式の解は x = 126/5, y = 18/5, z = −24/5, w = 3/5, m = −41/5

解は x = 126/5、y = 18/5、z = −24/5、w = 3/5、m = −41/5。y = 6w と x = 30 + z を使うとすべてが z に帰着し、2 つ目の式から w = 1 + z/12 が出る。

3 分の 1 と 2 分の 1 を含む 4 元連立方程式：x = 17, y = 20, z = −13, w = −13/3

解は x = 17、y = 20、z = −13、w = −13/3。早めに分母を払い、x = 30 + z と w = z/3 という代入をつなぐと、すべてが z だけの式 1 本に帰着する。

定数項 −1/3 を含む 4 元連立方程式の解：x = −71, y = 68, z = −101, w = −709/6

解は x = −71、y = 68、z = −101、w = −709/6。1 つ目の式から x + y = −3 が出て、x = 30 + z と合わせると y + z = −33 になり、y と z だけの式が残る。

3 分の 1 と 6 分の 5 を含む 4 元連立方程式：x = 17, y = 20, z = −13, w = −125/6

答えは x = 17、y = 20、z = −13、w = −125/6。1 つ目の式を払うと x − y = −3 になり、2 つ目と 3 つ目を突き合わせると z の項がそっくり打ち消し合う。

2y − 6x = 5 を y = mx + c に直すと傾きは 3

傾きは m = 3。両辺に 6x を足して 2y = 6x + 5 とし、各項を 2 で割って y = 3x + 5/2 にすれば、x の係数がそのまま傾きになる。

f(x) = x² + 1 のグラフ：頂点 (0, 1)、軸 x = 0、値域 y ≥ 1

グラフは上に開く放物線で、頂点は (0, 1)、軸は x = 0。y = x² を上へ 1 だけ平行移動したもので、値域が y ≥ 1 なので x 軸とは交わらない。

f(x) = −|x + 5| − 4 のグラフ：頂点 (−5, −4) で下に開く V 字

頂点は (−5, −4) で V 字は下に開き、傾きは ±1、最大値は −4、y 切片は −9。出力がつねに −4 以下なので x 切片はない。

3|x| + 4|y| ≤ 12 の表す領域は頂点 (4,0), (0,3), (−4,0), (0,−3) のひし形

解は頂点 (4, 0), (0, 3), (−4, 0), (0, −3) をもつ塗りつぶされたひし形。切片と 2 軸についての対称性を使えば、領域全体がすぐに分かる。

y ≥ 0 の図示：x 軸を実線でかき、その上側を塗る

解は閉じた上半平面。y ≥ 0 には x が現れないので、境界は x 軸そのものであり、x 軸上とその上側すべてが解になる。

x + y ≤ 6 かつ x ≥ 2 の表す領域は角が (2, 4) の有界でないくさび形

解は x ≥ 2 かつ y ≤ 6 − x で、角が (2, 4) の有界でない領域。直線 x = 2 の右側で、かつ y = 6 − x 上またはその下側であり、境界は両方とも含む。

体積 x³ − 3x² + 5x − 3、底面積 x² − 2 の直方体の高さは x − 3 + (7x − 9)/(x² − 2)

高さは x − 3 + (7x − 9)/(x² − 2)。筆算で割ると余り 7x − 9 が残るので、高さは多項式にならない。x = 2 で確かめると 1.5 になる。

「2 つの平均 + 残り 1 つ」が 35, 27, 25 のとき最大の辛さは 26.5

最も辛い香辛料の値は 26.5。各式を 2 倍して分数を払い、3 式を足すと x + y + z = 43.5 が出て、あとは引き算 1 回で各値が求まる。

パラメータ k の同次連立方程式：k ≠ 1 なら自明解のみ、k = 1 で直線

答えは k ≠ 1 のとき (0, 0, 0) のみ、k = 1 のとき直線 (0, t, t)。k を含まない第 1 式と第 3 式で消去すると x = 0 が出て、残る (k − 1)z = 0 が場合分けを決める。

3元の同次連立方程式を解く：解は直線 (x, y, z) = (0, t, t)

答えは (x, y, z) = (0, t, t)（t は任意の実数）。第 2 式と第 3 式を足すと x = 0 が一気に出る。係数行列式が 0 なので、自明解のほかに原点を通る直線がまるごと解になる。

初日と最終日の合計 10 m、全 150 m の等差数列：日数は 30 日

答えは 30 日。1 日ごとの距離は等差数列なので S = (a1 + an)/2 × n が使える。S = 150、a1 + an = 10 を入れると 150 = 5n となり n = 30 が出る。

2つの等差数列に共通する項は何個か：答えは 142 個

答えは 142 個。2, 5, 8, … と −1, 6, 13, … の共通項は x ≡ 2 (mod 3) かつ x ≡ 6 (mod 7)、すなわち x ≡ 20 (mod 21) で、2999 以下に 142 個ある。

f(x) = |x| と g(x) = |x| − 9 のグラフの関係：下へ 9 平行移動

g のグラフは f のグラフを真下へ 9 だけ平行移動したもので、頂点は (0, 0) から (0, −9) へ移る。V 字の形も左右の傾き ±1 も変わらない。

(x²+y²+z²)² = 8z が z = f(x, y) と1価に表せない理由

原点では z = 0 と z = 2 の両方が式を満たすので、1価の f は存在しない。曲面は x² + y² = √(8z) − z²（0 ≤ z ≤ 2）で表されるリンゴ状の回転体である。

不等式 (h + 0.9)/√(1 + h²) < h の解：h > 1.3397214

解は h > 1.3397214。h ≤ 0 は解にならず、h > 0 では h⁴ − 1.8h − 0.81 > 0 と同値になる。この4次式の唯一の正の根をニュートン法で求める。

−(1/3)(x − 7) ≥ (1/2)(3x + 1) を分母を払って解く：x ≤ 1

答えは x ≤ 1。両辺に最小公倍数の 6 を掛けると分数が消える。最後に −11 で割るところで不等号の向きが反転する、そこが唯一の勘所である。

x(x³ + 1) > (x³ + 1)(x² − 2) を解く：x < 2 かつ x ≠ −1

解は x < 2 かつ x ≠ −1。因数分解すると (x + 1)²(x² − x + 1)(2 − x) > 0 となり、平方と2次式は負にならないので符号を決めるのは 2 − x だけである。

1 と 2018 の間に 999 個を挿入：第 501 項は 2019/2

1 から 2018 までの 1001 項の等差数列は公差 d = 2017/1000。第 501 項は 1 + 500d = 1 + 2017/2 = 2019/2 = 1009.5 で、ちょうど 1 と 2018 の中点になる。

2 と 22 の間に等差中項を3つ入れる：7, 12, 17

2 と 22 の間に 3 個入れると 5 項の等差数列になるので 22 = 2 + 4d より d = 5。挿入する数は 7, 12, 17 で、全体は 2, 7, 12, 17, 22 となる。

(x > 3 または x < −2) かつ x ≥ −1 の共通部分：x > 3

答えは x > 3。x < −2 の枝は x ≥ −1 と両立しないので消え、残るのは x > 3 の枝だけである。「または」は和集合、「かつ」は共通部分と読み替えるのが鍵。

y = −4x + 2.5 と y = 3.34x/(1 + 2.34x) の交点は (0.4433, 0.7268) と (−0.6025, 4.9100)

答えは (0.4433, 0.7268) と (−0.6025, 4.9100)。2 つの式を等号でつないで分母を払うと、2 次方程式 9.36x² + 1.49x − 2.5 = 0 になる。

y = −4x + 2.5 と y = 2.44x/(1 + 1.44x) の交点は約 (0.4569, 0.6724) と (−0.9500, 6.2998)

答えはおよそ (0.4569, 0.6724) と (−0.9500, 6.2998)。分母を払うと 288x² + 142x − 125 = 0 になり、解いたあと極に当たっていないかを確かめる。

(−∞, −10] ∩ [−10, 8) は 1 点だけの集合 {−10}

共通部分はつぶれた区間 {−10}。どちらの区間も −10 を閉じた端点として含み、他に両方へ入る数はないので、重なりは 1 点になる。

t(x) = 3√(x + 6) の逆関数は t⁻¹(x) = x²/9 − 6（x ≥ 0）

答えは t⁻¹(x) = x²/9 − 6 で、定義域は x ≥ 0。x と y を入れ替え、2 乗する前に 3 で割る。定義域の条件は、もとの関数の値域が 0 以上であることから来る。

{x | 2 ≤ x ≤ 5, x = 10} のコンマは「かつ」なので、この集合は空集合

誤りである。内包的記法のコンマは「かつ」を意味するので、この集合は空集合になる。[2, 5] ∪ {10} を表すには「または」と書かねばならない。

f(x) = x√(x + 9) は偶関数でも奇関数でもない

答えは「どちらでもない」。f(−x) = −x√(9 − x) は f(x) とも −f(x) とも一致せず、そもそも定義域 x ≥ −9 が原点について対称でない。

5y+2+2zx = 0、5x+5+2zy = 0、x²+y² = 1 の解は 4 組

解は 4 組あり、そのうち (3/5, 4/5, −5) と (−1, 0, 1) は厳密に書ける。残る 2 組には √11 が現れる。どの候補も x² + y² = 1 を満たさねばならない。

和が 72 の連続する 3 つの整数のうち最大は 25

3 つの整数は 23, 24, 25 なので最大は 25。最小を x として和を 3x + 3 = 72 と書き、x = 23 を求めてから 2 を足す。

直線と放物線がただ 1 点で交わるときの x

x = 6。y = 2x^2 - 21x + 64 と y = 3x + a が 1 点だけで交わるとき二次方程式は重解をもち、x = 24/4 = 6、a = -8 となる。判別式による解法。

点 (−1, 7) を通り傾き −4 の直線は y = −4x + 3

直線は y = −4x + 3。点傾き形を使い、x − (−1) が x + 1 になることに注意して傾きと切片の形に直し、最後に点で検算する。

点 (−6, 5) を通り傾き 2/3 の直線は y = (2/3)x + 9

方程式は y = (2/3)x + 9。点傾き形 y − 5 = (2/3)(x + 6) から始めると、x 座標 −6 が 3 の倍数なので分数がきれいに払える。

0.0272727x − 3.49091 = 0 の厳密な解は x = 128

x ≈ 128.0002 だが、意図された厳密な答えは 128。2 つの小数はどちらも 3/110 と 384/110 を丸めたもので、その商はちょうど 128 になる。

分母が 3 の 1 次方程式を分子でまとめて解くと x = −3

解は x = −3。どの項も分母が 3 なので両辺が 1 つの分数にまとまり、方程式は x − 1 = 2x + 2 に帰着する。

映画館の売上を表す式は 50x + 20y = 2000、解の 1 つは (20, 50)

式は 50x + 20y = 2000 で、10 で割ると 5x + 2y = 200。解の 1 つは大人 x = 20 人、子ども y = 50 人で、1000 + 1000 = 2000 になる。

2(5 − 4x) − 7 = −3(2x + 1) + 2(3 − x) はすべての実数 x で成り立つ

答えはすべての実数。両辺とも展開すると 3 − 8x になり、方程式は 3 − 8x = 3 − 8x という恒等式になって、x を絞り込む条件にならない。

u + 4520 ÷ 1200 = 0.01 の厳密な解は u = −1127/300

解は u = −1127/300 ≈ −3.7567。4520/1200 を 113/30 に約分し、0.01 を 1/100 と書いて、共通分母 300 で引く。

(2/5)x + 1014 + 4/5 = (5/9)x + 1019 + 4/9 の解は x = −209/7

答えは x = −209/7、およそ −29.857。各辺の定数をまとめ、x の係数 7/45 を取り出せば、共通分母 45 がきれいに消える。

3[x − 6 − (2 − x)] + 1 = −[−(−2 + 6x)] は解なし

この方程式には解がない。入れ子のかっこを外すと 6x − 23 = 6x − 2 になり、x の項が打ち消し合って −23 = −2 という偽の式が残る。

x − 0.03(0.8x − 5000) = 7226 の解はちょうど x = 7250

解はちょうど x = 7250。0.03 を配って 0.024x − 150 とし、かっこ全体の符号を反転させて 0.976x + 150 = 7226 にまとめ、最後に割る。

x − 0.03(0.8x − 5000) = 7232 の厳密な解は x = 442625/61

解は x = 442625/61 ≈ 7256.15。同じ展開で 0.976x + 150 = 7232 になるが、7082/0.976 は割り切れないので、厳密な答えは分数になる。

x − 2400000x/8844796 = 1200000 の解は 2653438800000/1611199 ≈ 1646872.17

答えは x ≈ 1646872.17、厳密には 2653438800000/1611199。左辺から x をくくり出し、かっこの中を 1 つの分数にまとめて、その逆数を掛ける。

x + 0.0005 × 52x = 175800 の解は 29300000/171 ≈ 171345.03

解は x = 29300000/171 ≈ 171345.03。0.0005 に 52 を掛けて 0.026 とし、1x + 0.026x = 1.026x とまとめてから、175800 を 1.026 で割る。

1.3x − 5 > x + 3 の解は x > 80/3（およそ 26.67）

答えは x > 80/3、およそ 26.67。x を引いて 0.3x − 5 > 3 とし、5 を足してから、小さな正の係数 0.3 で割る。3x − 5 > x + 3 のように 2 で割るのではない。

25 − 2(n − 2) ≥ −8n + 6 の解は n ≥ −23/6

答えは n ≥ −23/6。−2 を配って定数を 29 にまとめ、両辺に 8n を足してから正の 6 で割るので、不等号の向きは一度も変わらない。

25 − 3(n − 2) ≥ −8n + 6 の解は n ≥ −5

答えは n ≥ −5。−3 を配ると 31 − 3n になり、8n を足したあと定数がきれいな整数になるので、境界は分数ではなく整数になる。

3x + 1 − 300 < 4.2x − 1.8 + 4x − 80 の解は x > −543/13

答えは x > −543/13、およそ −41.77。各辺を 3x − 299 と 8.2x − 81.8 に整理し、正の 5.2 で割るので不等号の向きは変わらない。

(x+2)/4 − x/5 > 1 を解く：答えは x > 10

答えは x > 10。分母の最小公倍数 20 を両辺に掛けて 5(x+2) − 4x > 20 とし、展開すれば x + 10 > 20。x の項がほとんど打ち消し合うので、あとは引き算 1 回で終わる。

x/3 > 4 − (x−2)/2 を解く：答えは x > 6

答えは x > 6。落とし穴は 4 − (x−2)/2 = 5 − x/2 であって 3 − x/2 ではない点。x の項を分母 6 でまとめて 5x/6 > 5 とすれば、割り算 1 回で終わる。

(2x−1)/3 > (3x−5)/4 を解く：答えは x < 11

答えは x < 11。(2x−1)/3 > (3x−5)/4 の両辺に正の最小公倍数 12 を掛け、展開して 8x−4 > 9x−15 としてから x を孤立させる。ここでは不等号の向きは変わらない。

x − 1/3 > x + 4 に解が 1 つもない理由：解は空集合

答えは空集合。両辺から x を引くと変数が消え、−1/3 > 4 という偽の命題だけが残る。x に何を入れても成り立たないので、解は存在しない。

x − (1−x)/6 ≤ (2x+1)/2 − 3/4 を解く：答えは x ≤ −1/2

答えは x ≤ −1/2。左右それぞれを通分してまとめ、両辺に 12 を掛けて分母を払い、14x − 2 ≤ 12x − 3 から x を孤立させる。

(x−1)/2 < (7x+2)/5 を解く：答えは x > −1

答えは x > −1。正の最小公倍数 10 を両辺に掛けて 5(x−1) < 2(7x+2) とし、展開して 5x−5 < 14x+4。係数が正のままになる側に x の項を寄せる。

y = a x^b の直線化：log y = b log x + log a

log y = b log x + log a。未知定数が指数の位置にあるので両軸に対数を取る必要があり、両対数グラフの傾きが b、切片が log a としてそのまま読み取れる。

y = p√x + q/√x の直線化：√x 倍して y√x = px + q

両辺に √x を掛けると y√x = px + q となるので、X = x に対して Y = y√x をプロットすれば傾き p、切片 q の直線になる。

y·p^x = q の直線化：log y = −(log p)x + log q

log y = −(log p)x + log q。log x ではなく x そのものに対して log y をプロットすると、傾き −log p、切片 log q の直線が得られる。

y(b − x) = ax の直線化：1/x に対して 1/y をプロットする

1/y = (b/a)(1/x) − 1/a。ここで対数は不要である。変数どうしが積の形でからんでいるので、グラフをまっすぐにするのは対数ではなく逆数である。

log₃18 ÷ (2 + log₃2) を電卓なしで求める：値はちょうど 1

値はちょうど 1。18 = 3² × 2 なので積の法則から log₃18 = 2 + log₃2 となり、分子と分母が文字どおり同じ数になる。

分母に対数がある方程式の解き方と解の和

この方程式の解は x = -3 のただ 1 つで、解の和も -3。底の変換公式を使うと、対数の商が底 x + 5 の 1 つの対数にまとまる。

底 5 の対数不等式を t = √x の置換で解く：答えは x > 16

解は x > 16 なので、最小の正の整数は 17。右辺を 1 つの対数にまとめ、底が 5 > 1 なので真数どうしを比べると、x の項が打ち消し合う。

x·log_(1/3)(1/2 − x) ≥ |x| の解き方

解は x ≤ −5/2、x = 0、1/6 ≤ x < 1/2。x の符号で場合分けし、x < 0 では割るときに不等号を逆にし、底 1/3 の対数が減少することを使う。

3x² − 4x − 1 を x − 2 で割る：商 3x + 2、余り 3

商は 3x + 2、余りは 3 なので結果は 3x + 2 + 3/(x − 2)。余りが 0 でなく、剰余の定理どおり f(2) = 3 と一致する。

6x² − 8x − 6 を 3x + 2 で割る：商 2x − 4、余り 2

商は 2x − 4、余りは 2 で、結果は 2x − 4 + 2/(3x + 2)。除数の先頭が x ではなく 3x なので、商の各項は 3 で割る形になる。

8x³ − 6x² − 5x + 3 を 2x − 5 で割る：商 4x² + 7x + 15、余り 78

商は 4x² + 7x + 15、余りは 78 で、結果は 4x² + 7x + 15 + 78/(2x − 5)。除数の最高次の係数が 1 でないので、商の各項は 2x で割って得る。

x³ + 7x² + 7x − 15 を x + 3 で割る：商 x² + 4x − 5、余り 0

商は x² + 4x − 5 で余りは 0。よって x + 3 は因数であり、3 次式は (x + 3)(x + 5)(x − 1) と完全に因数分解でき、解は −3, −5, 1 である。

h/(4p) = p − 5k を h について解く：h = 4p² − 20pk

答えは h = 4p² − 20pk。両辺に 4p を掛けて h を解放し、その 4p を p − 5k の両方の項に分配する。項は 1 つではなく 2 つになる。

すべての行列と可換な行列は単位行列のスカラー倍

同じサイズのすべての行列と可換な正方行列は λI に等しいことの証明。行列単位 E_ij を使って、非対角成分をすべて 0 に追い込む。

3×3 と 3×2 の積 AB を求める：AᵗBᵗ は定義されない

AB は行が (11,11), (4,4), (20,20) の 3×2 行列。3×3 に 2×3 は掛けられないので AᵗBᵗ は作れず、正しい転置の公式は (AB)ᵗ = BᵗAᵗ である。

a = (−1 + √71)/2 のとき 6/a = a/x を解く：x = (36 − √71)/12

答えは x = (36 − √71)/12。たすき掛けで 6x = a² とし、無理数を 2 乗すると 72 − 2√71 が出るので、4 で割り、さらに 6 で割る。

2a + b = 1 のときの a/(2−2a) + b/(2−b) の最小値：(4√2 − 3)/6

最小値は (4√2 − 3)/6 ≈ 0.4428 で、a = (5 − 3√2)/2、b = 3√2 − 4 のときに達する。b = 1 − 2a を代入して微分を 0 にすると (1 + 2a)² = 8(1 − a)² が出る。

正の a, b, c に対する (a/(a+b))⁴ の巡回和の最小値：3/16

最小値は 3/16 で、a = b = c のときに達する。べき平均不等式と 2 変数の補題で 2 乗和を 3/4 以上と抑えれば、それでちょうど足りる。

|x−2|+|x+3|+|x−1|+|x+1| ≥ a がすべての x で成り立つ条件：a ≤ 7

答えは a ≤ 7。4 つの絶対値の和の最小値は 7 で、それは内側 2 点の間の区間 [−1, 1] 全体で達成される。[−3, 1] ではない。

|x + 1| + |x − 2| の最小値は 3：距離として読む

この式を、x から −1 までと 2 までの距離の合計と読む。その和は 2 点の間にある x で最小になり、値は間隔 2 − (−1) = 3 に等しい。

20% と 50% から 35% のアルコール 20 L を作る

20% の溶液 10 L と 50% の溶液 10 L を混ぜると、35% のアルコール溶液が 20 L できる。体積の式と純アルコール量の式を立てて連立方程式を解く。

i のべきで作った Z1, Z2 に対する |conj(Z1)·Z2²/Z1|：答えは 25

答えは 25。絶対値の性質で式は |Z2|² につぶれるので、効いてくるのは Z2 = (7i⁸⁸ + 24i³³)/(5i) だけ。これは 24/5 − 7i/5 に簡単化され、|Z2| = 5 となる。

Z2 を約分して Z1 を求める複素数の絶対値：答えは 27

値は 27。Z2 が約分されて式は |Z1|³ になり、与えられた 2 式から Z1 の共役が −3i と定まるので Z1 = 3i、|Z1| = 3 となる。

(3x² + 4xy + 5y²)(7x² + 9y²) = 21x⁴ + 28x³y + 62x²y² + 36xy³ + 45y⁴

積は 21x⁴ + 28x³y + 62x²y² + 36xy³ + 45y⁴。6 個の部分積を x と y の総次数で並べると、まとまるのは x²y² の 2 項だけだと分かる。

(4x + 1)(3x + 2) を FOIL で展開する：12x² + 11x + 2

(4x + 1)(3x + 2) は 12x² + 11x + 2 に等しい。FOIL は前・外・内・後の 4 組を掛ける手順で、真ん中の 8x と 3x が 11x にまとまる。

(5x² − 3x)(2x² + 6x − 9) の展開：10x⁴ + 24x³ − 63x² + 27x

積は 10x⁴ + 24x³ − 63x² + 27x。5x² と −3x をそれぞれ 3 項式に分配し、x³ どうし、x² どうしの同類項をまとめる。

(6x² − 7)(5x² − 6) の展開：30x⁴ − 71x² + 42

(6x² − 7)(5x² − 6) は 30x⁴ − 71x² + 42 に等しい。x² を 1 つのかたまりと見て 4 組の積をとり、−36x² と −35x² を中央の項 −71x² にまとめる。

(9 + 2i)(9 − 2i) を簡単にする：答えは実数 85

答えは 85 という実数。2 つの因子は互いに共役なので、積は 9² − (2i)² = 81 + 4 につぶれ、i の項はきれいに打ち消し合う。

4x³ + x² + 2x + 6 に x + 5 を筆算で掛ける：4x⁴ + 21x³ + 7x² + 16x + 30

積は 4x⁴ + 21x³ + 7x² + 16x + 30。x を 4 項すべてに分配し、次に 5 を分配して、x の次数を揃えながら 2 行を足し合わせる。

(8y⁴ − 3y² + 3y³ − 8x²y − 5y + 3 − 8x) に 7y² を掛ける

積は 56y⁶ + 21y⁵ − 21y⁴ − 56x²y³ − 35y³ + 21y² − 56xy²。7 つの項それぞれについて係数を掛け、y の指数を足す。

4 の 3 乗根 × 6 の 3 乗根 = 2 × 3 の 3 乗根

積は 3 の 3 乗根の 2 倍に等しい。2 つの根号を 24 の 3 乗根にまとめ、24 を割り切る立方数 8 を外に出す。

(−2x² + 7)(9x² − 4x + 2) の展開：−18x⁴ + 8x³ + 59x² − 28x + 14

積は −18x⁴ + 8x³ + 59x² − 28x + 14。前の因子に x の項がないので、分配の両方から寄与を受けるのは x² の列だけである。

[(2 − √2)x − 1][(2 + √2)x − 1] の展開：2x² − 4x + 1

積は 2x² − 4x + 1。x の係数を共役な組 2 ± √2 にまとめ、x² の項では (2−√2)(2+√2) = 2 を使う。x の項では根号が打ち消し合う。

先に因数分解して分数式の積を約分する：答えは (x − 3)/(x + 8)

積は (x − 3)/(x + 8) に簡約される。4 つの 2 次式をすべて因数分解し、共通する (x − 6)、(x + 3)、(x − 8) を約分する。和をまたいで約分してはならない。

(x − 4)(x² − 5x − 6) の展開：x³ − 9x² + 14x + 24

積は x³ − 9x² + 14x + 24。x、続いて −4 を 3 項式に分配する。−4 × −6 が +24 になるので、定数項は正になる。

(x + 1)(x² − x + 1) の展開：3 乗の和の公式で x³ + 1

積は x³ + 1。分配すると x³ − x² + x + x² − x + 1 となり 4 項が打ち消し合う。近道は a = x, b = 1 とした公式 a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) である。

(x + 10)(x² − 10x + 100) の展開：3 乗の和で x³ + 1000

積は x³ + 1000。2 番目の因子は a = x, b = 10 としたときの a² − ab + b² そのものなので、公式が 6 項を一気に 2 項へつぶす。

(x + 5y)(2x − y) の展開：2x² + 9xy − 5y²

積は 2x² + 9xy − 5y²。分配すると 4 項が出て、真ん中の −xy と +10xy が同類項として 9xy にまとまる。

(x−1)²/(x²+2x−3) × (x²+3x)/(x²+2x) = (x−1)/(x+2)

積は (x−1)/(x+2)。まず 4 つの 2 次式を因数分解し、何も展開しないうちに (x−1)、(x+3)、x を 2 つの分数をまたいで約分する。

(x² + y²)(2x² + 4y² + 6z²) = 2x⁴ + 6x²y² + 6x²z² + 4y⁴ + 6y²z²

積は 2x⁴ + 6x²y² + 6x²z² + 4y⁴ + 6y²z²。まとまるのは x²y² の項だけで、残り 4 つの単項式は文字の並びが違うので別々のままである。

2(x − 1.6)² + (x − 1.5)² = 0 を解く：実数解なし

答えは実数解なし。非負の平方の和が 0 になるのは両方が 0 のときだけだが、1.6 と 1.5 は等しくない。展開しても判別式は −0.08 になる。

合計 240 でペンを買う：1 本多ければ単価が 1 安い → 15 本

答えは 15 本。単価を 240/x と置き、条件 240/x − 240/(x+1) = 1 を立てて分母を払うと x² + x − 240 = 0 になる。負の解は捨てる。

