Algebra
Real algebra questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
(|x − 2| − x)/(x² − 4) ≤ 0 の解は (−2, 1] ∪ (2, +∞)。x = 2 で絶対値を場合分けし、符号表を作って、なぜ x = 1 は含まれ ±2 は除かれるのかを確かめる。
解は x ≤ -9/2、すなわち区間 (-∞, -9/2]。連鎖不等式を 2 つに分け、x^2 の項がすべて消えるのを確かめ、2 つの解の共通部分をとる。
a^3 + b^3 は常に a^2b + ab^2 以上で、等号が成り立つのは a = b のときだけ。差が (a + b)(a - b)^2 と因数分解でき、非負の積になるからである。
実数解は x = −33。両辺を 3 乗して 1/3 乗を外し、2x + 2 = −64 を解く。奇数乗根では無縁解が生じない理由もあわせて確認する。
解集合は (−∞, −2) ∪ (1, 3)。3 つの零点を求めて数直線を分け、各区間で積の符号を符号表から読み取る手順を解説する。
答えは f(x) = 5(x + 3)(x − 6)(x − 10) = 5x³ − 65x² + 60x + 900。各零点が因数になる仕組みと、最高次の係数が定数倍を決める理由を解説する。
解の和は 10。1 次のパターン 4x − 3 を引き、差を a(x−1)(x−2)(x−3)(x−4) と因数分解して解と係数の関係を使うと、定数 a は約分されて消える。
差分商は 2x + h − 5 に簡単になる。f(x + h) を展開し、f(x) を引き、分子から h をくくり出して約分するまでを順を追って解説する。
f(x) = 1/(8/(x − 5) − 2) の定義域は (−∞, 5) ∪ (5, 9) ∪ (9, ∞)。繁分数には内側と外側の 2 つの分母があり、除外すべき値も 2 つ隠れている。
解は ((3−√17)/2, 0) ∪ ((3+√17)/2, ∞)。まず底をそろえ、底が 2/5 < 1 なので不等号の向きを変え、(x²−3x−2)/x の符号表で仕上げる。
27x^3+y^3=(3x+y)(9x^2-3xy+y^2)、x^3-8y^3=(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)、x^3+512=(x+8)(x^2-8x+64)。2 つの立方数を見抜いて因数を書く手順を解説する。
答えは ab = -1/4（a = -1/2、b = 1/2）。解が 2 つの解の間にあることから a < 0 が決まり、定数項 1 が定数倍を決定する。
答えは 5/4。両辺を割って z − 1 の共役を取り出し、分母を実数化し、両辺の共役をとって z を復元してから |z|^2 = a^2 + b^2 を使う。
x = 6。y = 2x^2 - 21x + 64 と y = 3x + a が 1 点だけで交わるとき二次方程式は重解をもち、x = 24/4 = 6、a = -8 となる。判別式による解法。
この方程式の解は x = -3 のただ 1 つで、解の和も -3。底の変換公式を使うと、対数の商が底 x + 5 の 1 つの対数にまとまる。
解は x ≤ −5/2、x = 0、1/6 ≤ x < 1/2。x の符号で場合分けし、x < 0 では割るときに不等号を逆にし、底 1/3 の対数が減少することを使う。
同じサイズのすべての行列と可換な正方行列は λI に等しいことの証明。行列単位 E_ij を使って、非対角成分をすべて 0 に追い込む。
20% の溶液 10 L と 50% の溶液 10 L を混ぜると、35% のアルコール溶液が 20 L できる。体積の式と純アルコール量の式を立てて連立方程式を解く。
差を整理すると 12a^2b^2 - 5ab^5 で、次数 6 の二項式になる。なぜ a^3b の項が消えるのか、次数が指数の和で決まる理由もあわせて解説する。
商の欠けている欄は A = −3 で、商は x − 3、余りは 0 である。多項式の割り算の表の各マスがどう作られるかを順を追って解説する。
解は x = (11 − √29)/2 = 2.807 と x = (3 + √13)/2 = 3.303。x = 3 で場合分けし、それぞれで二次方程式を解いて条件に合う解だけを残す。
答えは 2 − 2√3 ≤ x ≤ 2 + 2√3。2 つの解から f(x) = a(x + 1)(x − 5)、頂点 x = 2 での最小値 −18 から a = 2 が決まり、2x² − 8x − 10 ≤ 6 を解く。
実数解は x = −12 と x = −13。u = x + 4 と置き換えて u² + 17u + 72 = 0 にし、因数分解してから x に戻す。
n の最大値は 14。f(x) = a(x − 1)(x + 7) と因数分解すると b = 6a なので a + b = 7a となり、整数 a の最小値 2 から 14 が得られる。
答えは 7/4 < k < 13/6。f(0) > 0、f(1) < 0、f(2) < 0、f(3) > 0 の符号条件で範囲が決まり、解の積が 1 であることが検算になる。
答えは (2√7 − 2√2) / 5。分子と分母に共役な √7 − √2 を掛けると、和と差の積によって 2 つの根号が同時に消える。
余りは 26x − 47。f(x) を 2x^2 − 3x + 4 で割った余りが 2x + 1 なら、その余りを 3 乗して x^2 = (3x − 4)/2 の規則で次数を下げればよい。
剰余の定理を使えば、筆算をせずに x³ − 2 を x − 1 で割った余りが 1 手で求まる。余りが多項式ではなく定数になる理由もあわせて解説する。
行きの速さは 50 km/h、帰りは 60 km/h。4 時間 24 分を 4.4 時間に直し、各区間の時間を距離÷速さで表して 220/v = 4.4 を解く。
答えは 3037。特性方程式 (r − 2)^2 = 0 より a_n = (A + Bn)2^n となり、a_2025 = 6,149,925 × 2^2025 なので b/c = 6,149,925/2025 = 3037。
第 19 項は 91.66672 なので整数部分は 91。差は半分になりながら符号が交代し、数列は 2a2 − a1 ではなく (a1 + 2a2)/3 = 275/3 に収束する。
答えは m^8 / (256 n^44)。まず括弧の中を割って −4m^-2 n^11 にし、各因子を −4 乗する。負の底を偶数乗すると符号は正になる。
式全体は a^4 b にまとまる。最初の括弧から ab をくくり出し、3 乗の和の公式を使って展開すると ab^4 の項がちょうど打ち消し合う。
式全体はただの a になる。各括弧を a+b でまとめ、−1 乗の括弧を逆数にし、約分してから最後の 3b を引く。
答えは 17。2 log5(√x + 2) を 2 乗の対数に直し、底 5 > 1 なので対数を外すと x が消えて 28 < 7√x、すなわち x > 16 になる。
4 つの解は x = −1, 3/2, 2 − √3, 2 + √3。有理根定理と組立除法で 4 次式を因数分解し、最後に解の公式を使う。
解の和は −3。定義域 x ≥ −5 が x = −6 を除き、根号の因子そのものが x = −5 という解を与えるので、解は 2 と −5 になる。
有理化すると x = 2 + √3、y = 2 − √3 なので x + y = 4、xy = 1。対称式の変形から x² + y² = 14、x³ + y³ = 52、4x² + 7xy + 4y² = 63 が出る。
1 本ずつの合計は 6.00。白 2 本と黄 1 本が 5、白 2 本と赤 3 本が 10.50、黄 3 本と赤 2 本が 11 という 3 本の式を代入法で解く。