3003 本の木を三角形に植えるときの段数：答えは 77 段

1, 2, 3, … 本と並べるので三角数の和 n(n + 1)/2 = 3003 となり、n² + n − 6006 = 0 から n = 77。確かめると 77(78)/2 = 3003 ちょうどである。

a(x − 4)² + b < 10 を a と b のすべての場合で解く：7 通りに分岐

答えは 7 つの場合に分かれる。a の符号が、解が有界な区間か、2 本の半直線か、実数全体か、空集合かを決め、b が境界を決める。

ax² + 2x + 1 > 0 を定数 a のすべての値について解く

答えは a で分かれる。a > 1 なら実数全体、a = 1 なら x ≠ −1、a = 0 なら x > −1/2、それ以外は (−1 ± √(1−a))/a から作られる区間になる。

a > 0 のとき ax² − (2a−1)x + 2 ≥ 2x を解く：1/a と 2 の大小で分岐

2x を移項すると (x−2)(ax−1) ≥ 0 と因数分解できる。答えは a = 1/2 で分かれ、解 2 と 1/a の外側になる。解が一致するときは実数全体である。

ax² + (3a − 4)x − 12 ≥ 0 を a のすべての値について解く

判別式が完全平方 (3a + 4)² になるので、解はつねに −3 と 4/a である。解集合は a の符号で分かれ、a = 0 と a = −4/3 が別の場合になる。

1/(2n² + n) を部分分数に分解する：1/n − 2/(2n + 1)

分解は 1/n − 2/(2n + 1)。分母を n(2n + 1) と因数分解すると異なる 1 次因数が 2 つ得られ、係数を比較して A = 1, B = −2 となる。

(2x − 1)/(x − 1)² の部分分数分解：2/(x − 1) + 1/(x − 1)²

結果は 2/(x − 1) + 1/(x − 1)²。重解の 1 次因数にはべきごとに 1 項ずつ必要で、係数を比較すると A = 2, B = 1 になる。

(x + 1)/(x − 1)² の部分分数分解：1/(x − 1) + 2/(x − 1)²

分解は 1/(x − 1) + 2/(x − 1)²。重なった 1 次因数にはべきごとに 1 項ずつ必要で、係数を比較すると A = 1, B = 2 が得られる。

9x² − 12xy + 4y² を完全平方の形にする：(3x − 2y)²

因数分解は (3x − 2y)²。両端の項がどちらも平方 9x² = (3x)²、4y² = (2y)² であり、中央の項 −12xy はちょうど −2(3x)(2y) に等しい。

x² − 8xy + 16y² を完全平方に因数分解する：(x − 4y)²

x² − 8xy + 16y² = (x − 4y)²。16y² が (4y)² であることと、中央の項が −2 × x × 4y に等しいことを確かめれば、差の平方として読み取れる。

面積 88 m²、長さが幅の 2 倍より 5 長い長方形の周：43 m

周の長さは 43 m。幅を x と置くと x(2x+5)=88 という 2 次方程式になり、正の解は 5.5 m、したがって長さは 16 m である。

辺が 3x−4, x²−1, 2x²−15 の三角形の周：x = 4 で 40 フィート

周の長さは 40 フィート。3 つの式を足すと 3x² + 3x − 20 になり、x = 4 では 40 になる。先に同類項をまとめるほうが速い。

多項式の差は二項式か三項式か、次数はいくつか

差を整理すると 12a^2b^2 - 5ab^5 で、次数 6 の二項式になる。なぜ a^3b の項が消えるのか、次数が指数の和で決まる理由もあわせて解説する。

割り算の表で x³ − 2x² − 10x + 21 を割る

商の欠けている欄は A = −3 で、商は x − 3、余りは 0 である。多項式の割り算の表の各マスがどう作られるかを順を追って解説する。

x³ + x + 1 を x² + 2x − 3 で割る：商 x − 2、余り 8x − 5

商は x − 2、余りは 8x − 5。除数が 2 次なので組立除法は使えず、ここで通用するのは多項式の筆算による割り算である。

x³ − 4x + 5 を x² + 2 で割る：商 x、余り −6x + 5

商は x、余りは −6x + 5 なので、この 3 次式は x(x² + 2) − 6x + 5 に等しい。被除数にも除数にも欠けたべきがあり、0 を補って書く必要がある。

比 x : 45 と比 20 : x が等しくなる x を求める：正の値は 30

正の値は x = 30。たすき掛けすると x² = 900 になるので、x は 20 と 45 の相乗平均である。このときどちらの比も 2 : 3 に約せる。

頂点 (9, −14) の放物線での a + b + c の値：−14 より大きい任意の値

a + b + c は y(1) = 64a − 14 に等しく、a は正でなければならないので、−14 より大きい値ならどれでもとりうる。x = 1 で評価するのが b と c を求めずに済ませる要領である。

A が 1800 枚のとき、プリンター B が 5 時間で刷る枚数：4200 枚

プリンター B は 4200 枚を刷る。A の速さが毎時 360 枚なので仕事量は 2520 枚、したがって B は毎時 840 枚で、5 時間では 4200 枚になる。

3×3 行列 A, B の積 AB：行は (0, 6, 16), (−7, −2, −3), (−2, 2, 6)

積 AB の行は (0, 6, 16)、(−7, −2, −3)、(−2, 2, 6)。各成分は A の行と B の列の内積なので、内積を 9 回計算することになる。

x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y) を展開して証明する

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ と 3xy(x + y) = 3x²y + 3xy² を展開して引くと、混合項が 2 つとも消えてちょうど x³ + y³ が残る。

対称差の補集合を使う集合の等式：どんな集合でも成り立つ

この等式はすべての集合で成り立つ。対称差を書き直すと、その補集合が (A∩B) ∪ complement(A∪B) になるので、(A∩B∩C) の除去をその和集合に分配すればよい。

(2x²−4x+3)(x²−2x+2) = 1 の解が x = 1 だけであることの証明

平方完成すると各因子は 2(x−1)² + 1 と (x−1)² + 1 になり、どちらも 1 以上である。積が 1 になるのは両方が 1 のときだけなので x = 1 に定まる。

(x²−4x+5)(2x²−8x+9) = 1 の解が x = 2 だけであることの証明

どちらの因子も x = 2 のまわりで平方完成でき (x−2)² + 1 と 2(x−2)² + 1 になる。ともに 1 以上なので、積が 1 になるのは x = 2 のときだけである。

x² + ax + a − 2 = 0 がつねに異なる 2 実数解を持つことの証明

判別式は a² − 4a + 8 = (a − 2)² + 4 であり、どの実数 a に対しても 4 以上である。判別式が真に正なら異なる 2 つの実数解が保証される。

0.097x² − 2.20765x + 4.37114 = 0 を解の公式で解く：20.568376 と 2.190902

答えは x = 20.568376 と x = 2.190902。判別式は b² − 4ac = 3.1777162025 で、2a = 0.194 で割るため早い段階の丸め誤差が 10 倍に拡大する。

0.097x² − 2.3289x + 4.9064133 = 0 を解の公式で解く：21.675719 と 2.333560

答えは x = 21.675719 と x = 2.333560。判別式 b² − 4ac = 3.52008685 は丸めずに全桁保ち、そのあと 2a = 0.194 で割る。

4.08x² − 652.8x + 10236 = 0 を解の公式で解く：約 142.379 と 17.621

解は x ≈ 142.379 と x ≈ 17.621、厳密には (1360 ± 105√102)/17。判別式は 426147.84 − 167051.52 = 259096.32 で、その平方根は 509.01505 である。

x^2 + 4|x − 3| − 7x + 11 = 0 を場合分けで解く

解は x = (11 − √29)/2 = 2.807 と x = (3 + √13)/2 = 3.303。x = 3 で場合分けし、それぞれで二次方程式を解いて条件に合う解だけを残す。

解が −1 ≤ x ≤ 5、最小値 −18 の二次関数

答えは 2 − 2√3 ≤ x ≤ 2 + 2√3。2 つの解から f(x) = a(x + 1)(x − 5)、頂点 x = 2 での最小値 −18 から a = 2 が決まり、2x² − 8x − 10 ≤ 6 を解く。

(x + 4)² + 17(x + 4) + 72 = 0 を置き換えで解く

実数解は x = −12 と x = −13。u = x + 4 と置き換えて u² + 17u + 72 = 0 にし、因数分解してから x に戻す。

(2 − 3x)(2x + 1) ≥ 0 を解く：答えは −1/2 ≤ x ≤ 2/3

答えは −1/2 ≤ x ≤ 2/3。隠れた最高次の係数が −6 なので、積が正になるのは解の外側ではなく 2 解の間である。

(2 − x)(2x − 3) > 0 を解く：答えは 3/2 < x < 2

答えは 3/2 < x < 2。隠れた最高次の係数が −2 なので、積が正になるのは解の外側ではなく 2 解の間だけである。

2x² − 3x − 2 > 0 を解く：答えは x < −1/2 または x > 2

答えは x < −1/2 または x > 2。最高次の係数が 1 でない二次式を (2x + 1)(x − 2) と因数分解し、臨界点 −1/2 と 2 の外側の区間を残す。

3x² − 2x − 1 ≥ 0 を解く：答えは x ≤ −1/3 または x ≥ 1

答えは x ≤ −1/3 または x ≥ 1。たすきがけで −2x を −3x + x に分けて (3x + 1)(x − 1) と因数分解すれば、下に凸の放物線から答えが読める。

4x² − 4x + 1 ≤ 0 を解く：答えは x = 1/2 の 1 点だけ

答えは x = 1/2 ただ 1 つ。左辺は完全平方 (2x − 1)² で負になることがないため、等号が成り立つ場合しか不等式を満たせない。

4x² − 4x + 1 < 0 を解く：答えは空集合になる理由

答えは解なし。左辺は完全平方 (2x − 1)² であり、実数の平方は負にならないので、等号を含まない不等式の解集合は空集合である。

9x² + 48x − 576 ≥ 0 を解く：解は無理数になる

答えは解 (−8 ± 8√10)/3、およそ 5.766 と −11.099 で決まる。この三項式は整数の範囲では因数分解できず、x = 6 は解ではない。

(−m)² − 4(−m + 3) > 0 を整理して解く：m < −6 または m > 2

答えは m < −6 または m > 2。−m を 2 乗すると符号が消え、−4 を分配すると括弧の中の符号が両方とも変わり、因数分解できる m² + 4m − 12 になる。

−7 > 3x(x − 2) を解く：解が存在しないことを示す

解は存在しない。展開して整理すると 3x² − 6x + 7 < 0 になるが、判別式が −48 なので、この下に凸の放物線は軸より真に上にとどまる。

−x² + 3x + 4 ≥ 0 かつ 3x² − 2x ≥ 0 を解く：[−1, 0] ∪ [2/3, 4]

答えは [−1, 0] と [2/3, 4] の和集合。2 つの二次式をそれぞれ因数分解して別々に解き、最後に 1 本の数直線の上で共通部分をとる。

−x² + 3x + 4 ≥ 0 かつ 3x² − 5x ≥ 0 を解く：[−1, 0] ∪ [5/3, 4]

答えは [−1, 0] と [5/3, 4] の和集合。1 つ目の不等式に −1 を掛けて向きを変え、3x² − 5x を x(3x − 5) と因数分解してから、2 つの解集合の共通部分をとる。

55(x² − 25) > 35(24² − 25) を解く：境界は ±2√11363/11

答えは x < −2√11363/11 または x > 2√11363/11、およそ ±19.3813。右辺を 19285 と計算し、55 で割り、境界は分数のまま厳密に保つ。

ax² + (1 − a)x − 1 < 0 を a のすべての値について解く：場合は 5 通り

(x − 1)(ax + 1) と因数分解でき、答えは 3 通りではなく 5 通りの場合分けになる。a < 0 の枝は a = −1 でさらに分かれ、そこで −1/a が 1 と一致して 2 解が重なる。

(x − 1)(x − 3) > 0 を符号表で解く：答えは (−∞, 1) ∪ (3, ∞)

解集合は (−∞, 1) ∪ (3, ∞)。解 1 と 3 が数直線を 3 つの区間に分け、2 つの一次式の積が正になるのは解の外側だけである。

(x + 1)(x − 3) > 0 を積の符号で解く：x < −1 または x > 3

答えは x < −1 または x > 3。放物線は下に凸なので、積は 2 解の外側で正、間の帯の部分で負になる。

x² − 2x > 3 を因数分解で解く：x < −1 または x > 3

解は x < −1 または x > 3。3 を移項して (x − 3)(x + 1) > 0 にすれば、下に凸の放物線が 2 解の外側で正であることから答えが出る。

x² − 2x − 1 > 0 を解く：境界は 1 − √2 と 1 + √2

答えは x < 1 − √2 または x > 1 + √2。この三項式は整数の範囲では因数分解できないので、境界の 2 点は解の公式から求める。

x² − 2x − 3 < 0 を因数分解で解く：答えは開区間 (−1, 3)

答えは開区間 (−1, 3)。三項式は (x − 3)(x + 1) と因数分解でき、下に凸の放物線が負になるのは 2 解の間だけである。

x² − 4x − 5 > 0 を符号表で解く：x < −1 または x > 5

解は x < −1 または x > 5。因数分解して (x − 5)(x + 1) > 0 とし、3 つの区間それぞれで 1 点ずつ試せば積が正になる場所が分かる。

二次不等式 x² − 4x − 5 < 0 を解く：答えは −1 < x < 5

答えは −1 < x < 5。(x − 5)(x + 1) と因数分解し、下に凸の放物線は 2 解の間でだけ負になるという性質を使う。

x² + x + 1 > 0 がすべての実数で成り立つことを示す

答えはすべての実数 x。判別式が −3 で実数解をもたず、平方完成すると (x + 1/2)² + 3/4 となり最小値 3/4 が正である。

解が 1 と −7 の二次関数｜a + b ≥ n の最大の n

n の最大値は 14。f(x) = a(x − 1)(x + 7) と因数分解すると b = 6a なので a + b = 7a となり、整数 a の最小値 2 から 14 が得られる。

x² − (2k−1)x + 1 の解が (0,1) と (2,3) にある k

答えは 7/4 < k < 13/6。f(0) > 0、f(1) < 0、f(2) < 0、f(3) > 0 の符号条件で範囲が決まり、解の積が 1 であることが検算になる。

0.0395m⁴ − 1.0636m³ + 8.1435m² − 11.8308m − 17.026 = 0 の実数解 4 個

4 つの解はすべて実数で、m ≈ −0.86460、3.37180、11.10473、13.31466。符号の走査ですべての区間を挟み込み、解と係数の関係で見落としがないことを確かめる。

3x⁴ + 18x³ + 38x² + 32x + 12 = 0 に実数解がない理由

答えは実数解なし。平方の和への分解 3(x² + 3x + 3/2)² + 2x² + 5x + 21/4 から、この 4 次式は 17/8 を下回らないと分かり、4 つの解はすべて複素数になる。

u⁴ − 6u³ + 8u² + 6u − 9 = 0 を解く：解は u = −1, 1, 3（重解）

解は u = −1、u = 1、そして重解の u = 3。係数を比較すると (u² − 1)(u² − 6u + 9) に分かれ、さらに (u − 1)(u + 1)(u − 3)² と因数分解できる。

6.804e10 x⁴ + 0.7x − 1210.23 = 0 を解く：実数解はどちらも極小

答えは x = 0.0115484893 と x = −0.0115485279。4 次の項が支配的なので、解はほぼ 1210.23/6.804e10 の 4 乗根で、正負がほぼ対称になる。

6.804e−10x⁴ + 0.7x − 1210.23 = 0 を x⁴ を捨てずに解く

答えは x = 947.0356 と x = −1332.1428。係数が小さいことは x が大きい所で項が無視できることを意味しない。x = 1729 では 4 次の項がすでに約 6079 になる。

x²((8.9 − x)² − 64) = (63.9 − 71x)² を共通因数で解く：x = 0.9 ほか 3 個

答えは厳密解 x = 0.9 と、x = −63.548577、0.897443、79.551134。両辺に因数 (0.9 − x) が隠れているので、展開せずに 4 次を 3 次へ落とせる。

x⁴ − 10x³ + 18x² − 40x − 18 = 0 を数値的に解く：実数解は 2 個

実数解は x ≈ 8.4610649 と x ≈ −0.3736462 で、残りは複素共役の対。有理数の解も整数係数の二次式への分解もないので、区間で挟んでニュートン法で詰める。

x⁴ − 16x³ + 66x² − 16x − 35 = 0 を t = x² − 8x で解く：解は 1, 7, 4 ± √21

解は x = 1、x = 7、x = 4 ± √21。2 つの二次式が x² − 8x を共有するので、t = x² − 8x と置くと 4 次式が t² + 2t − 35 = (t + 7)(t − 5) になる。

3√(2x − 1) = 14 を根号を孤立させて解く：x = 205/18

答えは x = 205/18、およそ 11.3889。先に 3 で割って √(2x − 1) = 14/3 とし、2 乗して 2x − 1 = 196/9、2x = 205/9 から x = 205/18 を得る。

√(4 + 2x − x²) = x − 2 を解く：無縁解 x = 0 を捨てて x = 3

解は x = 3 だけ。2 乗すると x = 0 と x = 3 が出るが、x = 0 では右辺が負になるので無縁解であり、捨てなければならない。

√(4x² − 8x + 4) = 5 を絶対値で解く：x = 7/2 または x = −3/2

答えは x = 7/2 または x = −3/2。根号の中身は 4(x − 1)² なので根号は 2|x − 1| となり、絶対値がちょうど 2 個の解を生む。

√(x² − 3) = x − 1 を定義域を確かめて解く：x = 2

答えは x = 2。2 乗すると x² が打ち消し合って −3 = −2x + 1 となり x = 2 が出る。条件 x ≥ 1 を満たすので無縁解ではない。

√(x² − 6x + 1) = 5 − 2x を解く：実数解は存在しない

答えは実数解なし。2 乗すると 3x² − 14x + 24 = 0 になるが、判別式が 196 − 288 = −92 なので、2 乗した方程式にも実数解がない。

√(x² − 6x + 25) = 3 − x を解く：解が存在しない理由

答えは解なし。2 乗すると x² − 6x + 25 = x² − 6x + 9 となり、x を含む項がすべて消えて 25 = 9 という偽の等式に帰着する。

√(x² − 6x + 25) = 5 を両辺 2 乗して解く：x = 0 または x = 6

答えは x = 0 または x = 6。右辺の 5 が正なので 2 乗しても安全で、定数 25 が両辺から消えて x(x − 6) = 0 が残る。

√(2x + 1) = x − 1 を解く：無縁解を捨てて x = 4

解は x = 4 だけ。2 乗すると x² − 4x = 0 となり解は 0 と 4 だが、x = 0 では右辺が負になるので退けられる。

71(8.9−x) − x√((8.9−x)²−64) = 568 を解く：解は 0.9 と約 0.8974433

解は 2 個で、x = 0.9 と x ≈ 0.8974432593。u = 8.9 − x と置くと 71(u−8) = (8.9−u)√((u−8)(u+8)) となり、境界の解 u = 8 が姿を現す。

(−4m⁻²n¹¹)⁻⁴ を計算して正の指数に直す：答えは m⁸/(256n⁴⁴)

答えは m⁸/(256n⁴⁴)。各因数に指数 −4 が配られ、(−4)⁻⁴ = 1/256、m⁻² は m⁸、n¹¹ は n⁻⁴⁴ となって分母に落ちる。

2 つの一次の条件から z = 6x − 8y の範囲を求める：0 ≤ z ≤ 22

範囲は 0 ≤ z ≤ 22。6x − 8y を 4(x + y) + 2(x − 6y) と書けば、x と y を求めることなく与えられた 2 つの区間から z を直接評価できる。

階数 r の行列がちょうど r 個の階数 1 の行列の和で書けることの証明

列空間の基底から A = UC となり、r 個の外積の和が得られる。r 個未満が不可能であることは階数の劣加法性から従う。前半と後半で道具がまったく違う。

4%x + 5%y が 5%x + 8%y の 2/3 のとき x : y を求める：答えは 1 : 2

比は x : y = 1 : 2。まず 1/100 を払い、次に 2/3 を払うと 12x + 15y = 10x + 16y になり、2x = y にまとまる。

−2 < (2x − 3)/(x + 1) ≤ 1 を 2 つの符号表で解く：答えは (1/4, 4]

解は (1/4, 4]。連なった不等式を 2 つの分数不等式に分け、それぞれで移項して符号表を作り、x = −1 を除いて共通部分をとる。

1/(x−2) + 2/(x+2) = 3/(x²−4) を解く：答えは x = 5/3

答えは x = 5/3。通分した分母 (x − 2)(x + 2) はちょうど x² − 4 なので、方程式は 3x − 2 = 3 に落ちる。5/3 は除外値 2 と −2 のどちらでもない。

(350 + 6X)/16 = (450X − 6X)/9 をたすきに掛けて解く：X = 21/47

解は X = 21/47、およそ 0.4468。450X − 6X をまとめて 444X とし、たすきに掛けて 3150 + 54X = 7104X とし、3150/7050 を最大公約数 150 で約分する。

(x+25)/(x+125) − x/(x+100) = 1/10 を解く：実数解は 2 個

答えは x = (−225 ± 25√161)/2、およそ 46.107 と −271.107。分子が定数 2500 につぶれ、残るのは x² + 225x − 12500 = 0 である。

x/(x+100) − (x+25)/(x+125) = 1/10 を解く：実数解は存在しない

分子は −2500 につぶれ、x² + 225x + 37500 = 0 となる。判別式が −99375 なので実数解はなく、複素数では x = (−225 ± 25i√159)/2 である。

x/(x+100) − (x+25)/(x+125) = 0.1 に実数解がない理由

実数解は存在しない。分数をまとめると分子が定数 −2500 につぶれ、方程式は x² + 225x + 37500 = 0 になる。判別式は −99375 < 0 である。

(2x − 1)/(1 − x) ≥ 1 を 1 を移項して解く：答えは [2/3, 1)

答えは [2/3, 1)。1 を移項して 1 つの分数にまとめると (3x − 2)/(1 − x) ≥ 0 になる。1 − x を掛けて分母を払ってはいけない。

(2x − 1)/(1 − x) ≥ 0 を符号表で解く：答えは [1/2, 1)

答えは半開区間 [1/2, 1)。分子の零点は 0 が ≥ を満たすので含まれるが、x = 1 は分母を 0 にするので除かれる。

(2x−1)(x+1)/(x²+x+2) ≤ 0 を解く：分母が消せて答えは [−1, 1/2]

答えは [−1, 1/2]。分母は判別式が −7 なのでどんな x でも正であり、分数全体の符号は分子だけで決まる。

(2x + 1)/(x − 4) < 0 を符号表で解く：答えは開区間 (−1/2, 4)

答えは開区間 (−1/2, 4)。商が負になるのは分子と分母の符号が逆のときだけで、それは 2 つの臨界点の間でしか起こらない。

(3 − x)/(2x + 1) ≥ 1 を分母を払わずに解く：−1/2 < x ≤ 2/3

答えは −1/2 < x ≤ 2/3。1 を移項すると (2 − 3x)/(2x + 1) ≥ 0 になり、左端はそこで分母が 0 になるため開いたままになる。

分数不等式 3/(x − 1) > x + 4 を解く：答えは 2 つの区間

答えは x < (−3−√37)/2 または 1 < x < (−3+√37)/2。x − 1 の符号が分からないので分母を払わず、1 つの分数にまとめて符号表を作る。

3/(x − 1) − 1 ≥ 2 を分母を払わずに解く：答えは (1, 2]

答えは 1 < x ≤ 2、区間で書けば (1, 2]。すべてを片側に移して (6 − 3x)/(x − 1) ≥ 0 にまとめ、符号表で読む。符号の分からない x − 1 を掛けてはいけない。

3/(x − 2) > 1 を x − 2 を掛けずに解く：答えは区間 (2, 5)

解は区間 (2, 5)。1 を引いて (5 − x)/(x − 2) > 0 にまとめれば、符号の分からない x − 2 を掛けずに済む。

(2x+1)(3x−1)²/(x³(√2−1)) ≤ 0 を符号表で解く：孤立解 1/3 が出る

解は −1/2 ≤ x < 0 と、それに加えて 1 点 x = 1/3。2 乗された因数は符号を変えないが、等号つきの不等式では孤立した解を 1 つ持ち込む。

(2x−1)/3 − 4/(x+2) > (x−3)/6 + 1 を解く：境界は無理数

答えは x が ((−1−√409)/6, −2) と ((−1+√409)/6, ∞) の和集合。多項式の部分を (3x − 5)/6 にまとめ、(3x² + x − 34)/(x + 2) の符号表を作る。

(x−1)/((x−3)(x−2)) ≤ 0 を符号表で解く：答えは (−∞, 1] ∪ (2, 3)

解は (−∞, 1] と (2, 3) の和集合。3 つの臨界点を書き入れて各区間を試し、x = 1 は閉じたまま、x = 2 と x = 3 は除く。

(x²−4x+3)/(x²−9) ≤ 0 を約分して解く：答えは (−3, 1]

答えは (−3, 1]。分子と分母は因数 x − 3 を共有し、約分されるが x = 3 は定義域から外れたままである。符号の変化ではなく穴になる。

(2√2 − √3)/(√3 + √2) の分母を有理化する：答えは 3√6 − 7

分子と分母に共役な √3 − √2 を掛けると分母が 3 − 2 = 1 になるので、答えは展開した分子そのもの、3√6 − 7 である。

17/(2 + √11) を共役な 2 − √11 で有理化する：答えは (17√11 − 34)/7

答えは (17√11 − 34)/7。共役な 2 − √11 を掛けると分母が 4 − 11 = −7 になり、そのマイナス符号を分子へ移す。

2 / (√7 + √2) の分母を有理化する

答えは (2√7 − 2√2) / 5。分子と分母に共役な √7 − √2 を掛けると、和と差の積によって 2 つの根号が同時に消える。

7/y の立方根を有理化して簡単にする：答えは ³√(7y²)/y

7/y の立方根は 7y² の立方根を y で割った形になる。根号の中で y²/y² を掛け、分母を完全立方 y³ にすればよい。

1/√11 の分母を有理化して簡単にする：答えは √11/11

結果は √11/11。分子と分母に √11 を掛けると分母が 11 になる。分子と分母に共通因数はないので、それ以上は約分できない。

7/(√5 − 2) を有理化する：分母が 1 になり答えは 7√5 + 14

結果は 7√5 + 14。共役な式を掛けると分母が 5 − 4 = 1 になるので分数そのものが消え、答えには分母が残らない。

x³ − 5x² − 7x + 41 の実数解：3 つとも実数である

この 3 次式は実数解を 3 つもち、−2.7875545、3.2205249、4.5670296 である。有理数の解はない。候補は 41 の約数、すなわち 1 と 41 だけだからである。

1/x³ − 1/(5×10⁻⁵)³ = 9.33×10¹⁰ を厳密に解く：x ≈ 4.9807×10⁻⁵

答えは x ≈ 4.9807×10⁻⁵ であり、ちょうど 5×10⁻⁵ ではない。右辺は 8×10¹² のわずか 1.17% だが、それでも x を約 0.39% 動かす。

1/(4x − 5) = 1/11 を分母を等しいと置いて解く：x = 4

解は x = 4。2 つの逆数が等しいのは分母が等しいときだけなので 4x − 5 = 11 となり、4x = 16 から x = 4。これは定義域の中にある。

|x + 2| − 1 を x 軸で折り返して 2 下げる：f(x) = −|x + 2| − 1

結果は f(x) = −|x + 2| − 1。折り返しは関数全体の符号を変えるので −1 が +1 になり、そのあと 2 下げると定数が −1 に戻る。

|x + 2| − 3 を x 軸で折り返して 2 下げる：f(x) = −|x + 2| + 1

結果は f(x) = −|x + 2| + 1 で頂点は (−2, 1)。対称移動で −3 は +3 になり、2 下げて +1 が残る。定数がそのまま負のままになるわけではない。

|x| を x 軸で折り返して 6 下げる：f(x) = −|x| − 6

答えは f(x) = −|x| − 6。頂点は (0, −6)、腕の傾きは ∓1 になる。出力はつねに負なので、グラフ全体が x 軸より下にあり、最大値は x = 0 での −6 である。

x² + y² ≤ 9 かつ y ≤ x + 1 の領域：割線より下の閉円板

領域は半径 3 の閉円板のうち y = x + 1 上またはその下側の部分。境界の直線は x² + x − 4 = 0 より x = (−1 ± √17)/2 で円と交わる。

f(x)^3 を 2x^2 − 3x + 4 で割った余り

余りは 26x − 47。f(x) を 2x^2 − 3x + 4 で割った余りが 2x + 1 なら、その余りを 3 乗して x^2 = (3x − 4)/2 の規則で次数を下げればよい。

f(x)³ を 2x² − 3x + 4 で割った余り：26x − 47

余りは 26x − 47。f = qD + (2x + 1) なので f³ は D を法として (2x + 1)³ と合同になり、その 3 乗だけを筆算で下げればよい。

x³ − 2 を x − 1 で割った余りを求める

剰余の定理を使えば、筆算をせずに x³ − 2 を x − 1 で割った余りが 1 手で求まる。余りが多項式ではなく定数になる理由もあわせて解説する。

3⁸ / 27⁻² を底 3 にそろえる：答えは 3¹⁴ = 4,782,969

27 = 3³ なので、べき乗のべき乗の法則から 27⁻² = 3⁻⁶ になる。したがって 3⁸/27⁻² は 3⁸/3⁻⁶ となり、指数を引いて 3¹⁴ = 4,782,969 と定まる。

a e⁻⁴ⁱ + b e⁴ⁱ を三角関数形へ：(a+b)cos 4 + i(b−a)sin 4

オイラーの公式で各指数関数を余弦と正弦に分けると、余弦の項は足し合わされ正弦の項は引き算になる。実部は (a+b)cos 4、虚部は (b−a)sin 4 である。

y = (1/4)(x + 1) − 2 を傾き・切片の形へ：y = x/4 − 7/4

傾き・切片の形は y = x/4 − 7/4。1/4 を括弧に分配し、1/4 と −2 を分母 4 で通分すると、傾き 1/4、y 切片 −7/4 が読み取れる。

x² + 8xy + 16y² − 4z を (x + 4y)² − 4z に書き直す

最初の 3 項は 16y² = (4y)²、8xy = 2·x·4y なので完全平方 (x + 4y)² になる。z に何の条件もないため、−4z はこれ以上まとめられない。

−0.0164x² + 0.3655x + 25.151 = 0 の解：x ≈ −29.572 と 51.859

解は x ≈ −29.572 と x ≈ 51.859 で、81 以上も離れている。最高次の係数が小さいと放物線はほぼ平らになり、頂点 x ≈ 11.14 から解が遠くへ押しやられる。

x⁴ − 16 = 0 の解：実数解は ±2、虚数解は ±2i

答えは実数では x = 2 と −2、複素数まで広げると 2i と −2i。x⁴ − 16 を (x² − 4)(x² + 4) に分け、さらに x² − 4 = (x − 2)(x + 2) と分解する。

往復 120 km を 4 時間 24 分｜行きの速さ

行きの速さは 50 km/h、帰りは 60 km/h。4 時間 24 分を 4.4 時間に直し、各区間の時間を距離÷速さで表して 220/v = 4.4 を解く。

a_n = 4a_(n−1) − 4a_(n−2)｜重解をもつ漸化式

答えは 3037。特性方程式 (r − 2)^2 = 0 より a_n = (A + Bn)2^n となり、a_2025 = 6,149,925 × 2^2025 なので b/c = 6,149,925/2025 = 3037。

各項が前 2 項の平均になる数列｜第 19 項

第 19 項は 91.66672 なので整数部分は 91。差は半分になりながら符号が交代し、数列は 2a2 − a1 ではなく (a1 + 2a2)/3 = 275/3 に収束する。

0.2·0.2x⁶ + x⁴ + x² − 4 = 0 を y = x² で解く：x ≈ ±1.23561

実数解は x ≈ ±1.23561。小数を払うと x⁶ + 25x⁴ + 25x² − 100 = 0 となり、y = x² とおくと 3 次式になる。正の解は y ≈ 1.526734 だけである。

43681x⁶ − 22932.5x⁵ + ⋯ の 6 次方程式：実数解は 4 個

実数解は x ≈ 0.00096368, 0.14670508, 0.15345189, 0.22484227 の 4 個で、ほかに複素数の共役対が 1 組。符号の変化で区間を挟み込むことが、近接した 2 解を分ける鍵になる。

x²(x⁴ + 104x² + 40x) = 10000 の実数解：2.982928 と −3.152475

答えは x = 2.982928 と x = −3.152475。展開すると 6 次式 x⁶ + 104x⁴ + 40x³ − 10000 = 0 になり、有理数解がないので符号が変わる 2 か所を二分法で詰める。

4 式 3 未知数の連立方程式：解は存在しない

答えは「解なし」。代入法で y と z の 3 本に落とすと y = 25/2、z = −9/2 が定まるが、この値は残る 1 本を満たさない。

kt + xy > ky + tx は (k − x)(t − y) > 0 と同値

この不等式は (k − x)(t − y) > 0 と同値であり、k − x と t − y が同符号であることを意味する。項を 2 つずつ組にしてくくれば、4 つの積が 1 つの条件にまとまる。

x³ + x² + 2x + 1 は有理数の範囲で因数分解できない

この 3 次式は有理数上で既約である。有理数解の候補は 1 と −1 だけで、どちらも解にならないので 1 次因子は存在せず、組分けも成立しない。

3x + y = 1 のもとで y/x + 1/y に最大値は存在しない

最大の m は存在しない。y = 1 − 3x を代入すると 1/x − 3 + 1/(1 − 3x) となり、x → 1/3⁻ で +∞ に発散するので上に有界でない。

(x−2)³(x−4)⁴(x−5)³(x−10)⁶ ≤ 0 を符号表で解く：[2, 5] と {10}

答えは [2, 5] ∪ {10}。偶数乗は符号を変えないので効くのは (x−2)³ と (x−5)³ だけ。孤立点 x = 10 は積が 0 になるため解に含まれる。

(2 − 3x)/(x(x − 1)) が正になる範囲：(−∞, 0) と (2/3, 1)

正になるのは (−∞, 0) ∪ (2/3, 1)。分子は 2/3 で、分母は 0 と 1 で符号が変わるので、4 つの区間のうち 2 つだけが条件を満たす。

0.8x + (1 − x)(0.2) を簡単にする：答えは 0.6x + 0.2

答えは 0.6x + 0.2。これは加重平均の形で、割合 x が率 0.8、残りの 1 − x が率 0.2 で寄与するため、結果は x の 1 次式になる。

(1 − 2√(b/a) + b/a) ÷ (√a − √b)² を簡単にする：答えは 1/a

答えは 1/a。分子は完全平方 (1 − √(b/a))² = (√a − √b)²/a なので共通因子 (√a − √b)² が約分でき、a > 0, b ≥ 0, a ≠ b のもとで 1/a が残る。

192π² / (128π + 32π²) を 32π でくくる：答えは 6π/(π + 4)

答えは 6π/(π + 4)。分子も分母も 32π を因数にもつので、それをくくり出すと 6π と 4 + π が残り、これ以上は約分できない。

2(x²y + xy) − 3(x²y − xy) + 2xy を整理する：−x²y + 7xy

答えは −x²y + 7xy。−3 は括弧の両方の項に分配され、−xy は +3xy に変わる。ここを落とすと xy の係数が 7 ではなく 1 になってしまう。

28x⁴y² ÷ 16x⁷y⁻³ を指数法則で簡単にする：7y⁵/(4x³)

答えは 7y⁵/(4x³)。28/16 を 7/4 に約分し、指数を引いて x⁻³ と y⁵ を得たあと、x⁻³ を分母へ移せば完成する。

多項式の引き算 (2a²b − 3ab² + b²) − (a²b − 2ab² + 2b) = a²b − ab² + b² − 2b

答えは a²b − ab² + b² − 2b。2 つ目の括弧の前のマイナスが中の符号をすべて反転させ、そのあとで同類項をまとめる。

2x³ + x³ + x² + 2x − 6 を同類項でまとめる：3x³ + x² + 2x − 6

答えは 3x³ + x² + 2x − 6。同類項は 2 つの 3 次の項だけで、これが 3x³ にまとまる。x²、x、定数項はそのまま残る。

(2x − 4 + (x+1)(x−2))/((x+1)(x−2)) の約分：(x+3)/(x+1)

答えは (x+3)/(x+1)。分子を展開してまとめると x² + x − 6 になり、(x+3)(x−2) と因数分解できるので、分母の (x−2) と約分できる。

3√12 ÷ (4∛54) を簡単にして分母を有理化：√3·∛4/4

答えは √3·∛4/4。√12 から 2 を、∛54 から 3 を外へ出し、立方根には因子が 2 つ足りないので ∛4/∛4 を掛けて有理化する。

(3⁵ × 27³ × 9⁴) / (3 × 81⁴) を 3 のべきで表す：3⁵ = 243

答えは 3⁵ = 243。27、9、81 を 3 のべき乗に直し、分子と分母で指数を足してから引くと 22 − 17 = 5 になる。

3a² ÷ a を指数の商の法則で簡単にする：3a（a ≠ 0）

答えは 3a で、a ≠ 0 のときに限る。係数 3 を分けて a²/a = a¹ と指数を引き、もとの式が分母に a をもつことから条件が付く。

4(3x + 5) − 15 を分配して整理する：答えは 12x + 5

答えは 12x + 5。4 を分配すると 12x + 20 になり、定数どうしの 20 と −15 だけがまとまる。12x には相手がいない。

4a⁻¹⁰ × a × d を正の指数で書く：答えは 4d/a⁹

答えは 4d/a⁹。指数 −10 と 1 を足すと a⁻⁹ になり、負の指数はその因数が分母に属することを意味する。

5√9 − √(−64) を複素数で表す：答えは 15 − 8i

答えは 15 − 8i。前の根号は実数 15 だが、√(−64) は i = √(−1) を使って 8i と書き直す必要があり、実数の −8 にはならない。

5(9x − 8) + 12x を分配してから整理：答えは 57x − 40

答えは 57x − 40。5 を括弧の両方の項に分配してから 45x と 12x をまとめる。まとめられるのは同類項だけである。

(5x² + 2x − 1) − 4(3 − 8x + 2x²) を整理：−3x² + 34x − 13

−4 を 3 つの項すべてに分配すると −12 + 32x − 8x² になる。まとめると 5x² − 8x² = −3x²、2x + 32x = 34x、−1 − 12 = −13 である。

6(x + 2) − 3x を分配してから整理：答えは 3x + 12

答えは 3x + 12。6 を括弧の両方の項に分配して 6x + 12 とし、同類項の 6x と −3x をまとめて 3x にする。

(6x−6)/(12x²+x(x²−2x+1)) は 6(x−1)/(x(x²+10x+1))：約分できない

答えは 6(x−1)/(x(x²+10x+1))。分子から 6 を、分母から x をくくり出して中を展開すると x²+10x+1 になり、x−1 を因数にもたないので既約である。

6x(x−y)² + 3(y−x)³ を因数分解：3(x−y)²(x+y)

答えは 3(x − y)²(x + y)。y − x = −(x − y) なので奇数乗の項が −3(x − y)³ に変わり、3(x − y)² が共通因数になる。

7 × 11 × x × x × y × x × y × x² を 1 つの単項式に：77x⁵y²

答えは 77x⁵y²。定数どうしを掛けて 77 とし、同じ底の指数を足す。裸の x が 3 つと x² で x⁵、y が 2 つで y² になる。

7(f + 4) + 2(3f − 8) を整理する：答えは 13f + 12

答えは 13f + 12。分配すると 7f + 28 + 6f − 16 になり、f の項が 13f に、定数の 28 と −16 が 12 にまとまる。

(7y − 3z) − 3(2y − z) を整理すると：答えはただの y

答えは y だけである。−3 を分配すると −6y + 3z になり、z の項が完全に打ち消し合って 7y − 6y だけが残る。

8 − 9[7 − (3y − 6)] を内側から整理：答えは 27y − 109

答えは 27y − 109。内側の括弧を先に外して 8 − 9[13 − 3y] とし、そのあと −9 を両方の項に分配する。

8(5y − 4) + 3(4y + 7) を分配して整理：答えは 52y − 11

答えは 52y − 11。8 と 3 をそれぞれの括弧に分配して 40y − 32 + 12y + 21 とし、y の項と定数項を別々にまとめる。

8(x² − 2y²) − x(7x + y) + xy を因数分解：(x − 4y)(x + 4y)

式は x² − 16y² = (x − 4y)(x + 4y) にまとまる。2 つの xy の項がちょうど打ち消し合うので、きれいな平方の差が残る。

8a²b ÷ 4ab² を商の指数法則で簡単にする：2a/b

答えは 2a/b。係数は 8/4 = 2 と割り、指数を引くと a^(2−1) = a は分子に残り、b^(1−2) = b⁻¹ は分母へ移る。

9(m+n)² − (m−n)² を平方の差で因数分解：4(m+2n)(2m+n)

答えは 8m² + 20mn + 8n² = 4(m + 2n)(2m + n)。9(m+n)² を (3m+3n)² と書けば、全体がそのまま平方の差になる。

2 つの分数式の繁分数を簡単にする：答えは (y − 4)/(y + 1)

4 つの 2 次式を (3y−1)(2y+1)、(2y+1)²、(3y−1)(y+1)、(2y+1)(y−4) と因数分解し、下の分数を逆数にすると (y−4)/(y+1) 以外はすべて約分できる。

x + 3 が約分できる 3 次式：答えは 2(x+1)(x³ − 2x² − 3x − 2)

答えは 2(x + 1)(x³ − 2x² − 3x − 2)。x² − 9 を因数分解すると x + 3 が約分でき、そのあと 4 つの項すべてが x + 1 を共通因数にもつ。

3 次の項が消える式：答えは 8x² + 12x + 4 = 4(x+1)(2x+1)

式は 8x² + 12x + 4 = 4(x + 1)(2x + 1) に潰れる。3 次の項がすべて打ち消し合うので、3 次の式が 2 次式になる。

((a−2)/(a+2) − (a+2)/(a−2)) ÷ 12a²/(4−a²) を簡単に：2/(3a)

括弧の中は −8a/(a² − 4) にまとまる。12a²/(4 − a²) で割ることは (4 − a²)/(12a²) を掛けることであり、符号の逆な 2 次式が約分されて 2/(3a) が残る。

2 つの分数式の差を整理：32t/(1−t²)² − 10(1−t²)/(1+t²)²

括弧の中は 4t に潰れるので 1 つ目の分数は 32t/(1 − t²)² になり、全体は (1 − t²)²(1 + t²)² を分母とする 1 つの分数にまとまる。

(y−x)²(x+y)² − (x−y)²(x+y) を因数分解：(x−y)²(x+y)(x+y−1)

答えは (x − y)²(x + y)(x + y − 1)。(y − x)² は (x − y)² に等しいので、両方の項が (x − y)²(x + y) を共有し、くくり出すと (x + y) − 1 が残る。

(a − 2b)² + 8ab を完全平方に：答えは (a + 2b)²

答えは (a + 2b)²。展開すると a² − 4ab + 4b² になり、8ab を足すと真ん中の項が −4ab から +4ab に変わって、平方の中の符号が反転する。

(a − b)/(a + b + 2√(ab)) × 共役の比を簡単に：答えは 1

式全体は 1 になる。分母は完全平方 (√a + √b)²、分子は √a と √b についての平方の差なので、すべての因数が約分される。

−1 乗を含む入れ子の分数式を簡単に：答えは 2 − a − 2b

式は 2 − a − 2b に潰れる。内側の括弧は (2a + b)/(a + b) になり、その逆数が (a + b) と (2a + b) を一挙に約分してしまう。

a/x − x を 1 つの分数にまとめる：答えは (a − x²)/x

答えは (a − x²)/x で、x ≠ 0 のときに成り立つ。単独の x を x²/x と書き直して分母をそろえ、分子どうしを 1 度に引く。

7 乗根と 3 乗根を含む 4 因数の積：6√3·x^(62/21)/(35y^(3/2))

答えは 6√3 x^(62/21) / (35 y^(3/2))。すべての根号を分数の指数に直し、定数を 18/(35√3) にまとめてから、底ごとに指数を足す。

単項式の商を −2 乗する：答えは 1/(x²⁰y²⁴z¹²)

答えは 1/(x²⁰ y²⁴ z¹²)。括弧の中で指数を引いて x¹⁰y¹²z⁶ とし、それぞれに −2 を掛けてから分母へ移す。

(2¹⁰ + 2⁹ + 2⁸)/(2¹⁰ + 5·2⁹) を因数分解で簡単に：答えは 1/2

値は 1/2。分子から 2⁸ を、分母から 2⁹ をくくり出すと 7·2⁸ と 7·2⁹ になり、7 が約分されてべきの差 2⁻¹ が残る。

m⁻²n⁻⁶p⁵ ÷ (m⁷n⁴p⁻³) を正の指数で：答えは p⁸/(m⁹n¹⁰)

答えは p⁸/(m⁹ n¹⁰)。文字ごとに上の指数から下の指数を引き、負になったものを分数の線の反対側へ移す。

負の指数を含む商を −4 乗して簡単にする

答えは m^8 / (256 n^44)。まず括弧の中を割って −4m^-2 n^11 にし、各因子を −4 乗する。負の底を偶数乗すると符号は正になる。

x = √b の置き換えで解く：答えは (b² + b√b + 2b − 3√b + 1)/(b + √b − 1)

答えは (b² + b√b + 2b − 3√b + 1)/(b + √b − 1)。負の指数をひっくり返し、x = √b とおいてすべてを多項式にし、x + 1 を約分してから 2√b を足す。

(4a⁻⁸b² / 12a⁷b⁻⁴) の 0 乗：答えは 1

答えは 1。0 でない量を 0 乗すれば 1 なので、負の指数だらけのこの分数は、そもそも簡単にする必要がまったくない。

(a²b + ab²)(a² − ab + b²) − ab⁴ を 1 項にまとめる

式全体は a^4 b にまとまる。最初の括弧から ab をくくり出し、3 乗の和の公式を使って展開すると ab^4 の項がちょうど打ち消し合う。

(∛a + ∛b) ÷ (2 + ∛(a/b) + ∛(b/a)) を置き換えで：∛(ab)/(∛a + ∛b)

答えは ∛(ab)/(∛a + ∛b)。x = ∛a、y = ∛b とおくと分母が (x + y)²/(xy) になり、x + y が約分されて xy/(x + y) に潰れる。

729x⁶ の 5 乗根 ÷ 3x の 5 乗根：答えは 3x

答えは 3x。同じ次数の 2 つの 5 乗根を 1 つにまとめ、中身を 729x⁶/(3x) = 243x⁵ と約分すると、243x⁵ = (3x)⁵ になる。

(L² − R²)/(H + R) は約分できない：(L − R)(L + R)/(H + R)

式は (L − R)(L + R)/(H + R) になり、H = L でない限り約分できない。H = L のときだけ L − R になる。違う文字どうしは決して約分できない。

−(1/5)(−5x + 10) − 2(3 − 4x) を整理：答えは 9x − 8

答えは 9x − 8 で、選択肢 (A)。−1/5 を分配して x − 2、−2 を分配して 8x − 6 とし、同類項をまとめる。x = 0, 1, 3 での検算も合う。

(−x² − 289)/x を分けて簡単にする：f(x) = −x − 289/x

答えは f(x) = −x − 289/x で、x ≠ 0。1 つの分数を 2 項に分け、x を 1 つ約分してから、定義域の条件を添える。

−10(9v − 4) + 10v を分配して整理：答えは −80v + 40

答えは −80v + 40、因数分解すれば 40(1 − 2v)。−10 を分配すると −90v + 40 になり、残りの 10v を足すと定数はそのままで −80v になる。

(−35a²b³/7a⁸b⁻⁵)³ を簡単にする：答えは −125b²⁴/a¹⁸

答えは −125b²⁴/a¹⁸。まず括弧の中を商の法則で約分し、そのあと係数を 3 乗して各指数に 3 を掛ける。

(−3x²y⁴)⁵ を積のべき乗の法則で：答えは −243x¹⁰y²⁰

答えは −243 x¹⁰ y²⁰ であって、よく書かれる −27 x¹⁰ y²⁰ ではない。各因数を 5 乗すると (−3)⁵ = −243 であり、指数 2 と 4 にはそれぞれ 5 を掛ける。

−(−9q + 3r) + 6r − 2(−4r + 9q) を整理：答えは −9q + 11r

答えは −9q + 11r。3 つのまとまりのうち 2 つに負の係数が掛かっているので、同類項をまとめる前に中の項の符号がすべて反転する。

−1 乗を含む分数式を簡単にする

式全体はただの a になる。各括弧を a+b でまとめ、−1 乗の括弧を逆数にし、約分してから最後の 3b を引く。

√27 − √2(2√6 − √8) を簡単にする：答えは 4 − √3

答えは 4 − √3。まず √2 を括弧に分配して 2√12 − √16 = 4√3 − 4 を作り、3√3 から引くときにマイナス符号を両方の項にかけるのが要点。

√(3x)·√(21x) を根号の積の法則で簡単にする：3x√7

答えは 3x√7。1 つの根号にまとめると √(63x²) になり、63 = 9 × 7 から 3 が、x² から x が根号の外へ出る。x ≥ 0 なので絶対値は不要。

√45 − √12 − √10/√2 + 3/√3 を簡単にする：a + b = 1

答えは −√3 + 2√5 で、a = −1、b = 2 だから a + b = 1。√10/√2 = √5 とまとめ、3/√3 = √3 と有理化してから同じ根号どうしを集めるのが決め手。

√(48x¹²)/√(2x) を商の法則で簡単にする：2x⁵√(6x)

答えは 2x⁵√(6x)。2 つの根号を 1 つにまとめて中で割ると 24x¹¹ になり、平方因数の 4 と x¹⁰ を外へ出せばよい。x > 0 なので絶対値は不要。

√6(√54 − √(1/6)) + √((−7)²) − (−2√6)² を簡単にする：0

3 つの部分がそれぞれ 17、7、24 になるので、式全体は 0。√((−7)²) は −7 ではなく 7、(−2√6)² は −24 ではなく 24 になる点が落とし穴。

(√a + 1)/(a − 1) を簡単にする：答えは 1/(√a − 1)

a − 1 を (√a − 1)(√a + 1) と因数分解すると共通因数 √a + 1 が約分でき、a ≥ 0、a ≠ 1 のもとで 1/(√a − 1) が残る。

√(x³) を根号の積の法則で簡単にする：答えは x√x

簡単にした形は x√x。x³ を x² × x に分け、√(ab) = √a·√b を使い、x は 0 以上なので √(x²) = x とすればよい。

(x + 1)³ を含む 4 項の式を簡単にする：−4x² + 12x

式は −4x² + 12x = 4x(3 − x) にまとまる。最後の項が 2(x + 1)³ から 2(x − 1)³ に変わるだけで、答えは 8x² + 12x + 4 からまったく別のものになる。

√(20x²y²/z⁵) を絶対値つきで簡単にする：2|xy|√(5z)/z³

答えは 2|xy|√(5z)/z³。偶数乗の因数を根号の外に出し、奇数乗で根号を抜ける文字には絶対値を残し、最後に分母の √z を有理化する。

√(405x²) を根号の積の法則で簡単にする：9|x|√5

簡単にした形は 9|x|√5。405 = 81 × 5 と分解して根号を分け、√(x²) = |x| なので絶対値の記号を残すのが要点。

√(−140) を虚数単位 i を使って簡単にする：2i√35

簡単にした形は 2i√35。まず虚数単位をくくり出して i√140 とし、140 を 4 × 35 に分けて 4 の平方根を外に出す。

3a/2 + a² − 4a/5 − 3a² を簡単にする：−2a² + 7a/10

答えは −2a² + 7a/10。a² の項は 1 − 3 = −2 でまとまり、a の項は先に通分して 3/2 − 4/5 = 15/10 − 8/10 = 7/10 とする。

(3x²+4)² + (3x²−4)² − 2(3x²+4)(3x²−4) を簡単にする：64

この式は定数 64 になる。a = 3x²+4、b = 3x²−4 とおくと (a−b)² の形になり、a − b = 8 なので答えから x がすべて消える。

(x − 78000)·0.055 + 1280 を簡単にする：0.055x − 3010

簡単にした形は 0.055x − 3010。展開すると 78000 × 0.055 = 4290 になり、1280 − 4290 から定数項 −3010 が残る。

(x + 1)³ − (x − 4)(x + 4) − x³ を簡単にする：2x² + 3x + 17

答えは 2x² + 3x + 17。3 次の項どうしが打ち消し合い、平方の差から −x² + 16 が出るので、最後に残るのは 2 次式だけになる。

5 つの倍率の積を 1 つにまとめる：1.76566975(x + 1)

答えは 1.76566975(x + 1)。重なった因数を 1.15² と 1.3² にまとめ、定数を掛け合わせて 1 つの倍率にし、一次式が必要なときだけ展開する。

(x+2)³ + (x−2)³ + x³ − 3x(x+2)(x−2) を簡単にする：36x

式全体は 36x にまとまる。2 つの 3 乗を展開すると x² の項が対で消え、−3x の積を別に処理すれば x³ の項もすべて消えてしまう。

(x + 2)(x − 3) + x を簡単にする：x の項が消えて x² − 6

答えは x² − 6。積を展開すると x² − x − 6 になり、外にある +x が −x をちょうど打ち消すので、1 次の項がまったく残らない。

(x+3)² + (x−2)² − 2(x+3)(x−2) を簡単にする：定数 25

式全体は定数 25 に潰れる。A² + B² − 2AB = (A − B)² と見抜いて 2 つの括弧を引けば、x の累乗がすべて消える理由まで見えてくる。

(x+4)² − (x²+8x+16) を簡単にする：答えが 0 になる理由

答えはどの x でも 0。(x+4)² を展開すると x² + 8x + 16 そのものになるので、括弧は同じ 3 項式を項ごとに引くことになり、すべて打ち消される。

(x+y)(x−y) + 4(y−1) の因数分解：(x−y+2)(x+y−2)

展開すると x² − y² + 4y − 4 になり、これは x² − (y−2)² と組み直せて (x−y+2)(x+y−2) と因数分解できる。平方の差がもう 1 つ隠れている。

(x+y)(x−y) + y(y−2) を簡単にする：答えは x² − 2y

答えは x² − 2y。最初の積は平方の差で x² − y² になり、その −y² が y(y − 2) の展開から出る +y² とちょうど打ち消し合う。

x² − 3(x/2 + √5)² を簡単にする：x²/4 − 3x√5 − 15

答えは x²/4 − 3x√5 − 15。括弧を 2 乗すると x²/4 + x√5 + 5 になり、3 倍して引くと x² の項は 4 分の 1 だけ残る。

(x² − 9)/(x + 3) を簡単にする：x ≠ −3 のもとで x − 3

簡単にすると x − 3、ただし x ≠ −3。x² − 9 を (x − 3)(x + 3) と因数分解すれば共通因数が見えるが、もとの式は x = −3 で定義されない。

(x² − xy + y) − 3(x² + xy − 2y) を簡単にする：−2x² − 4xy + 7y

−3 を配ると −3x² − 3xy + 6y になり、3 種類の同類項がそれぞれ −2x²、−4xy、+7y にまとまる。−3 × (−2y) = +6y の符号に注意。

x² + 3² + 1 を簡単にする：累乗を先に計算して x² + 10

答えは x² + 10。3² は文字を含まないただの数なので 9 になり、1 と足し合わされる。x² は種類が違うので、そこには混ざらない。

(x²+3x−10)/(x²−4) を約分する：x ≠ ±2 で (x+5)/(x+2)

答えは (x+5)/(x+2)、ただし x ≠ 2 かつ x ≠ −2。分子と分母を因数分解して共通の (x−2) を約分し、消えた因数が残す制限を書き添える。

(x^a)^(−b) を簡単にする：x^(−ab)、すなわち 1/x^(ab)

答えは x^(−ab)、分数で書けば 1/x^(ab)。累乗の累乗の法則で指数を掛け合わせ、負の符号が全体を分母へ移す。

(2, 5) と (3, −3) を通る直線の傾き：m = −8

傾きは m = −8。y の差は −8、x の差は 1 なので、割ると −8。右へ 1 進むごとに 8 下がる、急な右下がりの直線である。

(2, −4) と (6, 4) を通る直線の傾き：m = 2

傾きは m = 2。(y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) に代入すると (4 − (−4))/(6 − 2) = 8/4 になり、分子の二重の負号が足し算に変わるのが要点。

(8, 5) と (10, 7) を通る直線の傾き：m = 1

傾きは m = 1。公式に代入すると (7 − 5)/(10 − 8) = 2/2 = 1 となり、縦の変化と横の変化が等しいので、直線は x 軸と 45 度をなす。

(−1, −2) と (−4, −1) を通る直線の傾き：m = −1/3

答えは m = −1/3。縦の変化は +1、横の変化は −3 なので、負の符号は分母だけから来ている。負の座標そのものが原因ではない。

底 5 の対数不等式を満たす最小の整数

答えは 17。2 log5(√x + 2) を 2 乗の対数に直し、底 5 > 1 なので対数を外すと x が消えて 28 < 7√x、すなわち x > 16 になる。

和が 96 の連続する 3 つの整数：最小の数は 31

3 つの整数は 31、32、33 なので最小は 31。最小の数を x とおいて 3x + 3 = 96 を解けば、x = 31 がそのまま求める答えになる。

y = 2/(x − 2) − 1 と y = 2|x − 2| − 4 の連立の解：(4, 0) だけ

解は (4, 0) ただ 1 つ。u = x − 2 と置くと 2/u + 3 = 2|u| になり、u が正の場合に u = 2 が出て、負の場合は実数解をもたない。

解集合から p、q を求めて qx² + px + 1 > 0 を解く：(−2, 3)

解 −1/2 と 1/3 から p = 1/6、q = −1/6 が決まる。代入すると 2 つめの不等式は x² − x − 6 < 0 になり、解集合は (−2, 3)。

0.15x + 0.15x = 87870 を解く：ちょうど x = 292900

x = 87870/0.30 = 292900 でぴったり割り切れる。同じ項どうしが 0.30x にまとまり、878700 が 3 の倍数なので、丸めのない整数の答えになる。

0.6x − 402.8 = 5x/9 − 360 を解く：x = 963

x = 963。0.6 を 27/45、5/9 を 25/45 と書くと x の係数の差はわずか 2/45 で、定数の差 42.8 が 22.5 倍に拡大される。

0.8(1 + x/10000) = 5 を解く：x = 52500

x = 52500。0.8 で割ると 1 + x/10000 = 6.25、1 を引いて x/10000 = 5.25、10000 を掛けて終わり。0.8 × 6.25 = 5 でぴったり合う。

0.85x + 0.85x = 87870 を解く：1.7x にまとめて x ≈ 51688.24

x = 87870/1.7 = 878700/17 で、小数第 2 位で丸めると 51688.24。同じ 2 項が 1.7x にまとまり、正確な商 51688 + 4/17 は割り切れない。

0.85x × 1.09 × 0.7 = 3250000/2 を解く：x ≈ 2505589.39

答えは x ≈ 2,505,589.39。右辺を半分にして 1,625,000 とし、0.85、1.09、0.7 を 1 つの倍率 0.64855 にまとめてから割る。

0.85x × 1.09 × 0.85 = 3250000/2 を解く：x ≈ 2063426.56

答えは x ≈ 2,063,426.56。右辺を 1,625,000 に直し、3 つの倍率を 0.787525 の 1 つにまとめてから割る。2 回の割引と 1 回の値上げの連鎖である。

0.78x = 50 を解く：正確な分数で x = 2500/39

答えは x = 2500/39、およそ 64.103。0.78 で割ることは 50/39 を掛けることと同じで、丸めた小数ではなく正確な値が保たれる。

0.8(x + 100) = 160 を解く：展開せずに割って x = 100

答えは x = 100。先に 0.8 で割れば 1 手で x + 100 = 200 になり、0.8 を括弧に分配するより速くきれいに解ける。

0.8x − 100 = 160 を解く：小数の係数を分数にして x = 325

解は x = 325。両辺に 100 を足して 0.8x = 260 とし、0.8 で割る。0.8 は分数 4/5 なので、5/4 を掛けても同じことである。

0.8X − 1200 = 320 を解く：たった 2 手で X = 1900

答えは X = 1900。先に 1200 を足して 0.8X = 1520 とし、それから割る。0.8 で割ることは 1.25 を掛けることと同じなので、値は大きくなる。

0.8x − 400 = 240 を解く：5/4 を掛けて x = 800

解は x = 800。400 を足すと 0.8x = 640 になり、0.8 = 4/5 なので 640 に 5/4 を掛ければ、小数の割り算なしで答えが出る。

0.98x + 22.54 = 0.99x を解く：x = 2254

答えは x = 2254。2 つの x の項の差は 0.01x しかないので定数 22.54 を 0.01 で割ることになり、1 パーセントの差が解を 100 倍に拡大する。

C = 1.35 + 0.15B と B = (C − 1.35)/0.15：文字式の変形

答えは C = 1.35 + 0.15B と B = (C − 1.35)/0.15。0.15B を足せば C が求まり、B を求めるには C を移項して −0.15 で割り、符号に注意する。

1.8(X + 100) − X − 200 = 160 を解く：X = 225

答えは X = 225。1.8(X + 100) を 1.8X + 180 に展開し、同類項をまとめて 0.8X − 20 = 160 とし、両辺に 20 を足してから 0.8 で割る。

1 − (x+6)/2 < (2x+1)/3 を解く：分母を払って x > −2

解は x > −2。両辺に 6 を掛けると 6 − 3(x + 6) < 2(2x + 1) になり、項を集めて整理すると −14 < 7x になる。

1/2.7421 = 1/2.7 + 1/x を解く：x は負で −175.86

x = −175.86。2.7421 は 2.7 より大きいので逆数の差は負になり、1/x = −0.0421/7.40367 となって x 自身も負にならざるをえない。

1/2.7421 = 1/3.3 + 1/x を解く：x = 16.2196

x = 16.2196 であって 16.2214 ではない。1/x を (3.3 − 2.7421)/(2.7421 × 3.3) = 0.5579/9.04893 とまとめ、この 1 つの商を逆数にすれば終わる。

1/2.7821 = 1/3.3 + 1/x を解く：商の逆数で x = 17.7272

x = 17.7272。1/x = (3.3 − 2.7821)/(2.7821 × 3.3) = 0.5179/9.18093 とまとめ、この分数の逆数をとれば答えが直接得られる。

1/(3x + 11) = 1/(9x + 5) を解く：分母を等しくして x = 1

x = 1。2 つの単位分数が等しく、どちらの分母も 0 でないなら分母どうしが等しいので、3x + 11 = 9x + 5 となり、両辺とも 14 になる。

1/(6x + 8) = 5 を解く：逆数をとって x = −1.3

答えは x = −1.3。たすきに掛けると 1 = 30x + 40 なので 30x = −39。この解は除外値 x = −4/3 とは一致しない。

1/x + 1/y = 8 を y について解く：y = x/(8x − 1)

解は y = x/(8x − 1)、ただし x ≠ 0 かつ x ≠ 1/8。通分すると x + y = 8xy になり、y の項を集めれば y をくくり出せる。

1/x + 1/y = −1、3/x − 2/y = 7 を解く：x = 1、y = −1/2

解は x = 1、y = −1/2。a = 1/x、b = 1/y と置くと非線形の連立がふつうの一次連立になり、消去法で 2 行のうちに解ける。

1/((x+1)(x+3)) + 9/((x−1)(x+5)) = −1 を解く：x = −2 ± √3

どちらの分母も x² + 4x に定数を足した形なので、v = x² + 4x と置くと v² + 8v + 7 = 0 になる。実数解を与えるのは v = −1 だけで、答えは −2 ± √3。

1/(x(x+2)) − 1/(x+1)² = 1/12 を解く：x = 1 と x = −3

x(x + 2) = (x + 1)² − 1 なので、u = (x + 1)² と置くと 1/(u − 1) − 1/u = 1/12、つまり u² − u − 12 = 0 になる。許されるのは u = 4 だけで、x = 1 と x = −3。

(1 + x)/3 < x − 1 を解く：分母を払って x > 2

x > 2、区間で書けば (2, ∞)。正の数 3 を掛けると 1 + x < 3x − 3 になり、項を集めると 4 < 2x となって不等号の向きは変わらない。

(1 + x)¹⁰ − 10.7347x = 1 を解く：x = 0 と x ≈ 0.0156549

実数解は x = 0 と x = 0.0156549。目に見える解 x = 0 を見つけ、最小値がただ 1 つ x = 0.0079085 にあることを示せば、解がちょうど 2 個だと確かめられる。

1 × (1 − x) = 0.1 を解く：2 次ではなく一次で x = 0.9

解は x = 0.9。1 を掛けても式は変わらないので、方程式は単に 1 − x = 0.1 であり、一次で解はちょうど 1 個である。

10x + 6 > 12x − 4 を解く：符号を反転させずに x < 5

解は x < 5。x の項を右辺に集めれば係数が正のままなので、最後に 2 で割っても不等号の向きは変わらない。

12/((x+1)(x+5)) + 15/((x+2)(x+4)) = 2 を解く：実数解は 4 個

どちらの分母も x² + 6x に定数を足した形なので、u = x² + 6x と置くと 12/(u+5) + 15/(u+8) = 2、つまり 2u² − u − 91 = 0 になり、u = 7 または −13/2 となる。

13 パーセントの項を含む大きな一次方程式を解く：x ≈ 104022.99

x = 104022.99。先に 13 パーセントの括弧を展開すると方程式は 139732000 = 1343.28x になり、x の項を片側に集めれば 1 回の割り算で終わる。

2.72x 版の大きな一次方程式を解く：x ≈ 103254.32

x = 103254.32。左辺でむき出しになっている x の項が 2.72x だけなので、まとめた係数は 1353.28 になり、1 回の割り算で終わる。

(12812 × 1.0398 − x)/x = 10% を解く：x ≈ 12110.83

答えは x = 12,110.83。12812 × 1.0398 = 13,321.9176 を出し、分母を払って 13,321.9176 = 1.1x とし、1.1 で割って 10 パーセントの上乗せを外す。

12x³ + 4x² − 16x = 0 を解く：解は 0、1、−4/3

解は x = 0、x = 1、x = −4/3。まず 3 次の 2 項をまとめ、共通因数 4x をくくり出し、残った 2 次式 3x² + x − 4 を因数分解する。

13 = (87 + 82)/x を解く：分母の x を払って x = 13

解は x = 13。分子を足して 169 とし、両辺に x を掛けて 13x = 169 にする。169 = 13 の 2 乗なので、13 で割ればすぐ出る。

14 = (108 + 84)/x を解く：約分して x = 96/7

答えは x = 96/7、およそ 13.714。足すと 192/x = 14 になり、192/14 を共通因数 2 で約分して既約分数にする必要がある。

14 − 4(t − 5) = 10 − t を解く：t = 8

答えは t = 8。(t − 5) に −4 を分配すると +20 になり、−20 ではない。この符号こそ、この方程式で最も多くの答案がつまずく場所である。

(148 + 200)/x = 0.05 を解く：x = 6960

答えは x = 6960。まず分子を足して 348/x = 0.05 にし、たすきに掛ける。0.05 で割ることは 20 を掛けることと同じである。

14x + 4 − (6x + 2) = 8x + 2 を解く：解は実数全体

すべての実数が解になる。マイナスを分配すると両辺とも 8x + 2 に帰着するので、この方程式は恒等式であり解は無数にある。

(158 + 159)/x = 7.8 を解く：x = 1585/39 ≈ 40.64

答えは x = 317/7.8 = 1585/39、およそ 40.64。先に分子を足してからたすきに掛ける。小数は割り切れずに循環する。

1600 = 1.5x を解く：x = 3200/3 ≈ 1066.67

答えは x = 3200/3、およそ 1066.67。1.5 を 3/2 と書き直し、1600 に逆数の 2/3 を掛ける。小数は循環するので分数が正確な答えである。

(1600 × 11.0006)/100 + 0.13x = x を解く：x ≈ 202.31

答えは x = 202.31（厳密には 176.0096/0.87）。定数を 176.0096 にまとめ、x の項を 0.87x に集めてから割ると総額が戻る。

16000000 × 11.0006 + 0.13x = x を解く：x ≈ 202,309,885.06

答えは x = 202,309,885.06。定数を 176,009,600 と計算し、両辺から 0.13x を引いて 0.87x にしたうえで 0.87 で割る。

(16939 − x)/x = 0.923 を解く：x ≈ 8808.63

x = 16939/1.923 = 8808.63。両辺に x を掛けて x を足すと 16939 = 1.923x になる。これは x = 全体/(1 + 比) の言い換えである。

2 < |x + 1| ≤ 3 を解く：[−4, −3) ∪ (1, 2]

答えは [−4, −3) ∪ (1, 2]。外側の不等式が 2 本の半直線を、内側が 1 本の帯を与え、その共通部分が短い 2 つの区間になる。

2/(x + 10) = −5 を解く：x = −52/5 = −10.4

x = −52/5、すなわち −10.4。x + 10 を掛けると 2 = −5x − 50 になり、除外値 x = −10 と照らし合わせたうえで解として認める。

2πk でくくって k を解く：k = mg tanα/(4π²(R sinα − a))

答えは k = mg tanα/(4π²(R sinα − a))。左辺から共通因数 2πk をくくり出してから割ると、2 つの 2π が掛かり合って 4π² になる。

2 + (5 − 8) = 2 + x を解く：x = −3

解は x = −3。左辺はただの計算で、5 − 8 = −3、2 + (−3) = −1。よって −1 = 2 + x となり、両辺から 2 を引けば x = −3 が出る。

2(x² + 1/x²) − 11(x − 1/x) + 8 = 0 を解く：x = 2 ± √5, 2, −1/2

ここでは x² + 1/x² = t² + 2（プラス 2 に注意）なので、方程式は 2t² − 11t + 12 = 0 になり t = 4, 3/2。解は 2 ± √5, 2, −1/2 の 4 つ。

2^x + x = 5 を数値的に解く：x ≈ 1.71562

答えは x ≈ 1.71562。指数と一次の項が混ざると閉じた式では解けないので、解を 1 と 2 の間に挟み、二分法で追い込む。

1 + 11/(2ˣ−8) + 28/(4ˣ−2ˣ⁺⁴+64) ≥ 0 を解く：x ≤ 0 または x ≥ 2、ただし x ≠ 3

解は x ≤ 0 または x ≥ 2 で、x ≠ 3。t = 2ˣ とおくと 2 つ目の分母が完全平方 (t − 8)² になり、不等式は (u + 4)(u + 7) ≥ 0 に帰着する。

20(16 − x) = 12(20 − x) を解く：x = 10

答えは x = 10。展開すると 320 − 20x = 240 − 12x となり 80 = 8x。どちらのかっこからも 10 を取り除くと、2 つの重み付きの量が 120 で釣り合う。

20x − 2 − (4x + 2) = 6 + 2x を解く：x = 5/7

答えは x = 5/7。かっこを外すと −(4x + 2) は −4x − 2 になり、16x − 4 = 6 + 2x。よって 14x = 10 で、10/14 は 5/7 に約分される。

20x + 10x = 100 を解く：x = 10/3 ≈ 3.33

答えは x = 10/3、およそ 3.33。まとめると 30x = 100 になり、100/30 はそのまま置かずに共通因数 10 で約分する。

20x + 10x = 1815 を解く：x = 121/2 = 60.5

解は x = 121/2、ちょうど 60.5。同類項をまとめて 30x = 1815 とし、分子と分母から共通因数 15 を約分する。

20x + 10x = 2000 を解く：x = 200/3 ≈ 66.67

解は x = 200/3、およそ 66.67。同類項をまとめると 30x = 2000 になり、2000/30 は 200/3 に約分される。厳密な小数表示は存在しない。

21x² + 68x − 85 = 0 を解く：x = (−34 ± √2941)/21

解は x = (−34 + √2941)/21 と x = (−34 − √2941)/21。積が −1785、和が 68 になる整数の組はないので、解の公式が必要になる。

2400 = 2210 − (2000/180)(5/3)X を解く：X = −10.26

答えは X = −10.26。係数を 500/27 にまとめ、2210 を引いて 190 = −(500/27)X とする。2400 が 2210 を上回るので負号が残る。

25 = (200 + 200)/x を解く：x = 16

答えは x = 16。分子を足して 400/x = 25 にしてからたすきに掛ける。答えは大きさ 25 の取り分が 400 にいくつ入るかを数えている。

250t = 100t + 3000 を解く：t = 20（損益分岐点）

答えは t = 20。100t を引くと 150t = 3000 が残り、速いほうの割合が 3000 という固定の出発差を埋めるのに 20 単位の時間がかかる。

2560 = 1.5x を解く：x = 5120/3 ≈ 1706.67

答えは x = 5120/3、およそ 1706.67。1.5 = 3/2 なので 1.5 で割ることは 2/3 を掛けることと同じで、答えは循環小数として厳密に保たれる。

25x² + 10x = 6 を解き √700 を簡単にする

解は x = (−1 + √7)/5 と x = (−1 − √7)/5。判別式は 700 で、√100 をくくり出すと 10√7 ÷ 50 が約分されて簡単な形になる。

25x⁴ + 10x² − 4 = 0 を u = x² の置き換えで解く

実数解は x = ±√((√5 − 1)/5)、およそ 0.497。u = x² と置くと u = (−1 ± √5)/5 となり、負のほうの根からは 2 つの純虚数解が出る。

27x³ − 54x² + 36x − 8 = 0 を完全立方式と見抜いて解く：x = 2/3

答えは x = 2/3 の三重解。27x³ = (3x)³、8 = 2³ で、中間項も −3a²b と +3ab² に一致するので、左辺はちょうど (3x − 2)³ である。

281.45 = x + 53.23 + (0.05x)/(1 − 0.05) を x について解く：x = 216.809

答えは x = 216.809。0.05/0.95 はちょうど 1/19 に約分でき、方程式は 228.22 = (20/19)x にまとまるので、x = 228.22 × 19/20 となる。

286.2 + 3.3x = 316 + 2x を解く：厳密には x = 298/13

x = 298/13 = 22.9231。項をまとめると 1.3x = 29.8 となり、小数を払うと厳密値 298/13 が現れる。これは有限小数にはならない。

295 = x + 9.2 + 0.0152x/(1 − 0.0152) を x について解く：x ≈ 281.46

答えは x ≈ 281.46。手数料の分数 0.0152/0.9848 は x の係数の一部にすぎないので、項をまとめると 1.01543461x = 285.8 となる。

295 = x + 0.0152 × (x × 0.0152)/(1 − 0.0152) を解く：x = 294.9308

答えは x = 294.9308 であり、よく引かれる 111.241 ではない。1.52% が 2 回掛かるので係数は 0.00023461 にすぎず、x は 295 からほとんど動かない。

(2981 − x)/x = 4.3043 を x = 全体/(1 + r) で解く：x = 562.00

x = 2981/5.3043 = 562.00。両辺に x を足すと 2981 = 5.3043x となり、x = 全体 ÷ (1 + 比) が得られる。残りの 2419.00 はちょうど x の 4.3043 倍になる。

2x = 2^x を解く：解がちょうど 2 個である理由（x = 1, 2）

答えは x = 1 と x = 2。直線は凸な指数曲線と高々 2 回しか交われないので、整数解を 2 つ見つけた時点で探索は完了したと証明できる。

(2x − 1)² − x² = 0 を 2 乗の差の公式で解く：x = 1, 1/3

解は x = 1 と x = 1/3。(2x − 1)² − x² を a² − b² と見て (x − 1)(3x − 1) に因数分解し、積が 0 になる条件を使う。

(2x − 1)(3x + 7) = 0 を「積が 0」の性質で解く：x = 1/2, −7/3

x = 1/2 または x = −7/3。すでに因数分解された形なので、各括弧を 0 とおき、出てくる 2 つの 1 次方程式を解けばよい。

不等式 2x − 3 ≤ 5 をわずか 2 手で解く：x ≤ 4

解は x ≤ 4、区間で書けば (−∞, 4]。引き算を打ち消すために 3 を足し、次に正の数 2 で割る。不等号の向きは変わらない。

(2x − 3)² − (x − 1)² = 0 を 2 乗の差で解く：x = 2, 4/3

解は x = 2 と x = 4/3。どちらの項もすでに 2 乗なので、(A − B)(A + B) と因数分解すれば 1 次因数 x − 2 と 3x − 4 がそのまま得られる。

2x − 5/4 < 3 − x/3 を分母を払って解く：x < 51/28

答えは x < 51/28、およそ 1.8214。すべての項に最小公倍数 12 を掛けると分数が一度に消え、24x − 15 < 36 − 4x になる。

(2x−5)/4 < (3x−3)/3 を両方の分母を払って解く：x > −1/2

解は x > −1/2。最小公倍数 12 を掛けると分数が一度に消え、12 は正なので不等号の向きは決して反転しない。

2x − 7 < 3(x − 1) を解き、左右を入れ替えて読み直す：x > −4

解は x > −4。展開すると x の項が右辺にまとまって −4 < x となり、あとは変数を先に書く形に読み替えるだけである。

2x − 1/5 < x + 1/2 を分数の通分で解く：x < 7/10

解は x < 7/10。x の項を左に、分数を右に集めてから、共通分母 10 のもとで 1/2 と 1/5 を足す。

2x − (x − 1) ≤ 1 をマイナスの分配で解く：x ≤ 0

解は x ≤ 0。括弧の前がマイナスなので中の 2 項とも符号が変わり、2x − x + 1 となって x + 1 ≤ 1 にまとまる。

不等式 2x + 1 > x + 6 を 2 手で解く：x > 5

答えは x > 5。x を引くと x + 1 > 6 が残り、続けて 1 を引く。境界の x = 5 では両辺とも 11 になるので、正しく除外される。

不等式 2x + 1 > x + 7 を 2 手で解く：x > 6

答えは x > 6。両辺から x を引くと x + 1 > 7 が残り、続けて 1 を引く。負の数で割る場面がないので、符号が反転することはない。

2x + 13·18 + 6·4.4 = 405 を、先に積を計算して解く：x = 72.3

答えは x = 72.3。x に手をつける前に 13×18 = 234 と 6×4.4 = 26.4 を計算すると、方程式は一気に 2x + 260.4 = 405 になる。

2x + 2 = 10 を操作の逆手順で 2 手で解く：x = 4

答えは x = 4。両辺から 2 を引いて 2x = 8 とし、次に 2 で割る。掛け算より先に足し算をほどくのが簡単さの秘訣である。

媒介変数を含む 2x + 2λx + μ = 0 を x について解く

λ ≠ −1 のとき解は x = −μ/(2(1 + λ))。λ = −1 では x の項が消え、μ = 0 なら任意の x が解、μ ≠ 0 なら解なしとなる。

2x + 2λx + μ = 0 を x について解く：λ = −1 の場合も含めて

λ ≠ −1 ならつねに x = −μ/(2(1 + λ))。λ = −1 では x の項が消え、μ = 0 のとき任意の実数 x が解、μ ≠ 0 のとき解なしとなる。

(2x + 3)² − 4x² = 51 − 9x を先に展開して解く：x = 2

x = 2。(2x + 3)² を展開すると 4x² の項が打ち消し合うので、2 次に見えた方程式は 1 次方程式 12x + 9 = 51 − 9x につぶれる。

2x + 3y = 7、x − y = 1 を代入法で解く：x = 2, y = 1

解は x = 2、y = 1。2 番目の式を x = y + 1 と解いて 1 番目に代入すると 5y + 2 = 7 になり、y を戻して x を求める。

2x + 5 = 13 を解いて x = 4 を検算する

解は x = 4。両辺から 5 を引くと 2x = 8、2 で割ると x = 4 になり、代入し直すとちょうど 13 が返る。

2x² = 2x + 1 を解の公式で解く：x = (1 ± √3)/2

答えは x = (1 + √3)/2 と x = (1 − √3)/2。判別式 12 は平方数ではないので解は無理数になり、因数分解では解けない。

2x² − 5x + 3 = 0 を中央の項の分割で解く：x = 1, 3/2

解は x = 1 と x = 3/2。最高次の係数が 2 なので、2 × 3 = 6 の約数のうち和が −5 になる組、すなわち −2 と −3 で −5x を分ける。

2x² − x − 15 = 0 を解く：(2x + 5)(x − 3) に因数分解

解は x = 3 と x = −5/2。積が ac = −30、和が −1 になる 2 数（5 と −6）を見つけ、中央の項を分けてから 2 項ずつくくる。

2x² − x − 6 = 0 を中央の項の分割で解く（x = 2, −3/2）

解は x = 2 と x = −3/2。積が ac = −12、和が −1 になる 2 数 3 と −4 を見つけ、−x を 3x − 4x に分けて (2x+3)(x−2) にまとめる。

2x² + x − 1 > 0 を (2x−1)(x+1) に因数分解して解く

解は x < −1 または x > 1/2。2x² + x − 1 を (2x − 1)(x + 1) と因数分解すると 2 つの解が現れ、下に凸の放物線はその外側で正になる。

3.8x + 7.7y ≤ 40 を y について解き半平面として表す

答えは y ≤ (40 − 3.8x)/7.7、およそ y ≤ 5.19 − 0.49x。正の数 7.7 で割るので向きは保たれ、領域は境界線の下側に広がる。

(3 × 10⁹)/4^x < 1 を底 4 の対数で解く：最小の整数は 16

答えは x > log₄(3 × 10⁹)、約 15.74 なので最小の整数は 16。4^x はつねに正なので、不等号の向きが反転する場面はない。

3(x − 3) = 5 − 2(2 − 5x) を解いて x = −10/7 を得る

答えは x = −10/7、およそ −1.4286。(2 − 5x) に −2 を分配すると −4 + 10x になり、方程式は 3x − 9 = 1 + 10x、すなわち −10 = 7x となる。

3^x = x⁹ を解く：解は x = 27 だけではない

答えは厳密解 x = 27 と、およそ x = 1.15082 の 2 つ。対数をとると ln(x)/x = ln(3)/9 となり、この曲線は水平な直線と 2 回交わる。

3^x > 500001x を 2 つの交点から解く

解は x < 0.0000020000004 または x > 14.3704368。凸関数 3^x − 500001x は一度だけ 0 を下回るので、直線との交点はちょうど 2 か所になる。

32log₃(x − 5) = 49 を厳密な指数の形で解く

答えは x = 5 + 3^(49/32)、およそ 10.3776。まず対数を孤立させ、指数の形に直し、最後に x > 5 を確かめて対数が定義されることを確認する。

小数係数の 32.63x + 4.545 = 10 を解く：x ≈ 0.16718

答えは x = 5.455/32.63、およそ 0.16718。まず定数を引き、次に割る——手順は 2 つだけで、小数を払う必要はまったくない。

32.63x + 4.545 = 15 を解き、正しく四捨五入する：x ≈ 0.3204

答えは x = 10.455/32.63 = 0.32041 であり、四捨五入すると 0.3204——0.3203 ではない。小数第 5 位が 1 なので、第 4 位は切り下げになる。

(350 + 6X)/16 = (450 − 6X)/9 をたすき掛けで解く：X = 27

解は X = 27。たすき掛けすると 3150 + 54X = 7200 − 96X となり 150X = 4050。元の式の両辺はどちらも 32 になる。

36 − 36k² > 0 を k² < 1 に帰着させて解く：−1 < k < 1

解は −1 < k < 1。正の数 36 で割ると 1 − k² > 0 が残り、k² < 1 は k が数直線上で 0 から 1 未満の距離にあることを意味する。

3600x + 2430000 = x² を厳密な根号のまま解く

x = 1800 + 900√7 = 4181.18 または x = 1800 − 900√7 = −581.18。判別式 22680000 は (1800√7)² に等しく、どちらの解もきれいに整理できる。

3a² + 24a = −45 をまず 3 で割ってから解く：a = −3, −5

解は a = −3 と a = −5。−45 を移項し、共通因数 3 で全体を割ってから a² + 8a + 15 を (a + 3)(a + 5) に因数分解する。

3x⁴ + 8x³ − 4x² − 16x = 0 を x(x+2)²(3x−4) に因数分解して解く

解は x = 0、x = −2（重解）、x = 4/3。この 4 次式は 2 項ずつのくくり出しでは分解できず、有理根 x = −2 と除算によって正しい因数分解が得られる。

(3x − 2)(3x + 2) − 9(x − 1)x = 0 を展開して解く：x = 4/9

解はただ 1 つ x = 4/9。どちらの積にも 9x² が含まれるので、展開すると 2 次の項が打ち消し合い、2 次式に見えて実は 1 次方程式である。

(3x − 24)⁴ × 7³ = 2 × 7⁴ を解く：整数解なし

答えは整数解なし。実数解は x = 8 ± ⁴√14 / 3 で、およそ 8.6448 と 7.3552。両辺を 7³ で割ると (3x − 24)⁴ = 14 となり、14 は 4 乗数ではない。

3x − 2x − 1 ≥ 0 を同類項でまとめて解く：x ≥ 1

解は x ≥ 1。係数 3 と −2 を足すと x が 1 つ残るだけなので、不等式は x − 1 ≥ 0 に縮まり、あと 1 手で終わる。

3x − 5 > 2(x − 2) を展開して解く：x > 1

解は x > 1。2 を x − 2 に分配して 2x − 4 とし、両辺から 2x を引くと x が 1 つ残るだけなので、割り算は一度も要らない。

(3x−5)² − 8(3x−5) + 16 = 0 を完全平方で解く：x = 3 の重解

答えは x = 3 の重解。u = 3x − 5 とおくと u² − 8u + 16 = (u−4)² = 0 となり、u = 4 から 3x = 9 が得られる。

3x − 6/x − 2 = 8 を分母を払って解く：x = (5 ± √43)/3

解は x = (5 + √43)/3 と x = (5 − √43)/3。両辺に x を掛けると、分数方程式は 2 次方程式 3x² − 10x − 6 = 0 になる。

3x + 15 > 30 + 2x を割り算なしで解く：x > 15

解は x > 15。2x を引くと係数がちょうど 1 になるので、定数 15 を移項すればそのまま答えが読み取れる。

(3x + 4)/4 > 2x − 4 を分母を払って解く：x < 4

答えは x < 4。両辺を 4 倍すると 3x + 4 > 8x − 16 となり、右辺にまとめれば負の数で割らずに済む。

3x + 5 = 30 + 5 を右辺の整理から解く：x = 10

答えは x = 10 であって 25/3 ではない。右辺は 35 なので 3x = 30 となり、両辺の等しい定数は打ち消し合って割り算には関わってこない。

3x + 5 = −2|x − 1| を符号の議論から解く：x = −7

答えは x = −7 ただ 1 つ。右辺は正になり得ないので 3x + 5 ≤ 0 から x ≤ −5/3 が決まり、調べるべき場合は 1 つだけになる。

3x + 7 = 22 を逆順に戻して解く：x = 5

解は x = 5。最後に足された 7 を先に引いて 3x = 15 とし、次に x に掛かっていた 3 で割り、代入して確かめる。

3x + 9 > 6x + 7 を x を片側に集めて解く：x < 2/3

答えは x < 2/3。x の係数が正のままになるよう 3x を引き、7 を引いてから 3 で割れば、どの段階でも不等号の向きを変えずに済む。

不等式 3x + 9 > 7x + 6 を順を追って解く：x < 3/4

答えは x < 3/4。係数が正のままになるよう 3x を引き、6 を引いて 3 > 4x とし、4 で割ってから不等式を逆向きに読む。

3x² − 48 = 0 を平方根をとって解く：x = 4, −4

答えは x = 4 と x = −4。1 次の項がないので x² = 16 の形にしてそのまま平方根がとれるが、± の符号は必ず付ける。

3x² − x = 0 を共通因数 x でくくって解く：x = 0, 1/3

x = 0 または x = 1/3。定数項がないので x が共通因数になる。両辺を x で割ってしまうと、解 x = 0 が黙って消えてしまう。

3x² + 5x − 6 = 0 を解の公式で解く：x = (−5 ± √97)/6

答えは x = (−5 + √97)/6 と (−5 − √97)/6。97 は素数で平方数ではないので、解は無理数となり因数分解はできない。

(4/3)(2 − x) − (x+4)/6 > x/2 + 2 を分母を払って解く：x < 0

解は x < 0。全部の項を共通分母 6 にそろえて 6 倍し、同類項をまとめると −12x > 0 となり、−12 で割るときに不等号の向きが変わる。

−4.3289x² − 0.9671x + 40.328 = 0 を解き、解と係数の関係で検算する

解は x ≈ −3.1660 と x ≈ 2.9426。和 −0.2234 が −b/a に、積 −9.3160 が c/a に一致し、2 つの小数解が同時に裏づけられる。

−4.4912x² − 0.5182x + 30.066 = 0 を平方完成で解く：x ≈ −2.6457, 2.5303

解は x ≈ −2.6457 と x ≈ 2.5303。標準形は −4.4912(x + 0.05769)² + 30.0809 で、x + 0.05769 = ±√(30.0809/4.4912) = ±2.5880 から両方の解が出る。

−4.6173x² − 0.2906x + 20.029 = 0 を符号を直してから解く

解は x ≈ −2.1144 と x ≈ 2.0515。両辺に −1 を掛けて 4.6173x² + 0.2906x − 20.029 = 0 にすると、公式の中の符号をすべて正に保てる。

4 − 2m − m + 3 > 0 を 2 種類にまとめて解く：m < 7/3

解は m < 7/3。定数 4 と 3 を 7 に、文字の項 −2m と −m を −3m にまとめ、−3m を移項すれば不等号の向きを変えずに済む。

4.9725x + 0.68175 = 15 を分数のまま正確に解く：x = 1123/390

答えは x = 1123/390 ≈ 2.879487。0.68175 を引いてから 4.9725 で割る。分数に直しておけば 2.8791 という丸め誤りを避けられる。

4.9725x + 0.68175 = 20 を x について解く：x = 77273/19890

答えは x = 77273/19890 ≈ 3.885018。0.68175 を引いて 19.31825 とし、4.9725 で割る。丸める前に厳密な分数にしておく。

4(−x − 10) < −6(2 − x) − 6x を解く：x の項が消えて x > −7

解は x > −7。右辺では +6x と −6x が打ち消し合って定数 −12 だけが残り、最後に −4 で割るところで不等号の向きが反転する。

不等式 4(x + 1) ≥ x + 2(x − 1) を順を追って解く：x ≥ −6

解は x ≥ −6。両辺を展開すると 4x + 4 ≥ 3x − 2 となる。足し引きしかしないので、不等号の向きは一度も変わらない。

4ˣ = 80 を底の変換公式で解く：x = log₄80 ≈ 3.1610

解は 4 を底とする 80 の対数で、およそ 3.1610。80 は 4 の累乗ではないので、両辺の対数をとって ln 80 を ln 4 で割れば厳密な形と小数値が得られる。

40x + 30x + 30x + 2x² = 450 を同類項をまとめて解く

解は x = −25 ± 5√34 で、およそ 4.154759 と −54.154759。100x にまとめ、両辺を 2 で割って x² + 50x − 225 = 0 とし、解の公式を使う。

40x² + 98x − 33 = 0 を解の公式で解く：x = 3/10, −11/4

x = 3/10 または x = −11/4。判別式 14884 は 122² という平方数なので解は有理数で、40x² + 98x − 33 は (10x − 3)(4x + 11) と因数分解できる。

42x = 750 を解き、答えを 125/7 まで約分する

答えは x = 125/7 で、およそ 17.857。割ると 750/42 になり、2 数は 6 を共有するので、約分はちょうど 1 回で終わる。

4x = 3x² − 7x + 9 を解き、解を有効数字 3 桁で答える

解は x = 2.43 と x = 1.23。すべてを片側に集めて 3x² − 11x + 9 = 0 とし、判別式 121 − 108 = 13 として解の公式を使う。

4x − 0.35(x − 1) = 220.45 をかっこを外して解く：x = 4402/73

x = 4402/73 で、およそ 60.3014。マイナスを分配すると 3.65x + 0.35 = 220.45 となり 3.65x = 220.10。商はきりのよい 60.3 にはならない。

4x − 0.35(x − 1) = 220.6 を 3.65x にまとめて解く：x = 4405/73

x = 4405/73 で、およそ 60.3425。分配すると 3.65x + 0.35 = 220.6 となり 3.65x = 220.25。割った商は循環小数になる。

4x − 0.35(x − 1) = 245.85 を厳密な分数で解く：x = 4910/73

x = 4910/73 で、およそ 67.2603。かっこは −0.35x + 0.35 と展開されて 3.65x = 245.50 になり、73 が素数なので答えは循環小数になる。

4x − 0.35(x − 1) = 253.586 を負号の分配から解く：x ≈ 69.3797

答えは x = 126618/1825 ≈ 69.379726。−0.35 を分配すると +0.35 が出るので、方程式は 3.65x + 0.35 = 253.586 に縮む。

4x − 0.35(x − 1) = 278.435 を順を追って解く：x ≈ 76.1877

答えは x = 55617/730 ≈ 76.187671。分配すると 3.65x + 0.35 = 278.435 になるので、x = 278.085/3.65 である。

4x − 3(20 − x) = −4 を先に分配して解く：x = 8

x = 8。分配すると −60 + 3x となるので方程式は 7x − 60 = −4。60 を足して 7 で割ると x = 8 が残り、32 − 36 = −4 で裏づけられる。

両辺に x がある 4x − 7 = 6x + 9 を解く：x = −8

答えは x = −8。4x を引いて文字を右辺に集め、9 を引いてから 2 で割る。検算では両辺とも −39 になる。

4x + 8 < 20 − 2x を片側にまとめて解く：x < 2

解は x < 2。両辺に 2x を足すと 6x + 8 < 20、続いて 6x < 12 となり、正の 6 で割るので不等号の向きは変わらない。

4x² − 4x + 1 > 0 の解：x = 1/2 以外のすべての実数

解は x = 1/2 以外のすべての実数。左辺は完全平方 (2x − 1)² に因数分解でき、重解 x = 1/2 でだけ 0 になる。

4x² − x − 2 = 0 を判別式 33 で解く：x = (1 ± √33)/8

解は x = (1 + √33)/8 と x = (1 − √33)/8。33 = 3 × 11 は平方因数を持たないので根号は簡約できず、分数もこのままである。

4x² + 16x + 7 = 0 を解く：判別式 144 から x = −1/2, −7/2

判別式は 256 − 112 = 144 で平方数なので、x = (−16 ± 12)/8 から −1/2 と −7/2 が得られ、(2x+1)(2x+7) と因数分解もできる。

4x² + 20x + 21 = 0 を解の公式で解く：x = −3/2, −7/2

2 つの解は x = −3/2 と x = −7/2。判別式は 400 − 336 = 64 で平方数なので、どちらの解も厳密な分数で出る。

5.6 − (13x/4 − 1 5/6 x) ÷ 17 × 3 = 13/5 を解く：x = 12

解は x = 12。かっこの中で 13x/4 − 11x/6 が 17x/12 にまとまり、その 17 が割る数と約分されて 5.6 − x/4 = 2.6 になる。

5 − 2(x − 1) = 1 を −2 の分配から解く：x = 3

解は x = 3。−2 を x − 1 に分配すると −2x + 2 となるので方程式は 7 − 2x = 1、次に −2x = −6、最後に x = −6 ÷ (−2) = 3 となる。

5 − (1/2)(x + 4) ≥ 4 を解き、不等号を反転させる：x ≤ −2

解は x ≤ −2。分配すると 3 − x/2 ≥ 4、すなわち −x/2 ≥ 1 となり、両辺に −2 を掛けると向きが反転して x ≥ −2 ではなく x ≤ −2 になる。

5(−5 + n) − (−5n + 1) = −2 を厳密な分数で解く：n = 12/5

答えは n = 12/5 = 2.4。先頭のマイナスを分配すると −(−5n + 1) は +5n − 1 になるので、2 つの n の項は打ち消し合わずに足し合わさる。

5(x + 8) = 9 を展開せず先に割って解く：x = −6.2

解は x = −31/5 = −6.2。先に両辺を 5 で割ると x + 8 = 9/5 となり、5x + 40 = 9 に展開する手間がまるごと省ける。

5^(x+2) = 3^(5−x) を両辺の対数をとって解く：x ≈ 0.8398

答えは x = (5ln3 − 2ln5)/ln15、およそ 0.8398——1.037 ではない。底が違うので対数が不可欠で、ln5 + ln3 はきれいに ln15 にまとまる。

524 + 5x/113 + x = 4.66 を x の項をまとめて解く

答えは x = −2934271/5900 ≈ −497.334068。1 を 113/113 と書くと 5x/113 と x が 118x/113 にまとまり、大きな定数が大きな負の解を生む。

(5399 − x)/x = 4.8116 を解いて小さいほうの取り分を求める

x = 5399/5.8116 = 929.00。分母を払うと 5399 = 5.8116x となり、x = 全体 ÷ (1 + 比)。残りの 4470.00 はちょうど x の 4.8116 倍になる。

580x = 2900 を 1 回の割り算で解く：x = 5

解は x = 5。移項すべき定数項がないので、両辺を 580 で割れば終わる。2900/580 はちょうど 5 に約分できる。

5a² + 4a − 12 > 0 を解く：分数の解を含む二次不等式

解は a < −2 または a > 6/5。判別式 256 は平方数なので解は −2 と 6/5 となり、下に凸の放物線はその外側で正になる。

5w + 9z = 2z + 3w を w について z で表す：w = −7z/2

答えは w = −7z/2。w の項を左に、z の項を右に集めると 2w = −7z になり、符号を変えずに 2 で割ればよい。

5x − 4 = 2x + 11 を同類項を集めて解く：x = 5

解は x = 5。2x を引くと 3x − 4 = 11、4 を足すと 3x = 15、3 で割ると x = 5 となり、両辺とも 21 になって確認できる。

(5x − 4)² − 49x² = 0 を 2 乗の差で解く：x = −2, 1/3

解は x = −2 と x = 1/3。49x² を (7x)² と見ると方程式は A² − B² = 0 の形になり、2 次方程式ではなく 2 つの 1 次方程式に分かれる。

(5x − 8)² − 25x² = 0：2 次の項が打ち消し合う

答えは x = 0.8。展開すると両側の 25x² が消えるので、2 次に見えた方程式は 1 次方程式 −80x + 64 = 0 につぶれる。

5x + 7 = 2 を解いて厳密な解を示す：x = −1

厳密な解は x = −1。両辺から 7 を引いて 5x = −5 とし、5 で割る。代入すると 5(−1) + 7 = 2 となり、答えが確かめられる。

5x + 15/4 − 2x > 0 を同類項をまとめて解く：x > −5/4

解は x > −5/4。5x と −2x をまとめると 3x になり、分数 −15/4 を 3 で割ると −5/4 に約分される。不等号の向きは変わらない。

5x² − 20 = 0 を平方根をとって解く：x = ±2

解は x = 2 と x = −2。1 次の項がないので x² = 4 まで整理して直接平方根をとれる。この形では解の公式より速い。

6.58x + 14 = 6.63x を解く：ちょうど割り切れる損益分岐点

答えはちょうど x = 280。単価の差はわずか 0.05 で、0.05 で割ることは 20 を掛けることと同じなので、14/0.05 は整数になる。

6.58x + 14 = 6.75x を係数の差から解く：x ≈ 82.35

答えは x = 14/0.17、およそ 82.35。2 つの x の項はほぼ打ち消し合って 0.17x だけが残る。小さな定数が大きな答えを生むのはそのためである。

6(5 + p) = 7(p + 6) − 5 を p について順を追って解く：p = −7

答えは p = −7。両辺を展開すると 30 + 6p = 7p + 37 になり、6p を引けば p が単独で残るので割り算の手順はいっさい要らない。

6(x − 5) = 7(x − 1) を両方の括弧を展開して解く：x = −23

答えは x = −23。展開すると 6x − 30 = 7x − 7 になり、x の項を右へ、定数を左へ動かすと 1 手で x = −23 が出る。

6^x = x¹⁸ を解き、厳密解 x = 36 を見つける

実数解は 3 つ。約 −0.91311、約 1.11768、そして 36¹⁸ = (6²)¹⁸ = 6³⁶ による厳密解 36。正の 2 解は関数 ln(x)/x が支配している。

600 = 2210 − (2000/180)(5/3)X を X について厳密に解く

答えは X = 4347/50 = 86.94。2 つの分数を 500/27 にまとめて 2210 を引く。今回は左辺のほうが小さいので X は正になる。

6g + g − 5g = 36 を先に同類項をまとめて解く：g = 18

答えは g = 18。裸の g は 1g と数えるので 3 つの g の項は 2g にまとまり、割り算の前に方程式は 2g = 36 になる。

6p⁵ − 15p⁴ + 10p³ < p を符号表で解く

解は p < (3 − √21)/6、または 0 < p < 1/2、または 1 < p < (3 + √21)/6。5 次式が p(p − 1)(2p − 1)(3p² − 3p − 1) にきれいに分解する。

7 + 2(5x + 2x²) = 16 を解き、答えを最簡の根号で表す

解は x = (−5 + √61)/4 と x = (−5 − √61)/4。括弧を展開して 4x² + 10x − 9 = 0 に直し、解の公式の分子・分母を 2 で約分する。

7(s+9)² − 20(s+9) = 3 を u の置き換えで解く：s = −6, −64/7

答えは s = −6 と s = −64/7。u = s + 9 と置くと方程式は 7u² − 20u − 3 = 0 になり、(7u+1)(u−3) = 0 と因数分解できる。

7200 = 200k + 300 を解く：答えは整数にならない k = 34.5

答えは k = 34.5。先に 300 を引くと 200k = 6900 となり、6900 は 200 の整数倍ではないので答えはちょうど 0.5 刻みの値になる。

74x − 2x² = 690 に実数解がない理由：判別式は −11

答えは実数解なし。x² − 37x + 345 の判別式が −11 と負になるからである。74x − 2x² の最大値は 684.5 で、目標の 690 に 5.5 だけ届かない。

(7x − 1)/(3x − 2) < 4 の解は x < 2/3 または x > 7/5

答えは x < 2/3 または x > 7/5。4 を引いて (7 − 5x)/(3x − 2) < 0 にまとめ、符号表で判断する。3x − 2 は符号が変わるため、両辺に掛けてはいけない。

7x − 15 ≥ 4x + 6 を解く：答えは x ≥ 7

答えは x ≥ 7。4x を引き、15 を足し、最後に正の数 3 で割る。割る数が正なので、不等号の向きは一度も反転しない。

7x + 11 > 3(x + 1) を括弧の展開で解く：x > −2

答えは x > −2。まず 3 を括弧の中に分配し、x の項を左辺に、定数を右辺に集めてから、正の数 4 で割る。

7x + 8 = 3x − 12 を解く：x = −5

答えは x = −5。3x を引くと変数が左辺に 4x としてまとまり、8 を移項して 4x = −20、最後に 4 で割れば終わる。

8/(x + 6) = −5 をたすき掛けで解く：x = −7.6

答えは x = −7.6。両辺に (x + 6) を掛け、−5(x + 6) = −5x − 30 と展開する。得られた解が分母を 0 にしないことも確かめる。

8.8 − 10000x = 1010000x + 6 の解は約 2.745098 × 10⁻⁶

答えは x = 2.8/1020000 ≈ 2.745098 × 10⁻⁶。両辺の巨大な係数が 1020000x にまとまるので、解は 1 より 6 桁も小さくなる。

8.8 − 10000x = 1010000x + 6000 を解く：x = −0.0058737255

答えは x = −0.0058737255。両辺に 10000x を足すと係数が 1020000 にまとまり、定数の差 −5991.2 によって x は小さな負の数になる。

8(1900 − 1.5x) + 10(1400 − 1.5x) = 25x を解く：x = 7300/13

答えは x = 7300/13、およそ 561.54。両方の括弧を展開して 29200 − 27x にまとめ、x の項を片側に寄せて 52x = 29200 とし、最後に割る。

84635.5790x + 84635.5790 = 215900.9 を因数でまとめて解く：x = 1.55095

答えは x = 1.55095。x に掛かる数と単独の定数が同じなので、くくり出せば x + 1 = 215900.9/84635.579 となり、割り算 1 回で済む。

不等式 8g − 6(g + 1) < 4(2g − 9) を解く：g > 5

答えは g > 5。展開すると 2g − 6 < 8g − 36 となり、g の項を右辺へ寄せれば係数が正のままなので、30 < 6g となって不等号の反転は要らない。

8x² = 16x を共通因数のくくり出しで解く：x = 0 と x = 2

答えは x = 0 と x = 2。すべてを片側へ移して 8x をくくり出す。両辺を x で割ってしまうと、解 x = 0 が黙って消えてしまう。

9 + a − b = 5 から a − b の値を求める：a − b = −4

答えは a − b = −4。式が 1 本しかないので a と b の値は個別には決まらないが、両辺から 9 を引けば差だけは確定する。

9(x − 1)² − 4 = 0 を平方根で解く：x = 5/3 と x = 1/3

解は x = 5/3 と x = 1/3。すでに完全平方の形なので、展開せずに (x − 1)² = 4/9 と変形し、± を付けて平方根をとる。

9^x ÷ 12 = 21 を底 9 の対数で解く：x ≈ 2.5166

答えは x = log₉252 = ln252 ÷ ln9 = 2.5166。両辺に 12 を掛けて 9^x = 252 とするが、252 は 9 の累乗ではないので対数が避けられない。

(9127 − x)/x = 0.934 を解いて大きい方の取り分を求める：x = 4719.23

答えは x = 9127/1.934 = 4719.23。両辺に x を掛けてから x を足すと 9127 = 1.934x となる。これは比が 1 弱のときの x = 全体/(1 + 比) にほかならない。

92 = (1 − 3/(0.14(x − 806))) × 100 を解く：x = 7517/7

答えは x = 7517/7、およそ 1073.86。両辺を 100 で割って分数を単独にし、0.08 = 3/(0.14(x − 806)) から逆数をとって 806 を足し戻す。

共通因数 4 − 2x でまとめて解く費用の方程式：x ≈ 1.2503

答えは x ≈ 1.2503。2 つの積はどちらも 4 − 2x を共通因数にもち、その係数の和は 41.4 + 28 = 69.4。全体は 305.6 − 122.8x = 152.0621 に帰着する。

ほぼ打ち消し合う 2 項をもつ三次方程式：Vout = 4.81748

答えは Vout = 4.81748。一次の係数 96.844679 と 97.109892 がほとんど打ち消し合うので、どの桁も落とせない。厳密な分数で計算すると −0.265213 V − 3.6354 × 10⁻⁷ V³ + 1.2777 = 0 となる。

x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.057072 = 0 の 3 実解を正確に求める

解は −0.01062039、0.02187147、245.69974892。2 つは 0 のごく近くで 1 つは非常に大きいため、解と係数の関係だけでは小さい方の 2 つを確認できない。

小数の係数を払って一次不等式を解く：y > 3/8

答えは y > 3/8。0.03、0.5、0.15 という小数の分母を分数に書き直して払い、同類項をまとめてから正の数 8 で割ると y > 3/8 が得られる。

0.2 = 4.6092x³ + 9.2964x² + 2.7507x + 0.0251 を解く：x = 0.0536118

実数解は x = 0.0536118。解を挟み込むには試験点を正しく計算する必要がある。f(0.06) は +0.0246 なので、符号の変わり目は 0.06 より上ではなく下にある。

両辺に分数がある小数の一次方程式：x = −0.72

答えは x = −0.72。各分数を係数と定数に分けて 18.3451x = −13.2857 にまとめ、割ると x = −0.7242、小数第 2 位までで −0.72 となる。

時間で重みづけした項を含む小数の一次方程式：X ≈ 11.027

答えは X = 14487500/1313781、およそ 11.027。3.6 × 7 × 60 = 1512 と 25.2 を先に処理し、X の項を集めてから 11.498016 を 1.0426833 で割る。

括弧と 2 つの分数を含む小数の一次方程式：x = 2.40

答えは x = 2.40。括弧を展開し、各分数を小数の係数と定数に分けて 20.7775x = 49.9345 にまとめ、割ると x = 2.4033、小数第 2 位までで 2.40 となる。

0.097x² − 2.3289x + 12.4464133 = 0 を正確に解く：x = 15.97929 と 8.02999

解は x = 15.97929 と x = 8.02999。判別式は 0.5945668496。4ac の数字を 1 桁打ち間違えるだけで、どちらの解も小数第 3 位がずれる。

x⁶+4x⁵−4x⁴+4x³−7x²−8x+10 = 0 を因数分解で解く

解は x = 1（重解）、−1、−5、および ±i√2。有理根、2 項ずつのくくり出し、y = x² の置き換えという 3 段構えで 6 次式が分解する。

0.04x⁶ + 1.04x⁴ + x² − 4 = 0 を y = x² で解く

小数を払うと y = x² として y³ + 26y² + 25y − 100 = 0 になる。正の解は y = 1.50569 のみなので、実数解は x = ±1.22706 の 2 つだけである。

log(log(x + 0.6)) = 8.8289 − 3.2511 log(557.15) を解く

答えはおよそ x = 5.666。右辺を 1 つの数にまとめてから、底 10 の指数をとる操作を 2 回繰り返して対数を 1 枚ずつはがしていく。

−4.7714x² − 0.0884x + 10.014 = 0 を解の公式で解く

解は x ≈ −1.4580 と x ≈ 1.4395。判別式は 191.131 で、その平方根 13.8250 が極小の 1 次の係数を圧倒するため、2 解はほぼ対称になる。

0 = 2145 − 30(11)(4) + 6(11)(4) + 5(11)(4) + 110x を解く

解は x = −1309/110 = −11.9。まず 4 つの 3 項の積を計算し、定数をまとめて 1309 にしてから、係数 110 で割る。

電力損失の収支式 193.92W + 0.13x = x を x について解く

x = 193.92W/0.87 = 222.90W。未知数が両辺にあるので、割る前に 0.13x をまとめる必要がある。これは値を計算する式ではなく 1 次方程式である。

−10 + 10q − 10 = 10 + 4q を同類項をまとめて解く：q = 5

解は q = 5。まず左辺の 2 つの定数を −20 にまとめ、次に両辺から 4q を引くと、方程式は 6q = 30 になる。

364.4210x + 364.4210 = 215900.9 を 2 通りの方法で解く

答えは x = 591.4491。同じ係数が 2 度現れるのでくくり出せば x + 1 = 215900.9/364.4210 となり、1 行で x = 591.4491179 が出る。

x − 0.03((36000 + x) − 35000) − 180 = 6500 を x について解く

解は x = 6710/0.97 = 6917.53。括弧をまず x + 1000 にまとめると、方程式全体が一気に 0.97x − 210 = 6500 になる。

−4(−11 + 5x) + 6(26 − 6x) = −3(4x + 1) + 5(11 + 6x) を解く

x = 2。4 つの括弧をすべて展開すると 200 − 56x = 18x + 52 となり 148 = 74x。x = 2 のとき元の方程式の両辺はともに 88 になる。

√2 と √3 を係数に持つ連立方程式を解く

解は x = 12/5、y = √6/5。2 式をそれぞれ √2 と √3 倍すると y の係数がどちらも √6 になり、足し合わせるだけで消去できる。

a/x = x を x について解く：a のすべての場合

a > 0 のとき答えは x = ±√a。両辺に x を掛けると x² = a になるが、元の分数から x = 0 は除かれるので、a = 0 のときは解なしとなる。

2x − y = 480、2y − x + m/3 = 0 を x + y ≤ 8m/3 の条件つきで解く

x = (2880 − m)/9、y = (1440 − 2m)/9 であり、不等式 x + y ≤ 8m/3 が成り立つのはちょうど m ≥ 160 のとき。x を求める際の符号を 1 つ誤ると条件全体が反転する。

(3669724.77 − x)(3%) + 13%x = 330275.23 を x について解く

解は x = 2201834.869。3% と 13% を 0.03 と 0.13 に直すと、−0.03x + 0.13x が 10 分の 1 を残すので x の項は +0.10x にまとまる。

(75% + 85%(2000 − x))/2000 ≥ 83% を x について解く

解は x ≤ 47.94、整数なら x ≤ 47。負の係数 −0.85 で割るところで不等号の向きが反転する。

1077.38 = 0.35x + 0.35(1077.38) を順を追って解く

答えは x = 2000.8486。まず 0.35 × 1077.38 = 377.083 を計算して引き、0.35 で割る。同じことだが x = 1077.38 × 0.65/0.35 と 1 行でも書ける。

a + (−16) = −4 を、足された負の数を書き直して解く：a = 12

解は a = 12。−16 を足すことは 16 を引くことと同じなので、方程式は a − 16 = −4 になり、両辺に 16 を足せば a が求まる。

3 つの 1 次因数の積が 3 次方程式に展開される問題を解く

展開すると 3 次方程式 −0.013122x³ + 50.058x² − 41762.7x + 6482700 = 0 になり、3 つの実数解は x = 24500/27 ≈ 907.4074、x ≈ 201.1822、x ≈ 2706.2252 である。

(1202.61 − x)/(1279.43 + x) = 16/9 をたすき掛けで解く

解は x = −385.8956。分子を 1202.61 − x にまとめ、たすき掛けして 9(1202.61 − x) = 16(1279.43 + x) とし、x の項を集める。

(x+1)(x+3) ≥ (x−2)(x−4)：x² の項が打ち消し合う

解は x ≥ 1/2。両辺を展開すると x² + 4x + 3 ≥ x² − 6x + 8 となり、x² を引けばふつうの 1 次不等式になる。

z⁴ + 2(x²+y²)z² − 8z = 0 を z = f(x, y) の形に解く

z をくくり出すと、r² = x² + y² として 3 次方程式 z³ + 2r²z − 8 = 0 が残る。その唯一の実数解はカルダノの公式で明示的に書ける。

隠れた 2 乗の差を含む無理方程式 8/(8.9 − x) = … を解く

解は厳密解 x = 0.9 と x = 0.8974433。(8.9−x)² − 64 を (0.9−x)(16.9−x) と分解すると共通因数が現れ、4 次式が 3 次式に落ちる。

1/x³ − 1/(5×10⁻⁵)³ = 3.11×10¹¹ を立方根で解く

答えは x ≈ 4.9368×10⁻⁵。既知の逆数の 3 乗を 8×10¹² と求めて移項し、逆数をとって立方根をとる——すべて指数表記のまま進める。

−9x − 34 + 72 − 42 = −8x + 68 − 4x を順を追って解く：x = 24

解は x = 24。左辺の 3 つの定数を −4 に、右辺の 2 つの x の項を −12x にまとめてから移項すると 3x = 72 になる。

1/(s+2) + 1/(s+4) + 1/(s+9) − 1/(s+6) = 0 を s について解く

実数解は s = −3.0864085 ただ 1 つ。分母を払うと 2s³ + 33s² + 180s + 300 = 0 になるが、見かけによらず有理根は持たない。

(1+x) の 10 個の累乗の和が 20 になる方程式を解く

実数解は x = 0.0221841 と x = −2.1184421 の 2 つ。(1+x)^27 をくくり出すと 10 個の累乗が等比数列の和になり、符号の変化から各解を挟み込める。

3 元連立方程式を c の消去から解く：a = −1/550, b = 199/1100, c = 61/55

解は a = −1/550、b = 199/1100、c = 61/55。3 式とも c の係数が 1 なので、隣り合う式どうしを引けば一挙に c が消える。

x2 + 4x3 = −4、x1 + 3x2 + 3x3 = −2、3x1 + 7x2 + 5x3 = 6 を解く

答えは x1 = 19、x2 = −8、x3 = 1。行を入れ替えて先頭を 1 にし、各主成分の下を掃き出してから、簡約行階段形まで戻して解を読み取る。

D + W = 25000 と 0.96D + 0.015W = 12500 を代入法で解く

D = 12830.69、W = 12169.31。W = 25000 − D を代入すると 2 つの濃度の差 0.945 が係数として現れ、2 つ目の式は 0.945D = 12125 につぶれる。

5.15X + 5.70Y = 8615.35 と X + Y = 1555 を加減法で解く

解は X = 4963/11 ≈ 451.18、Y = 12142/11 ≈ 1103.82。2 つ目の式を 5.15 倍して引けば、1 手で Y だけが残る。

4.50X + 4.95Y = 2368.15 と X + Y = 490.5 を代入法で解く

解は X = 2393/18 ≈ 132.94、Y = 3218/9 ≈ 357.56。X = 490.5 − Y を代入すると、係数 0.45 の Y だけの式になる。

5.20X + 5.75Y = 8947.2、X + Y = 1595 をクラメルの公式で解く

解は X = 4481/11 ≈ 407.36、Y = 13064/11 ≈ 1187.64。係数行列式は 5.20 − 5.75 = −0.55 で、これが 2 つの商を決めている。

3.80X + 4.20Y = 6627.75、X + Y = 1628 を加重平均で解く

解は X = 524.625、Y = 1103.375。平均単価は 6627.75/1628 ≈ 4.0711 であり、それが 3.80 と 4.20 のどこに位置するかが分け方を直接決める。

0.58333x + 916.9998 = 0.72727x + 965.9089 を x について解く

解は x = −339.79。x の係数の差はわずか 0.14394 なので、定数の差 −48.9091 は割り算でおよそ 7 倍に拡大される。

0.72727x + 965.9089 = 0.85714x + 1014.57122 を x について解く

解は x = −374.70。小さいほうの x の項を引くと係数は 0.12987 しか残らないので、わずかな定数の差が大きな負の解を生む。

152.5(0.5x/54.9) + 152.5(1 − x/54.9) = 100 を厳密に解く

答えはちょうど x = 37.8 であり、近似値ではない。52.5/76.25 は 42/61 に約分でき、549 = 9 × 61 なので 54.9 · 42/61 は丸めなしに 378/10 になる。

|2 − x| = |−8| を解く：絶対値の 2 つの場合

答えは x = −6 と x = 10。まず右辺を 8 に直し、2 − x = 8 と 2 − x = −8 に分ければ両方の解を取りこぼさない。

|2a+7| + |2a−1| = 8 を解く：解は区間まるごと

答えは孤立した点ではなく閉区間 −7/2 ≤ a ≤ 1/2。2 つの折れ点のあいだでは a の項が打ち消し合い、方程式は 8 = 8 になる。

|2x + 3| = 6x を解き、無縁解を退ける：x = 3/4

答えは x = 3/4 のみ。右辺は非負でなければならないので x ≥ 0 が必要であり、その制約が 2 つ目の場合の候補 x = −3/8 を消し去る。

|3x+1| − 2x < |x−4| + 5 を 2 つの折れ点で場合分けして解く

解は −5/2 < x < 4。折れ点 −1/3 と 4 で 3 つの場合に分かれ、最後の場合は x + 1 < x + 1 につぶれてどこでも成り立たない。

|−6 + 4x| = |10 + x| を A = ±B の 2 つの場合で解く

解は x = 16/3 と x = −4/5。2 つの絶対値が等しいとき中身は等しいか符号が逆なので、4x − 6 = x + 10 と 4x − 6 = −x − 10 に分ける。

|7x − 1| = 3 を 2 つの方程式に分けて解く

x = 4/7 または x = −2/7。3 が正なので方程式は 7x − 1 = 3 と 7x − 1 = −3 に分かれ、2 つの解は x = 1/7 のちょうど両側 3/7 の位置に来る。

|x−1| + |x+1| < 4 を 2 つの折れ点で分けて解く

答えは −2 < x < 2。折れ点のあいだでは和がつねに 2 であり、その外側では 1 単位につき 2 ずつ増えるので、各折れ点から 1 単位進んだところで 4 に達する。

|x−2| + |x−5| > 7 を 2 と 5 で場合分けして解く

答えは x < 0 または x > 7。折れ点のあいだでは和がつねに 3 なので、合計が 7 に届くのは 2 つの折れ点から 2 単位外側に出たところである。

|x+1| + |x+2| > 3 を折れ点で場合分けして解く

答えは x < −3 または x > 0。真ん中の区間は 1 > 3 という偽の主張につぶれるので、解集合は外側の 2 本の半直線だけになる。

|x + 66| = |x − 88| を中点の近道で解く：x = 11

答えは x = 11。この方程式は x が −66 と 88 から等距離にあると述べているので、x は 2 点の中点でなければならない。2 つの場合分けが 1 行で済む。

|x| + |x − 1| = |x − 2| + |x − 3| を場合分けで解く

解は x = 3/2 ただ 1 つ。0、1、2、3 で数直線を切ると 5 つの場合になり、そのうち 4 つは矛盾するか、自分の区間の外の解を出す。

7a − 467.56 − (7a × 13% × 10%) + 183.36 = 260 を a について解く

解は a = 78.77。10% の 13% をとるとは 0.013 を掛けることなので、控除は 0.091a にすぎず、a の係数は 6.909 と正のまま残る。

b が変数でもある b² − 8b + 5 = 0 を解く

解は b = 4 + √11 と b = 4 − √11。公式の係数を A, B, C と読み替えれば、変数 b と真ん中の係数を取り違えずに済む。

16000000(0.11 + 0.0006) + 0.13x = x を x について解く

解は x = 2034022.99。0.13x を移項すると 0.87x = 1769600 になる。右辺の裸の x には係数 1 が隠れているからである。

Gm/d² = Gx/d² を x について解く（共通因数を約分）

G と d が 0 でなければ x = m。両辺は同じ分母 d² と同じ因数 G を持つので、約分すると Gm = Gx となり x = m が得られる。

kx + 6 = 3x + 4k を解き、k = 3 の場合を扱う

k ≠ 3 のとき解は x = (4k − 6)/(k − 3)。k = 3 では方程式が 6 = 12 という矛盾に帰着するので、解はまったく存在しない。

底を揃えて log₂x + log₃x = 5 を解く

x = exp(5 ln2 ln3/(ln2 + ln3)) = 8.3729 であり、6.06 ではない。両方の対数を自然対数に直すと、ln x についての 1 次方程式になる。

−0.00143x + 0.06997 = 0.297 を解く（極小の小数係数）

厳密解は x = −22703/143 ≈ −158.7622。0.06997 を引いて −0.00143x = 0.22703 とし、負の係数で割ると答えの符号が反転する。

−10x² + 5x + 19 = 0 を解の公式で解く

解は x = (5 ± √785)/20、およそ 1.650893 と −1.150893。判別式 785 = 5 × 157 に平方因数はないので、根号はこれ以上簡単にならない。

符号を反転させて −4x² + 260x − 200 ≤ 0 を解く

x ≤ (65 − 5√161)/2 = 0.7786 または x ≥ (65 + 5√161)/2 = 64.2214。−4 で割ると不等号が反転して x² − 65x + 50 ≥ 0 となり、2 解の外側で成り立つ。

分配法則で −(5x − 4) + 2(x − 7) = −1 を解く

x = −3。先頭の裸のマイナスは −(5x − 4) を −5x + 4 に変える。同類項をまとめると −3x − 10 = −1、つまり −3x = 9 となり、−3 で割って x = −3 が得られる。

−6x + 3 > −39 を解いて不等号を反転させる

答えは x < 7。負の数 −6 で割ると向きが反転し、大なりが小なりに変わる——この 1 手が答えを決める。

−7x = 9 + 5 を解く：負の係数で割る

答えは x = −2。まず右辺を 14 にまとめ、次に −7 で割る。正を負で割った商は負であり、2 ではない。

t > 0 の条件で −t² − 6t + 28 = 0 を解く

t = −3 + √37、およそ 3.0828。−1 を掛けると t² + 6t − 28 = 0 となり解は −3 ± √37。条件 t > 0 が −3 − √37 を排除する。

−1/m + 1 − m = 0 を解く（実数解なし）

実数解は存在しない。複素数解は m = (1 + i√3)/2 と (1 − i√3)/2。分母の m を払うと m² − m + 1 = 0 となり、判別式は −3 である。

−1/x + 1 − m = −1 を m を用いて x について解く

解は x = 1/(2 − m) であり、m ≠ 2 のとき有効。逆数の項を孤立させて両辺の逆数をとる。m = 2 では分母が 0 になってしまう。

連立不等式 −2 < 8 − 2x ≤ −1 を解く

解は 9/2 ≤ x < 5。3 つの部分すべてから 8 を引くと −10 < −2x ≤ −9 となり、−2 で割ると 2 つの不等号が同時に反転する。

逆の演算をたどって −2x − 9 = −15 を解く

答えは x = 3。両辺に 9 を足して −2x = −6 とし、次に −2 で割る。負を負で割ると正になるので、答えは正の 3 である。

−2x² + 8 ≤ 0 を解いて不等号を反転させる

答えは x ≤ −2 または x ≥ 2。負の数 −2 で割ると不等号が反転して x² ≥ 4 となり、平方が 4 以上という条件は外向きの 2 本の半直線を表す。

−4x + 6 ≤ 18 を解いて不等号を反転させる

解は x ≥ −3。6 を引いてから −4 で割る。不等式を負の数で割ると向きが反転し、≤ が ≥ に変わる。

先に −4 をくくり出して −4x² + 20x − 24 = 0 を解く

x = 2 または x = 3。共通因数 −4 をくくり出すと、最高次の係数が 1 の単純な 2 次式 x² − 5x + 6 が残り、(x − 2)(x − 3) と因数分解できる。

−5m² + 12m + 8 = 3 − 5m を小数第 2 位まで解く

解は m = 3.67 と m = −0.27。m² の係数が正になる側に全項を集めると 5m² − 17m − 5 = 0 となり、判別式は 389 である。

負の数で割って −6x > 8 を解く

答えは x < −4/3。両辺を −6 で割ると不等号が反転し、得られる分数 −8/6 は −4/3、およそ −1.333 に約分される。

符号を反転させてから −t² − 6t + 28 = 0 を解く

解は t = −3 + √37 と t = −3 − √37。−1 を掛けると t² + 6t − 28 = 0 になり、判別式 148 は 2√37 に簡約される。

−x + 1 > 0 を解いて不等号を反転させる

答えは x < 1。1 を移項すると −x > −1 となり、−1 で割ると大なりが小なりに反転する。ここがこの問題の唯一の難所である。

符号を反転させて −x² + 4x − 3 ≥ 0 を解く

解は 1 ≤ x ≤ 3。−1 を掛けると不等号が反転して x² − 4x + 3 ≤ 0 となり、これは 2 解 1 と 3 の間（両端を含む）で成り立つ。

−x² + 6x − 10 > 0 を解く（解集合は空集合）

解は存在しない。x² − 6x + 10 < 0 に反転させると判別式が −4 となり、この下に凸の放物線は軸に決して届かず、常に正である。

(1/15)x² = (1/6)x + 1/10 を 30 倍して解く

解は x = 3 と x = −1/2。分母の最小公倍数 30 を掛けると 2x² = 5x + 3 となり、2x² − 5x − 3 を (2x + 1)(x − 3) と因数分解すれば終わる。

正の数 3 を掛けて (1/3)x < −4/3 を解く

x < −4、すなわち区間 (−∞, −4)。両辺に正の数 3 を掛けても不等号の向きは変わらない。向きが変わるのは負の数を掛けたときだけである。

2x⁴ − 9x³ + 3x² + 11x − 3 = 0 の解き方

4 つの解は x = −1, 3/2, 2 − √3, 2 + √3。有理根定理と組立除法で 4 次式を因数分解し、最後に解の公式を使う。

3 元連立 1 次方程式 x₁ − 3x₂ + 4x₃ = −4 を消去法で解く

唯一の解は x₁ = 2、x₂ = 2、x₃ = 0。第 2 式と第 3 式から x₁ を消去すると 2 元の連立が残り、ただちに x₃ = 0 が出る。

x₁ − 3x₃ = 8、2x₁ + 2x₂ + 9x₃ = 7、x₂ + 5x₃ = −2 を解く

唯一の解は x₁ = 5、x₂ = 3、x₃ = −1。3 式のうち 2 式には欠けている変数があるので、x₁ と x₂ を x₃ で表せば一気に解ける。

|x| + |x − 1| = 1 を解く：解は区間 [0, 1] 全体

左辺を x から 0 までと 1 までの距離の和と読む。その和が間隔 1 に等しくなるのは x が両者の間にあるときだけなので、解は区間 [0,1] 全体である。

入れ子の絶対値方程式 ||x| − 4| = 5 を解く

解は x = 9 と x = −9。外側の絶対値を外すと |x| − 4 = 5 と |x| − 4 = −5 に分かれ、後者は |x| = −1 となってどの実数も満たさない。

x⁴ − 24x² − 25 = 0 を解く：実数解は x = ±5 のみ

t = x² と置くと t² − 24t − 25 = 0 となり t = 25 または t = −1。実数の x を与えるのは t = 25 だけなので、x = 5 または x = −5 である。

配合の方程式 (3.75 × 98) + 4x = 3.8(98 + x) を解く

答えは x = 24.5。展開すると 367.5 + 4x = 372.4 + 3.8x。x の係数の差はわずか 0.2 なので、定数側の 4.9 の差を埋めるには新しい材料が 24.5 単位必要になる。

1 < x + 4 < 2 を 3 つの部分から 4 を引いて解く

答えは −3 < x < −2。3 つの部分すべてから 4 を引くだけで終わる。4 が両方の境界より大きいので、上下の境界はどちらも負になる。

有理根定理で 2x³ + 3x² − 8x + 3 = 0 を解く

解は x = −3、x = 1/2、x = 1。有理根定理が x = 1/2 を示すので 2x − 1 で割り切れ、商として x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1) が残る。

x² · x − 5 > 0 を 3 次不等式と見抜いて解く

答えは x > 5 の立方根、およそ 1.71。立方根はすべての実数で定義され狭義単調増加なので、答えは場合分けの無いひとつの半直線になる。

x³ − 3x + 2 = 0 を解いて重解を見抜く

答えは x = 1（重解）と x = −2。x − 1 で組立除法すると x² + x − 2 が残り、その中にもう一度 x − 1 という因数が含まれている。

x³ + 2x² + 7x + 4 = 0 を解く：実数解 1 つと複素数解 2 つ

実数解は x ≈ −0.6535952、複素数解は x ≈ −0.6732024 ± 2.3805031i。有理数解が無いので −1 と 0 の間に挟み込み、ニュートン法で精密化する。

連続する 3 整数を使って x³ + 3x² + 2x − 504 = 0 を解く

実数解は x = 7。この 3 次式は x(x+1)(x+2) = 504 であり、7×8×9 = 504 だからである。他の 2 解は複素数の −5 ± i√47 である。

小数を払って 0.02x² + 0.06x + 0.18 = 2.91 を解く

答えは x = (−3 ± √555)/2、およそ 10.279 と −13.279。2.91 を移項し、100 倍して 2x² + 6x − 273 = 0 とし、解の公式を使う。

8.35x − 4.52y = 9.03 と 2.49x + y = 16.83 → x = 4.34、y = 6.02

第 2 式はすでに y = 16.83 − 2.49x と y を孤立させている。代入すると 19.6048x = 85.1016 となり、x = 4.3409、y = 6.0213 が得られる。

1 − x/3 ≤ 1 − 2x/7 を解いて数直線に表す

答えは x ≥ 0、すなわち [0, ∞)。両辺の 1 を消し、−x/3 + 2x/7 を 21 で通分し、負の係数で割るときに不等号を反転させる。

分母を払って (2 − x − x)/3 < (1/3)(2 − 5x) を解く

解は x < 0。−x − x を −2x にまとめ、両辺に正の数 3 を掛けて（向きは変わらない）x の項を集める。

分母を払って (2x − x)/3 < (1/3)(9 − 5x) を解く

解は x < 3/2。2x − x を x にまとめ、両辺に 3 を掛けても不等号の向きは変わらず、項を整理すると 6x < 9 になる。

−x² + 4x − 4 < 0 を解く：x = 2 を除くすべての実数

解は x ≠ 2 のすべての実数。因数分解すると −(x−2)² となり、重解の点以外では常に負である。その点ではちょうど 0 になり、狭義の不等式が成り立たない。

定数 a を含む不等式 x² > a² を x について解く

答えは x < −|a| または x > |a|。a が負かもしれないので平方根を直接とることはできない。(x − a)(x + a) > 0 と因数分解すれば a のどの符号も一度に扱える。

不等式 x² log₂x < 100,000,000 を x について解く

答えは 0 < x < 2945.715457。左辺は x = 1 より上で狭義単調増加、その下では負なので、境界を数値でひとつ求めれば不等式全体が決まる。

対数を使って x > 0 における x^x > 1 を解く

答えは x > 1。対数をとると x ln(x) > 0 になり、x が正なので符号は ln(x) だけで決まる。それが正になるのはちょうど 1 より上である。

(5x − 7)/2 − (3x + 4)/3 = (x + 5)/6 + 1 を解く（x = 5）

解は x = 5。各項に分母の最小公倍数 6 を掛けると分数が一度にすべて消え、方程式は 9x − 29 = x + 11 になる。

0.8x + (10000 − x)(0.21) = 10000(0.25) を厳密に解く

答えは x = 40000/59、およそ 677.97。0.21 を分配し、x の項を 0.59x にまとめ、2100 を引いて割る。分数のまま扱えば丸めのずれを避けられる。

(1.5 + 0.1x)(800 − 20x) − 0.9(800 − 20x) ≥ 720 を解く

解は 4 ≤ x ≤ 30。共通のかっこ (800 − 20x) をくくり出すと (0.6 + 0.1x)(800 − 20x) ≥ 720 となり、整理すると x² − 34x + 120 ≤ 0 になる。

解の公式で 4.08x² − 652.85x + 10236 = 0 を解く

答えは x = 142.393 と x = 17.619。判別式は 426213.1225 − 167051.52 = 259161.6025 で、その平方根は 509.0792。これを 2a = 8.16 で割れば終わる。

40x⁵ − 51x⁴ + 10 = 0 の 5 つの解を数値で求める

実数解は x ≈ −0.603957、0.909281、1.110778 の 3 つで、これに −0.070551 ± 0.636284i の組が加わる。有理数解が無いので、この 5 次方程式は数値的に解くしかない。

因数分解で x⁵ + 30x⁴ + 75x³ − 3250x² − 15000x = 0 を解く

5 つの解は x = 0、10、−5、−15、−20。まず x をくくり出し、4 次式を (x² + 10x − 200)(x² + 20x + 75) に分ける。すべての解が整数である。

√(3x−8) − √(2x−3) + √(x−1) = 0 を移項してから解く

唯一の解は x = (5 + √33)/4、およそ 2.6861。片方の根号を移項して両辺を非負にし、2 回 2 乗してから無縁解を捨てる。

根号を孤立させて √(x + 7) − 11 = 2 を解く

解は x = 162。2 乗する前に根号を孤立させて √(x + 7) = 13 にする。−11 が付いたまま 2 乗することが誤答を生む原因である。

分数指数を使って √(x√x) = 2x を解く

解は x = 0 と x = 1/16。入れ子の根号を x^(3/4) に書き換えると方程式は x^(3/4) = 2x になり、x = 0 は別に扱う必要がある。

√(3x − 1) > 2x を解く——解集合は空集合

定義域 x ≥ 1/3 では両辺とも非負なので、2 乗すると 3x − 1 > 4x²、すなわち 4x² − 3x + 1 < 0 になる。この 2 次式は判別式が −7 で常に正なので、満たす x は存在しない。

比の方程式 (5x + 2) : (2x + 3) = 7 : 3 を解く

解は x = 15。比を分数に書き直してたすき掛けすると 15x + 6 = 14x + 21 となり、左辺に x が 1 つだけ残る。

0.3x − 0.4y = 2.2 と −0.2x − 0.5y = 1.6 を加減法で解く

解は (2, −4)。両式を 10 倍して小数を払い、x の係数を揃えるために 2 倍と 3 倍してから足すと −23y = 92 になる。

1/x + 1/y = 8 と 6/x + 12/y = 1 を置換で解く

答えは x = 6/95、y = −6/47。a = 1/x、b = 1/y と置くと逆数の連立が 1 次の連立になり、加減法で解いてから逆数をとる。

220x + 100y = 960 と x + y = 6 を代入法で解く

x = 3、y = 3。y = 6 − x を代入すると第 1 式が 120x + 600 = 960 に潰れ、加重平均による確認でも 6 単位が半々に分かれることが裏づけられる。

2x + y = 3 と 4x + 3y = 1 を代入法で解く

答えは x = 4、y = −5。第 1 式から y = 3 − 2x が分数なしで得られるので、ここでは加減法より代入法のほうがすっきりする。

3x + 2y = 12 と x − y = 1 を代入法で解く

解は x = 14/5、y = 9/5。x − y = 1 を x = y + 1 に変形して 3x + 2y = 12 に代入すると 5y + 3 = 12 となり、あとは後退代入するだけである。

3x + 2y = 5 と 2x − 3y = −1 を加減法で解く

答えは x = 1、y = 1。3 倍と 2 倍して y の項を +6y と −6y にし、足して y を消すと 13x = 13 からただちに答えが出る。

分数を払って ½x + ¼y = 4 と −4x − 3y = −2 を解く

解は (23, −30)。第 1 式を 4 倍して 2x + y = 16 とし、y = 16 − 2x を第 2 式に代入して 2x − 48 = −2 を解く。

⅔x − ¾y = ½ と 4(x−y) − 3(2x+y) = 17 → x = −3/2、y = −2

第 1 式を 12 倍して 8x − 9y = 6 とし、第 2 式を展開して 2x + 7y = −17 にする。x を消去すると y = −2、続いて x = −3/2 が得られる。

連立不等式 x − 3(x − 2) ≥ 4、(2x−1)/5 < (x+1)/2 → −7 < x ≤ 1

第 1 の不等式は −2 で割って向きを反転させると x ≤ 1、第 2 の不等式からは x > −7 が出る。解はその共通部分 (−7, 1] である。

x − 3y = 2 と 2x + 2y = 10 を加減法で解く

答えは x = 17/4、y = 3/4。第 2 式を 2 で割ると x + y = 5 になり、そのあとは引き算 1 回で x が消える。

x − y = 5 と 2x + y = 4 を足して解く

解は x = 3、y = −2。y の係数がすでに符号違いなので、2 式を足すだけで y が消え、1 手で 3x = 9 が残る。

x + y = −1 と 3x − 2y = 7 を代入法で解く

解は x = 1、y = −2。第 1 式を y について解いて代入すると、2 式が 5x + 2 = 7 という 1 つの 1 次方程式になる。

s = x+y、p = xy で x² + y² + xy = 7 と x + y + xy = 5 を解く

s と p で表すと連立は s² − p = 7 と s + p = 5 になり、s² + s − 12 = 0 が得られる。実数の x、y を与えるのは s = 3、p = 2 だけで、答えは 1 と 2 である。

x² + y² = 10 を経由して x⁴ + y⁴ = 82、xy = 3 を解く

(x²+y²)² = x⁴ + y⁴ + 2(xy)² = 82 + 18 = 100 なので x² + y² = 10。これから x + y = ±4、x − y = ±2 となり、実数解は (3,1)、(1,3)、(−3,−1)、(−1,−3) の 4 組である。

y = 4x − 2 と y = x + 3 を右辺どうし等号で結んで解く

解は x = 5/3、y = 14/3。どちらの式もすでに y を与えているので、4x − 2 = x + 3 とおいて x を求め、いずれかの直線に戻して y を出す。

逆数を掛けて (3/4)x − 3 = 0 を解く

答えは x = 4。両辺に 3 を足して (3/4)x = 3 とし、分数で割るのではなく逆数 4/3 を掛ける。あるいは先に 4 倍して分母を払ってもよい。

x をくくり出して x³ = 9x² + 22x を解く

解は x = −2、0、11。すべてを一方に移してから共通因数 x をくくり出し、残った 2 次式を (x − 11)(x + 2) と因数分解する。

x³ − 15x² + 75x − 125 = 0 を (x − 5)³ = 0 として解く

x = 5 の 3 重解。係数 1、−15、75、−125 は (x − 5)³ の二項展開の形そのものなので、3 重解が 1 つあるだけで他には何も無い。

(x − 1)³ を見抜いて x³ − 3x² + 3x − 1 = 0 を解く

唯一の解は x = 1 で、3 重解である。係数 1、−3、3、−1 は符号が交互に付いた立方の二項係数の並びなので、この 3 次式は (x − 1)³ = 0 に潰れる。

x³ − 3x² + 4 = 0 を (x − 2)²(x + 1) に因数分解して解く

解は x = 2（重解）と x = −1。有理数解を試すと x = 2 が見つかり、組立除法で x² − x − 2 が残る。これはさらに (x−2)(x+1) と分解できる。

有理根定理で x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 を解く

解は x = 1、2、3。6 の約数を試し、組立除法で (x − 1) を割り出し、x² − 5x + 6 を因数分解して、解と係数の関係で確かめる。

x = 0.18x + 604.8 を解いて 18% 分を取り除く

答えはおよそ 737.56。x の項をまとめると 0.82x = 604.8 になる。元の値は、定数部分を 1 から 18% を引いた値で割ったものである。

x = 0.3(200) + 0.3x を解く（循環小数になる答え）

答えは x = 600/7、およそ 85.71。x の項をまとめると 0.7x = 60 になり、分母の 7 こそが小数が終わらない理由である。

x の項をまとめて x = 0.35(200) + 0.35x を解く

答えは x = 70/0.65 = 1400/13、およそ 107.69。未知数が両辺にあるので、割る前に x の項をまとめて 0.65x = 70 にする。70/0.35 ではない。

x の項をまとめて x = 0.4(200) + 0.4x を解く

答えは x = 400/3、およそ 133.33。0.4x を左辺へ移すと 0.6x = 80 になる。自己言及の代償は 0.4 ではなく 1 − 0.4 という因数である。

x が内側に入った 12% と 10% の配分の 80% を解く

x = 262962.96。未知数が両辺に現れるので、まずかっこを展開する。式は 1.08x = 284000 に潰れる。

x = (500000−100000−50000−x) × 12% を x の項をまとめて解く

答えは x = 37,500。未知数がかっこの中にもあるので x = 0.12(350000 − x) と整理し、展開して 1.12x = 42000 とし、割れば終わる。

x⁴ + x³ + x² + x = 4.553 を数値的に解く

実数解は x = 1.0524735 と x = −1.6942810。因数分解した形 x(x + 1)(x² + 1) から実数解がちょうど 2 つであることが保証され、残る 2 つは複素数解である。

x⁴ + x³ + x² + x = 4.66 を小数第 7 位まで解く

実数解は x = 1.0620313 と x = −1.7023038。[1, 1.1] と [−1.75, −1.7] で挟み込み、二分法で詰めるとどちらも小数第 7 位まで確定する。

x⁴ + x³ + x² + x = 4553 の 2 つの実数解を求める

2 つの実数解は x = 7.9431476 と x = −8.4477787。左辺を x(x + 1)(x² + 1) と因数分解すれば、実数解がちょうど 2 つである理由がただちに分かる。

x − 0.2x = 6597.18 − 800 を厳密に解く

x = 7246.475 でちょうど割り切れる。左辺は 0.8x に潰れ、これは 20% 引きの代数である。0.8 で割ることは 1.25 を掛けることと同じである。

解の公式で (x − 0.16)x = 0.165 を解く

答えは x = 0.4940 と x = −0.3340。展開すると x² − 0.16x − 0.165 = 0 になり、判別式 0.6856 はまったく平方数ではない。

解の公式で (x − 0.16)x = 16.5 を解く

答えは x = 4.143 と x = −3.983。判別式は 0.0256 + 66 = 66.0256 で、その平方根 8.1256 はきりのよい数からはほど遠い。

(x − 0.19)/x = 0.165 を解いて基準額を求める

答えは x = 0.19/0.835 = 0.2275。これは標準的な粗利率の式である：固定費 0.19 に対して粗利率 16.5% が残るので、基準額は原価 ÷ (1 − 粗利率) となる。

x の項をまとめて x − 1 = 0.98x を解く

答えは x = 50。0.98x を引くと 0.02x = 1 が残る。0.02 は 50 分の 1 なので、0.02 で割ることは 50 を掛けることと同じである。

x の項をまとめて x − 1 = 0.99x を解く

答えは x = 100。0.99x を引くと 0.01x = 1 だけが残り、小さな係数 0.01 で割ることは 100 を掛けることと同じである。

10 倍して (x−1)/2 = 2 − (x+2)/5 を解く

答えは x = 3。各項に最小公倍数 10 を掛けて 5(x−1) = 20 − 2(x+2) とし、両辺を丁寧に展開して項をまとめると、一気に 7x = 21 に到達する。

分母を払って x − 1/x = 3 を解く

答えは x = (3 + √13)/2 と (3 − √13)/2。x を掛けると x² − 3x − 1 = 0 になり、どちらの解も 0 ではないので無縁解は生じない。

(x − 1)·0.6 + 3 = 51203.3 を解いて厳密な分数で答える

厳密解は x = 512009/6 = 85334.83333…。3 を引き、5/3 を掛けて 0.6 で割り、最後に 1 を足す。循環小数になることが、厳密値が有限小数でないことを示している。

x − (0.8x − 5000)(0.1) = 7232 を解いて総額を求める

答えは x = 168300/23、およそ 7317.39。かっこを展開すると 0.08x − 500 になり、マイナスを分配すると方程式は 0.92x + 500 = 7232 になる。

y = x²/(x+2) と置いて (x − 2x/(x+2))² + 4x²/(x+2) = 5 を解く

かっこは x²/(x+2) に簡約されるので、y = x²/(x+2) と置くと方程式は y² + 4y − 5 = 0 になる。使えるのは y = 1 だけで、x = 2 または x = −1 が得られる。

x の項が負になる x − 2x + 2 ≥ 1 を解く

解は x ≤ 1。x と −2x をまとめると −x ひとつになり、最後の段階で −1 で割ると不等号が ≥ から ≤ に反転して x ≤ 1 が得られる。

1 手で解く不等式 x − 3 > 5（両辺に 3 を足す）

答えは x > 8。両辺に 3 を足して x を孤立させる。足し算だけで負の数を掛けていないので、不等号の向きは変わらない。

分母を払って (x−3)/4 < 6 − (3−4x)/2 を解く

解は x > −3。最小公倍数 4 を掛けると x − 3 < 24 − 2(3 − 4x) になり、分数の前のマイナスが中の 2 項の符号を反転させる。

x − (0.8x − 5000)(0.03) = 6494 を解く（控除後の手取り）

答えは x = 6500。かっこを展開すると 0.024x − 150 になり、マイナスを分配すると方程式は 0.976x + 150 = 6494 に潰れ、解はちょうど整数になる。

負の数を掛ける x − 3(x − 2) ≥ 4 を解く

解は x ≤ 1。−3 を x − 2 に分配すると −3x + 6 になり、得られる −2x ≥ −2 は両辺を −2 で割るときに向きが反転する。

1 手で解く不等式 x − 4 > 11（両辺に 4 を足す）

答えは x > 15。両辺に 4 を足して引き算を打ち消す。負の数を掛ける操作が無いので、大なりの向きは変わらない。

最小公倍数を掛けて (x−4)/3 < (2x−1)/2 を解く

解は x > −5/4。両辺に 6 を掛けると 2(x − 4) < 3(2x − 1) になり、答えは小数ではなく厳密な分数のままに保たれる。

平方が等しい規則で (x − 4)² = (3 − x)² を解く

x = 7/2。平方が等しいとは底が等しいか符号違いかということであり、「等しい」場合は x = 3.5 を与え、「符号違い」の場合は −4 = −3 という偽の式に潰れる。

1 手で解く不等式 x − 7 > 5（両辺に 7 を足す）

答えは x > 12。両辺に 7 を足せば x が孤立する。足し算は不等号の向きを決して変えないので、大なりの記号はそのまま残る。

x − x/5 = −4/5 を x の項をまとめて解く（答え x = −1）

答えは x = −1。左辺の 2 項はどちらも x を含むので (4/5)x にまとめてから割る。両辺を 5 倍すれば分数を完全に避けられる。

x − y = 8 を x について・y について解き、解の個数を調べる

変形すると x = y + 8、y = x − 8。未知数 2 個に対して式が 1 本しかないため解は無数にあり、平面上では傾き 1 の直線をなす。

x/(0.33668 + x) = 0.85 を解く（答えは 0.33668 の 17/3 倍）

答えは x = 1.9078533…、すなわち 0.33668 のちょうど 17/3 倍。たすき掛けで 0.15x = 0.286178 となり、0.15 で割ると割り切れず循環小数になる。

x/(0.33668 + x) = 0.95 を解く（答えは 6.39692）

答えは x = 6.39692、すなわち 0.33668 のちょうど 19 倍。分母を払うと 0.05x = 0.319846 となり、この「残り 5 パーセント」こそが 19 倍という係数を生む。

x/(10 + x) = 0.97 を解く（答えは 970/3 ≈ 323.33）

答えは x = 970/3、およそ 323.33。たすき掛けで 3x = 970 となり、この 3 は 100 − 97 から来ている——だからこそ小数が循環する。

x/(10 + x) = 0.98 を解く（答えは x = 490）

答えは x = 490。たすき掛けすると 50x = 49(10 + x) となり x = 490 が出る。98 パーセントを達成するには、固定分の 10 に対して 49 倍の x が要る。

不等式 x/2 > x − 1 を解く（答えは x < 2）

答えは x < 2。両辺を 2 倍して分数を払い、項を集めると −x > −2 となる。ここで −1 を掛けるため不等号の向きが反転し x < 2 が得られる。

x/4 − 3/2 + 2x = 7/2 + 3x を解く（答えは −20/3）

答えは x = −20/3、およそ −6.6667。すべての項を 4 倍すれば分母が一度に消えて 9x − 6 = 14 + 12x となり、整理して −20 = 3x が得られる。

(x/5 + 1)(x/2) = 2488 を解の公式で解く

答えは x = (−5 + √99545)/2 = 155.2538 と x = (−5 − √99545)/2 = −160.2538。分母の 5 と 2 を払うと、この積は二次方程式 x² + 5x − 24880 = 0 になる。

比例式 x/8 = 11/6 を厳密に解く（答えは 44/3）

答えは x = 44/3、すなわち帯分数で 14 と 2/3、小数ではおよそ 14.667。両辺を 8 倍して 88/6 を得て、共通因数 2 で約分すれば終わる。

x/(x+5) − 25/(x²+25) = 0 を解く（三次式が x³ = 125 に潰れる）

分母を払うと x³ + 25x − 25x − 125 = 0 となり x³ = 125。実数解は x = 5 ただ 1 つで、三次方程式の残り 2 解は虚数解になる。

x/y = 0.99 のとき y を x で表す（答えは y = 100x/99）

答えは y = 100x/99、およそ 1.0101x。両辺に y を掛けると x = 0.99y となり、0.99 で割れば小数が厳密な分数 100/99 に変わる。

(x + 1)³ + (x − 2)³ − 2x²(x − 1.5) = 3 を展開して解く

答えは x = 2/3。2 つの 3 乗を展開すると 2x³ − 3x² + 15x − 7 となり、引かれる項が 2x³ − 3x² を消すので、残るのは一次方程式 15x − 7 = 3 である。

(x + 1) × 1.76566975 = 25 を厳密に解く

答えは x = 13.15893318、厳密には 92937321/7062679。両辺を小数点以下 8 桁の係数で割ってから 1 を引く。途中で丸めると結果がずれる。

(x+1)(x−4) ≤ ¼ を解く（境界は (3 ± √26)/2）

解は (3 − √26)/2 ≤ x ≤ (3 + √26)/2、およそ −1.0495 から 4.0495。展開して 1/4 を移項し、分母を払って 4x² − 12x − 17 に解の公式を使う。

(x + 1)(x − 4) < 0 を 3 つの区間で調べて解く

解は −1 < x < 4。2 つの因数の積が負になるのは符号が互いに逆のときだけで、それが起こるのは 2 つの解のちょうど間である。

両辺に文字がある不等式 x + 10 < 3x + 6 を解く

解は x > 2。x を引き、次に 6 を引いて 4 < 2x とし、正の数 2 で割る。得られた 2 < x を文字が左に来る形に書き直せば x > 2 となる。

x + 10x + x + x = 104 を係数を数えて解く（答えは 8）

答えは x = 8。4 つの項の係数は 1, 10, 1, 1 で、その和は 13 になるので、方程式は 13x = 104 に帰着する。

1 手で解く不等式 x + 2 < 6（両辺から 2 を引く）

答えは x < 4。両辺から 2 を引いて x を孤立させる。引き算は不等号の向きを変えないので、不等号はそのままの向きで残る。

x + 29 > 3x + 12 を解く（境界が分数 17/2 になる）

解は x < 17/2。x の項を右辺に集めると 17 > 2x となり、2 で割ると小数ではなく厳密な分数 17/2 が残る。

(x + 4)(x² − 4x + 16) − x(x + 5)(x − 5) = 264 を公式で解く

答えは x = 8。三次の項が両方とも消える。第 1 の積は立方の和 x³ + 64、第 2 の積は x³ − 25x なので、残るのは一次方程式 25x + 64 = 264 である。

因数分解できない (x + 8)(x + 3) = 9 を解く

解は x = (−11 + √61)/2 と x = (−11 − √61)/2。展開すると x² + 11x + 15 = 0 となり、判別式 61 は平方数ではない。

t = x + 1/x とおいて 7(x + 1/x) − 2(x² + 1/x²) = 9 を解く

x² + 1/x² = t² − 2 なので、方程式は 2t² − 7t + 5 = 0 になり t = 1 または 5/2。実数の x を持つのは t = 5/2 だけで、x = 2 と x = 1/2 が得られる。

x + √4 − 3x = −2 を根号を先に計算して解く（答えは 2）

答えは x = 2。√4 = 2 は x を含まない定数なので、この式はただの一次方程式である。−2x + 2 = −2 から 2 手で x = 2 が出る。

連立方程式 x + y = 1/12, 8x + 15y = 1 を代入法で解く

答えは x = 1/28、y = 1/21。x = 1/12 − y を代入すると 2 つ目の式は 2/3 + 7y = 1 になり y = 1/21 が出る。典型的な仕事算の連立である。

x² = 2x + 17 を解の公式で解く（答えは 1 ± 3√2）

答えは x = 1 + 3√2 と x = 1 − 3√2。判別式は 72 で、√72 を 6√2 に簡単にすることで分数がきれいに約分される。

x² − 15 = (x + 15)² を解く（二次が一次に変わる）

答えは x = −8。右辺を展開すると x² + 30x + 225 となり、x² どうしが打ち消し合うので、残るのは一次方程式 30x = −240 である。

x² − 2√3 = 0 を解く（答えは二重根号）

解は x = ±√(2√3)、およそ ±1.8612。定数項が無理数なので答えも二重根号になり、指数で書けば 2^(1/2)·3^(1/4) に等しい。

x² − 25 = 0 を平方の差として因数分解して解く

答えは x = 5 と x = −5。25 を 5² と見れば左辺は (x − 5)(x + 5) になる。平方根をとるより優れているのは、2 つの符号が自動的に現れる点である。

x² − 2x − 4 = 0 を解く（答えは 1 ± √5）

解は x = 1 + √5 と x = 1 − √5。判別式は 20 で、√20 を 2√5 に簡単にすることで分数全体がきれいに約分できる。

x² − 2x + 1 > 0 を解く（x = 1 以外のすべての実数）

解は x = 1 を除くすべての実数。左辺は完全平方式 (x − 1)² であり、重解 x = 1 のところ以外では常に正になる。

x² − 3x − 10 ≥ 0 と x² − 1 ≤ 0 を解いて共通部分を取る

1 つ目の解は (−∞, −2] ∪ [5, ∞)、2 つ目は [−1, 1]。共通部分は空集合なので、両方を同時に満たす x は 1 つも存在しない。

x² − 3x − 10 ≤ 0 を解く（答えは −2 ≤ x ≤ 5）

解は −2 ≤ x ≤ 5。因数分解 (x − 5)(x + 2) から、下に凸の放物線が軸より下に来るのは 2 解の間だけだと分かる。端点も解に含まれる。

x² − 4x + 3 = 0 を因数分解して解く（答えは 1 と 3）

答えは x = 1 と x = 3。−1 と −3 は掛けて 3、足して −4 になるので、この二次式は (x − 1)(x − 3) ときれいに因数分解できる。

x² − 4y + 1 = 0 を y について解き、曲線を見分ける

答えは y = (x² + 1)/4。−4y の項を残して他を移項し、−4 で割ると符号が両方とも反転する。結果は頂点 (0, 1/4) の下に凸の放物線である。

x² − 5x + 6 = 0 を 2 つの負の数で因数分解して解く

解は x = 2 と x = 3。定数項が正で一次の項が負なら、因数の 2 数はどちらも負になる。実際 −2 × −3 = 6、−2 + −3 = −5 である。

x² − 6x − 5 = 0 を解の公式で解く（答えは 3 ± √14）

答えは x = 3 + √14 と 3 − √14。判別式は 56 で、√56 を 2√14 に簡単にすると因数 2 が分母と約分できる。

x² − 7x − 6 > 0 を解く（境界が無理数になる）

解は x < (7 − √73)/2 ≈ −0.7720 または x > (7 + √73)/2 ≈ 7.7720。判別式 73 は素数なので、境界の値は無理数のまま残る。

実数の助変数 a すべてについて x² − ax + 1 < 0 を解く

答えは |a| > 2 で場合分けされる。解は (a − √(a²−4))/2 と (a + √(a²−4))/2 の間の開区間であり、−2 ≤ a ≤ 2 のときは空集合になる。

x² − x − 42 = 0 を 2 数を見つけて因数分解して解く

答えは x = 7 と x = −6。積が −42、和が −1 になる 2 数を探すと −7 と 6 が見つかり、(x − 7)(x + 6) = 0 と因数分解できる。

x² + 17x − 120 = 0 を解の公式で解く

答えは x = (−17 + √769)/2 ≈ 5.3654 と x = (−17 − √769)/2 ≈ −22.3654。判別式 769 は平方数ではないので、この二次式に整数の因数分解は存在しない。

x² + 2x − 1 = 0 を平方完成で解く（答えは −1 ± √2）

答えは x = −1 + √2 と −1 − √2。一次の係数が偶数なので、ここでは (x + 1)² = 2 に書き換えるほうが解の公式より速い。

x² + 3x = −2 を移項して因数分解で解く

解は x = −1 と x = −2。両辺に 2 を足すと x² + 3x + 2 = 0 となり、1 × 2 = 2、1 + 2 = 3 なので (x + 1)(x + 2) と因数分解できる。

x² + 3x − 18 = 0 を 2 つの一次式に因数分解して解く

答えは x = −6 と x = 3。積が −18、和が +3 になる 2 数は 6 と −3 なので、この二次式は (x + 6)(x − 3) = 0 と因数分解できる。

x² + 3x + 6 = 1 を解く（答えは虚数解）

答えは x = (−3 ± i√11)/2。1 を引くと x² + 3x + 5 = 0 となり、判別式は −11。実数解はまったく存在せず、共役な複素数の組だけが解になる。

x² + 4x − 21 = 0 を符号の異なる 2 数で因数分解して解く

解は x = −7 と x = 3。定数項が負なら因数の 2 数は符号が逆になる。実際 7 × (−3) = −21、7 + (−3) = 4 である。

x² + 5x + 6 = 0 を (x+2)(x+3) に因数分解して解く

答えは x = −2 と x = −3。掛けて 6、足して 5 になる 2 数は 2 と 3 なので因数分解でき、積が 0 になる条件から 2 つの解が得られる。

x² + x = 210 を (x+15)(x−14) に因数分解して解く

答えは x = 14 と x = −15。210 を移項すると x² + x − 210 = 0 となり、15 と −14 は積が −210、和が 1 で x の係数に一致する。

x² + x − 1 ≥ 0 を解く（境界に黄金比が現れる）

解は x ≤ (−1 − √5)/2 ≈ −1.6180 または x ≥ (−1 + √5)/2 ≈ 0.6180。この 2 つの境界の値は、ちょうど黄金比とその共役の符号を変えたものである。

x(1 + 10%) = 518 を解いて値上げ前の金額を求める

答えは x = 5180/11 = 470.909091 であり、きりのよい 470 ではない。518 を 1.10 で割ると割り切れず、1.1 × 470 = 517 は 518 に 1 単位届かない。

60x = 35 を解いて 7/12 まで約分する

答えは x = 7/12、およそ 0.5833。両辺を 60 で割って 35/60 を得たあと、分子と分母から共通因数 5 を約分する。

x(75 − 2x − 1) = 690 に実数解が存在しない理由

実数解は存在しない。x² − 37x + 345 の判別式は −11 である。複素数の解は (37 ± i√11)/2 なので、その面積を持つ長方形は存在しない。

x × 75 × 365 ÷ 1000 = 137.1 を厳密に解く

答えは x = 1828/365 = 5.00822 であり、ちょうど 5 ではない。75 × 365 ÷ 1000 を 27.375 にまとめると 27.375x = 137.1 となるが、27.375 × 5 は 136.875 で 0.225 足りない。

x(−5x + 250) = 2625 を −5 でくくって解く

答えは x = 15 と x = 35。全体を −5 で割ると x² − 50x + 525 = 0 になり、(x − 15)(x − 35) ときれいに因数分解できる。

u = x² と置いて x⁴ − 6x² + 8 = 0 を解く

4 つの解は x = −2, −√2, √2, 2。u = x² と置くと四次式が u² − 6u + 8 = 0 になり、(u − 2)(u − 4) と因数分解できる。

y = log x と置いて x^√(log x) = 10^125 を解く

答えは x = 10^25。y = log x と置くと方程式は y^(3/2) = 125 になり、y = 125^(2/3) = 25、したがって x = 10^25 が得られる。

x⁷ + x⁵ + x³ + x = 4.66 を範囲を挟んで二分法で解く

ただ 1 つの実数解は x ≈ 1.038016。左辺は狭義単調増加なので解はちょうど 1 つ存在し、f(1) = 4 と f(1.1) = 5.990 がそれを挟み込む。

(3x² − 15x + 5)/(−3x) を −x + 5 − 5/(3x) に分ける

−3x で割るとすべての項の符号が変わる。3x² は −x に、−15x は +5 に、定数の 5 は −5/(3x) になる。

(4x¹⁰ − 5x⁹ − 20x⁴)/(4x²) を x⁸ − (5/4)x⁷ − 5x² に分ける

分子の各項を 4x² で個別に割る。指数は引き算、係数は割り算をすればよい。分数が残るのは真ん中の項だけで、係数は 5/4 になる。

分子を書き換えて x/(x − 2)² を分解する

分解の結果は 1/(x − 2) + 2/(x − 2)²。x を (x − 2) + 2 と書き直せば、各項が分母と約分でき、連立方程式を立てる必要がまったくない。

√(−19) × √(−19) が +19 ではなく −19 になる理由

積は −19。まず √(−19) = i√19 と書き直すことが不可欠である。根号の中が負のときは √a·√b = √(ab) の法則が成り立たないからである。

(4√3 a + √3 a²)² を展開して多項式にする

展開すると 3a⁴ + 24a³ + 48a²。先に √3 a をくくり出せば問題は 3a²(a + 4)² に変わり、2 乗によって根号が完全に消える。

3×3 行列 2 つの (A + C)² を、先に足してから 2 乗して求める

A + C の各行は (19,3,3)、(3,5,3)、(3,37,3) で、その 2 乗の各行は (379,183,75)、(81,145,33)、(177,305,129)。成分ごとに足してから、その和を自分自身と掛ける。

x²((8.9−x)²−64) = (631.9−79x)² の実数解は 2 つだけ

この 4 次方程式の実数解は x ≈ −78.5149849 と x ≈ 80.4985052 の 2 つだけ。その間では 4 次式が約 −3992 を超えないので、[0, 80] のどこにも解は存在しない。

2 つの三次式を引き算して結果の次数を答える

差は −3x³ + 6x² + 7x − 18 で、次数は 3。まず 2 つ目の多項式にマイナスを分配し、その後で同類項をまとめる。

(6x + 5)/(x² − 8x + 12) から 6/(x − 2) を引いて簡単にする

差は 41/((x − 2)(x − 6))。分母の二次式を因数分解すると通分の相手が見え、x の項が打ち消し合って分子は定数だけになる。

−2x³y² + 4x²y³ − 3xy⁴ から (6x⁴y − 5x²y³ − y⁵) を引く

差は −6x⁴y − 2x³y² + 9x²y³ − 3xy⁴ + y⁵。2 つ目のかっこの全項の符号を反転させる手順と、2 変数でどの項が同類項になるかを押さえる。

(−2 + 8i) − (2 − 7i) を a + bi の形で書く

答えは −4 + 15i。2 つ目の複素数の両方の部分にマイナスを分配してから、実部どうし、虚部どうしを別々に足す。

∛(16xy³) − y∛(128x) を計算する

差は −2y∛(2x)。それぞれの根号から立方数 8 と y³ を取り出せば、どちらの項も ∛(2x) を共通に持つ同類の根号になる。

(9n³ − n⁷ − 9) から (8n³ − n⁷ − 11) を項ごとに引く

差は n³ + 2。2 つ目のかっこ全体にマイナスを分配し、2 つの n⁷ が打ち消し合うのを確認してから、残りの同類項をまとめる。

f = 2 − x²、g = x² + 4x − 60 のとき (f − g)(x) を求める

答えは −2x² − 4x + 62。難所はマイナスを g の 3 項すべてに分配することだけで、4x は −4x に、−60 は +60 に変わる。

(2x+1)/(x+5) − (3x−2)/(x+4) を 1 つの分数にまとめる

答えは (−x² − 4x + 14)/((x+5)(x+4))。たすきに掛けて共通分母にそろえ、両方の積を展開し、マイナスを 3 項すべてに分配する。

x と y の 2 つの多項式を引いて次数を答える

差は x⁴y² − 15x³y − 14y + 8x で、次数は 6。マイナスを 4 項すべてに分配し、同類項をまとめてから、各項の指数を足して次数を求める。

(2x³ + 3xy − 7y²) を引いて結果の次数を答える

差は −x³ − 10xy − 2y² で、次数は 3 の多項式になる。マイナスを分配し、x³、xy、y² の項をそれぞれ組にしてから、最大の総次数を読み取る。

6s²t − 2st² と 4s²t − 3st² の和について正しいこと

和は 10s²t − 5st² で、次数 3 の二項式である。まとめられるのは同類項だけで、各項の次数は指数の和 2 + 1 = 3 であって 2 ではない。

等差数列の偶数番目の項の和 u2 + u4 + … + u2020

連立条件 u3 + u5 − u6 = 6 と u8 + u4 = 52 から d = 5、u1 = 1 が得られる。偶数番目の項は公差 10 の等差数列をなし、1010 項の和は 5101510 になる。

連立不等式が解を持たない整数 m の総和

答えは 6（m = 0, 2, 4）。連立が解を持たないのは m ≥ −1 のときで、x + m − 2 = 2 − x が非負整数解を持つのは m が偶数かつ m ≤ 4 のときである。

等差数列をなす 9 つの角における初項の候補の総和

答えは 60 で、有効な初項 24 と 36 の和である。9 つの角の合計は 540 なので中央の項は 60 になり、78 という条件から (k − 5)d = 18、すなわち d は 18 の約数となる。

(x²+4x−12)√(x+5) = 0 を解いて解の和を求める

解の和は −3。定義域 x ≥ −5 が x = −6 を除き、根号の因子そのものが x = −5 という解を与えるので、解は 2 と −5 になる。

(x² + 4x − 12)√(x + 5) = 0 の解の総和

総和は −3。定義域 x ≥ −5 によって二次式の解 x = −6 は棄却され、二次の因数から x = 2、根号の因数から x = −5 が残る。

(x² − 5x)√(4 + 3x − x²) = 0 の解の総和

総和は 3。定義域は [−1, 4] なので候補の x = 5 は棄却され、2 つの因数について積が 0 になる条件から x = −1, 0, 4 だけが残る。

(1+x)²⁷ + … + (1+x)³⁶ = 70/3 を等比級数として解く

実数解は x ≈ 0.027167 と x ≈ −2.122636 の 2 つ。y = 1 + x と置くと左辺は等比級数 y²⁷(y¹⁰ − 1)/(y − 1) になるが、単調増加なのは y > 0 のときだけで、負の側にもう 1 つ解が隠れている。

|x+1| + |x−1| ≤ 3 を 3 つの場合に分けて解く

解は区間 −3/2 ≤ x ≤ 3/2。x = −1 と x = 1 で場合分けすると、和はそれぞれ −2x、定数 2、2x になり、効いてくるのは外側の 2 つの場合だけである。

x = (√3+1)/(√3−1) のとき x + y、xy、x³ + y³

有理化すると x = 2 + √3、y = 2 − √3 なので x + y = 4、xy = 1。対称式の変形から x² + y² = 14、x³ + y³ = 52、4x² + 7xy + 4y² = 63 が出る。

x = 1/(√5−2)、y = 1/(√5+2) のとき x + y = 2√5、xy = 1、x² + y² = 18

有理化すると x = √5 + 2、y = √5 − 2 になるので、和は 2√5、積は 1。したがって x² + y² = (x+y)² − 2xy = 20 − 2 = 18 となる。

x³ − 7x + 6 を −2x + 1 で組立除法する（最高次係数が 1 でない除数）

商は −x²/2 − x/4 + 27/8、余りは 21/8。まず除数を −2(x − 1/2) と分け、x − 1/2 で割ってから、その商を −2 で割る。

2t³ − t − 15 を t − 1 で組立除法する（余りは −14）

商は 2t² + 2t + 1、余りは −14。欠けている t² の項は 0 を置いて補う必要があり、係数の並びは 2, 0, −1, −15 になる。

2t² − t − 15 を t − 1 で組立除法する（余りは −14）

商は 2t + 1、余りは −14 なので 2t² − t − 15 = (t − 1)(2t + 1) − 14 となる。最高次係数が 2 でも問題はなく、条件が要るのは除数のほうだけである。

2x³ + 2x² + 2x − 1 を x − 1 で組立除法する

商は 2x² + 4x + 6、余りは 5。除数 x − 1 から c = 1 となり、剰余の定理でも余りの 5 が独立に確認できる。

組立除法で x³ − 2x + 3 を x − 2 で割る

組立除法により商は x² + 2x + 2、余りは 7。欠けている x² の項に 0 を置く扱いと、下ろして掛けて足す各行の動きを順に見ていく。

x³ − 2x² − 4x + 8 を x − 2 で組立除法する（余りは 0）

商は x² − 4、余りは 0 なので、x − 2 はこの 3 次式を割り切る。c = 2 とし、1 を下ろしてから係数を掛けて足していく。

x³ − 4x + 5 を x − 2 で組立除法する（余りは 5）

商は x² + 2x、余りは 5 なので、この 3 次式は (x − 2)(x² + 2x) + 5 に等しい。欠けている x² の項を 0 で埋め、表では c = 2 を使う。

x³ − 4x² + x + 6 を x + 1 で組立除法して因数分解する

商は x² − 5x + 6、余りは 0 なので、この 3 次式は (x + 1)(x − 2)(x − 3) と因数分解できる。x + 1 は表では c = 1 ではなく c = −1 になる点に注意。

項の欠けた x³ − x² − 4 を x − 2 で組立除法する

商は x² + x + 2、余りは 0。この 3 次式には x の項がないので、表を回す前にその列へ 0 を置いて埋めなければならない。

x³ + 3x² − 6x − 8 を x − 1 で組立除法する（余りは −10）

商は x² + 4x − 2、余りは −10 なので、この 3 次式は (x − 1)(x² + 4x − 2) − 10 に等しい。余りが 0 でないので x − 1 は因数ではない。

8(x+y) = 3520 と 6x + 12y = 3480 を加減法で解く

答えは x = 300、y = 140。それぞれを 8 と 6 で割ると x + y = 440、x + 2y = 580 になり、引き算するだけで y が直ちに求まる。

2(x−y)+x=95 と (x−y)+3(x+y)=150 を代入法で解く

答えは x = 35、y = 5。かっこを展開すると 3x − 2y = 95 と 2x + y = 75 になり、2 つ目を y について解いて代入すれば 1 行で 7x = 245 が出る。

共通部分が空集合になる二次不等式の連立

実数解は存在しない。1 つ目の不等式の解は −3 < x < 2、2 つ目は x < −6 または x > 2 であり、この 2 つの解集合は決して重ならない。

2 つの二次条件のもとで x + y − 3z = 0 を解く

z = 14/13 で、組は ((28 ∓ √595)/13, (14 ± √595)/13)。要点は、真ん中の式が 3 つ目の式の 2 倍に整理できると見抜くことで、それによって z が直ちに定まる。

x² + y = 2 と −x² + y = 10 に実数解がない理由

2 式を足すと 2y = 12 なので y = 6。それを代入すると x² = −4 となり、これを満たす実数は存在しない。この連立に実数解はない。

銅 40%、55%、45% から第 3 の合金の質量を求める

第 3 の合金は 150 kg。銅で釣り合いをとると 0.40(100) + 0.55m = 0.45(100 + m) となり、第 2 の合金は 50 kg、最初の 100 kg と合わせて 150 kg になる。

和が 51 になる連続する 3 つの整数

答えは 16, 17, 18。3 数を n−1, n, n+1 と置けば和はちょうど 3n になるので、n = 51/3 = 17 と真ん中の数が直ちに出る。

3 元連立方程式で 1 本ずつの合計金額を求める

1 本ずつの合計は 6.00。白 2 本と黄 1 本が 5、白 2 本と赤 3 本が 10.50、黄 3 本と赤 2 本が 11 という 3 本の式を代入法で解く。

a+b+c=100, 600a+c=1200, 600b+599c=0 に解がない理由

この連立は矛盾している。b と c を消去すると a がすべて打ち消し合い、偽の等式 2 = 100 が残るので、3 式すべてを満たす組 (a, b, c) は存在しない。

x + y = z と小数係数の 2 式からなる 3 元連立を解く

答えは x ≈ 0.21936、y ≈ −0.14766、z ≈ 0.07169。先に z = x + y を代入すれば 3 式が 2 式になり、25.33333 を 76/3 と読めば厳密な分数解も得られる。

最前列 15 席、1 列ごとに 4 席増える 30 列の総座席数

各列の席数は初項 u1 = 15、公差 d = 4、項数 n = 30 の等差数列をなす。最後の列は 131 席で、合計は (30/2)(15 + 131) = 2190 席になる。

底面を 3 倍にした 2 つのプールに必要な水の量

合計の体積は 16.6xy 立方メートルで、x = 5、y = 3 のとき 249 立方メートル。底面の縦横を両方 3 倍にすると底面積は 3 倍ではなく 9 倍になる。

6 分の遅れから列車のもとの速さを求める（答え 77 km/h）

答えは 77 km/h。距離を 10v と置くと残りの区間がちょうど v キロメートルになり、遅れの式が v/(v − 7) = 11/10 に簡約される。

f(x) = 2|x + 6| − 1 を右に 1、下に 7 平行移動する

結果は f(x) = 2|x + 5| − 8。右に 1 移すと x が x − 1 に置き換わり、頂点は (−6, −1) から (−5, −1) へ動く。さらに 7 下げて (−5, −8) となる。

f(x) = |x − 1| + 5 を右に 2、上に 4 移すと |x − 3| + 9

結果は f(x) = |x − 3| + 9 で、頂点は (1, 5) から (3, 9) へ動く。絶対値の中の 1 は 3 に、外の 5 は 9 に、2 つの定数がともに変わる。

f(x) = |x − 4| − 3 を右に 2、上に 6 平行移動した式

結果は f(x) = |x − 6| + 3 で、頂点は (4, −3) から (6, 3) へ動く。横の移動は絶対値の中で引き算、縦の移動は外で足し算になる。

f(x) = |x − 4| を右に 2、上に 6 移して |x − 6| + 6 を得る

結果は f(x) = |x − 6| + 6 で、頂点は (4, 0) から (6, 6) へ動く。もとの式に定数項が無いため、外側の定数は上への移動がそのまま与える。

f(x) = |x − 5| を左に 4 平行移動すると答えは |x − 1|

x を x + 4 に置き換えると |(x + 4) − 5| = |x − 1| となり、頂点は x = 5 から x = 1 へ動く。左への移動では関数の中でプラスを使う。

f(x) = |x + 2| を下に 3 平行移動して |x + 2| − 3 にする

縦の平行移動は絶対値の外で引くので |x + 2| − 3 となる。頂点は (−2, 0) から (−2, −3) へ下がり、グラフは x 軸を 2 点で横切るようになる。

f(x) = |x| + 10 を左に 8、下に 2 平行移動する

結果は f(x) = |x + 8| + 8。横の移動は絶対値の中に逆の符号で入り、縦の移動は外に同じ符号で付く。頂点は (0, 10) から (−8, 8) へ動く。

基本形 |x| を右に 2、上に 4 平行移動する手順

結果は f(x) = |x − 2| + 4 で頂点は (2, 4)。基本形 |x| から出発すると規則が見える。h は内側にマイナスで、k は外側にプラスで入る。

p = 1 のとき (p → ((¬p∨r)∧¬s)) ∧ (¬s → (¬r∧p)) を真にする割り当ては無い

q, r, s のどの選び方でも真にならない。p = 1 では第 1 の連言項が r ∧ ¬s に、第 2 が s ∨ ¬r に簡約され、この 2 つの要求は互いに矛盾する。

120 km を走る 2 人の自転車：速さの差 3 km/h、時間の差 2 時間

速さは 12 km/h と 15 km/h。120/x − 120/(x+3) = 2 を整理すると x² + 3x − 180 = 0 となり、正の解は x = 12 である。

x + 3y = 6 と x − y/3 = 0 を代入法で厳密に解く

答えは x = 3/5、y = 9/5。第 2 式からは分母を払わずに x = y/3 が得られ、代入すると第 1 式は一気に (10/3)y = 6 になる。

0.055x − 570 が 0.055(x − 78000) + 1280 に決してならない理由

解は存在しない。どちらの式も傾きが 0.055 なので差はどの x でも定数 2440 になり、グラフは決して交わらない平行な 2 直線である。

仕事算：1 人が先に始める塗装、全体の所要日数を求める

答えは 4 日。2 日間 1 人で塗ると家の 3/5 が残り、合わせた仕事率 1 日あたり 3/10 でその残りをちょうど 2 日で片づける。

(y + 397)/(−12) = (x − 362)/4 を y = mx + b の形に直す

直線は y = −3x + 689。この式は 2 点 (362, −397) と (366, −409) を通る 2 点形であり、たすきに掛けて 4 で割ると傾き −3 が得られる。

3 つの合計金額から赤・白・黄のバラ 1 本ずつの代金を求める

1 本ずつで 6 ポンド。白 1.50、黄 2.00、赤 2.50 である。y = 5 − 2w を第 3 式に代入すると、連立方程式が w だけの 1 本の式に帰着する。

144 ドルの精算額から 1 缶の値段を求める

1 缶は 18 ドル。3 人が同額を出したので公平な取り分は平均であり、1 人目はそれより 8 缶多く取った。144 を 8 で割れば値段が出る。

解と係数の関係で x² + 3x − 5 = 0 の x₁ + x₂ − x₁x₂ を求める

値は 2。解と係数の関係より x₁ + x₂ = −3、x₁x₂ = −5 なので、無理数の解を求めることなく −3 − (−5) = 2 が得られる。

m − x² ≤ 1 − x が正の解をもつ m は？すべての実数

すべての実数 m が条件を満たす。変形すると m ≤ x² − x + 1 となり、x > 0 でこの式は上に有界でないので、十分大きい正の x をとれば必ず成り立つ。

42 ドルから毎週 8 ドルの貯金が 400 ドルに達する週

n 週後の残高は 42 + 8(n − 1) = 8n + 34。8n + 34 ≥ 400 を解くと n ≥ 45.75 なので、初めて足りるのは 402 ドルになる第 46 週である。

(a+bi)^2025 = (a−bi)^2025 の意味：z^2025 が実数であること

この条件は z^2025 が自分自身の共役に等しいこと、すなわち z^2025 が実数であることを表す。極形式では arg(z) = kπ/2025 または z = 0 を意味し、絶対値は自由である。

a^n + b^n はいつ因数分解できるか——奇数と偶数の規則

n が奇数なら a + b が必ず因数になり、残りの因子の符号は交互になる。n が偶数のときは一般の因数分解は無いが、n = 6 は 3 乗を経由して分解できる。

(2 − 3x)/(x(x − 1)) が正になるのは x < 0 と 2/3 < x < 1

臨界点 0、2/3、1 が数直線を 4 つの区間に分ける。各区間で 1 点ずつ調べると、この分数は (−∞, 0) と (2/3, 1) で正になる。

相加・相乗平均の 4 つの主張のうち正しいのは √x + 1/√x ≥ 2 だけ

正しいのは C だけである。A は「最小値」が定数でなく、B は x > 1 では等号が成り立たず、D の 1 は 4x − 5 が負なので最小値ではなく最大値である。

郵便料金のモデル：なぜ 1 次関数ではなく階段関数なのか

階段関数である。追加の 1 オンスは端数でも 1 オンス分として 0.20 かかるので、合計はオンスの区切りで跳ね上がり、その間は一定のままになる。

−2 < a < 1、1 < b < 2 で正しいのは −4 < a − b < 0 と −2 < a/b < 1

正しいのは A と C。積 ab の範囲は (−2, 2) ではなく (−4, 2) であり、ab − 2 < a − 2b は (a + 2)(b − 1) < 0 に同値だが両因子が正なので偽になる。

y = 4x − 5 に平行なのはどれか——傾きが 4 の直線

平行な直線は傾きが等しい。y = mx + b から m を読むと、傾き 4 をもつのは y = 4x + 7 だけである。−1/4 の選択肢は平行ではなく垂直である。

正しい集合の等式はどれか：(A ∩ B) − C = (A − C) ∩ (B − C)

正しいのは 2 番だけである。差をすべて A − B = A ∩ B' に書き換え、ド・モルガンの法則を適用して比べる。他の 3 つは和集合と補集合がそのようには交換できないため成り立たない。

x + y = 1（x, y > 0）で正しいのは 1/x + 1/y ≥ 4 と x² + y² ≥ ½

正しいのは B と C。xy の 1/4 は最小値ではなく最大値であり、√x + √y の最大値は 2 ではなく √2 である。2 乗が 1 + 2√(xy) ≤ 2 になるからである。

u2 = 1、u5 = 19 の等差数列で 103 は第何項か

u5 − u2 = 3d より d = 6、u1 = −5 が得られる。−5 + 6(n − 1) = 103 を解くと n = 19 となり、u19 = −5 + 108 = 103 で確かめられる。

285a + 315b + 590c = 21,806 に整数解が無い理由

3 つの係数はすべて 5 の倍数なので左辺は常に 5 で割り切れるが、21,806 は 5 で割ると 1 余る。実数の範囲では解集合は平面になる。

5x² − 2x + 1 が実数の範囲で因数分解できない理由

判別式は −16 で負なので実数解が無く、実係数の 1 次式の積に分解できない。複素数の範囲では 5(x − r)(x − r̄) と分解される。

等差数列で uₙ − uₙ₋₁ = d を証明し、成り立たない場合を示す

成り立つ。uₙ = u₁ + (n−1)d から uₙ₋₁ = u₁ + (n−2)d を引くとちょうど d が残る。この等式は等差数列を特徴づけ、他の種類の数列では成り立たない。

x³ − 3x² + 5x + 1 の実数解がちょうど 1 個である理由

1 も −1 も解ではないので有理数の範囲で既約である。導関数 3x² − 6x + 5 は常に正なので、この 3 次関数は狭義単調増加である。

x³ − 5x² + 3x + 2 に有理数の因数が無い理由

有理根定理の 4 つの候補がすべて外れるので有理数の範囲で既約である。それでも実数解は 3 個あり、およそ −0.391、1.227、4.164 である。

(x²−4x+3)/(x²−9) から x = 3 が除かれる理由

x = 3 は分母 (x−3)(x+3) を 0 にし、定義されない 0/0 の形になるため除かれる。x − 3 を約分しても x = 3 は穴になるだけで、値をとれるようにはならない。

x² − 4xy + 4y が整数の範囲で因数分解できない理由

因数分解できない。x についての 2 次式と見ると判別式は 16y(y − 1) で、よく見る x² − 4xy + 4y² と違って多項式の平方にならない。

256/625 をべきで書く——指数をそろえて (4/5)⁴ にする

256 = 4⁴、625 = 5⁴ なので 256/625 = (4/5)⁴ である。分子と分母が同じ指数 4 をもつため、4/5 のただ 1 つのべきにまとまる。2⁸/5⁴ とも書ける。

81/16 をべきで書く——分子と分母を因数分解する

答えは 81/16 = (3/2)⁴。81 = 3⁴、16 = 2⁴ と因数分解し、a^n/b^n = (a/b)^n を使う。小数では 81/16 = 5.0625 で、整数のべきにはならない。

|x + 66| を −66 で分けて場合分けの関数に書く

答えは x ≥ −66 のとき x + 66、x < −66 のとき −x − 66。分かれ目は中身の符号が変わる点で、x + 66 = 0 を解いて求める。

|x| × x を場合分けの関数に書く

答えは x ≥ 0 で x²、x < 0 で −x²。0 で分ければ絶対値が外れ、得られるのは奇関数で、どこでも増加する関数になる。

縦が横の 2 倍より 2 大きい、周の長さ 64 m の長方形

式は 2((2w + 2) + w) = 64 で、横 10 m、縦 22 m となる。要点は「横の 2 倍より 2 大きい」を 2(w + 2) ではなく 2w + 2 と訳すことである。

縦が横の 3 倍より 4 大きい、周の長さ 96 m の長方形

式は 2((3w + 4) + w) = 96 で、解くと横 11 m、縦 37 m になる。2w + 2 の版とまったく同じ訳し方で、係数と定数だけが違う。

−(4x − 4y − 5) を括弧を使わずに書く

答えは −4x + 4y + 5。括弧の前のマイナスは中のすべての項に −1 を掛けるので、最後の項も含めて 3 つとも符号が変わる。

y = 2x² − 21x + 64 が直線とただ 1 点で交わる x を求める

答えは x = 6。両式を等しいとおくと 2x² − 24x + 64 − a = 0 となり、交点が 1 つとは判別式が 0 であること。よって x = 24/4 = 6 となる。