同じサイズのすべての行列と可換な正方行列は、単位行列のスカラー倍であることを示せ。

Step-by-step solution

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   適切なテスト行列を選ぶ。 任意の $B$ を相手にするのではなく、行列単位 $E_{ij}$ を使う。これは第 $i$ 行第 $j$ 列の成分が $1$、それ以外がすべて $0$ の行列である。$A$ はすべての行列と可換なので、各 $E_{ij}$ とも可換である。

2. 2

   両方の積を計算する。 $A = (a_{kl})$ と書くと：

   $AE_{ij} \text{ は } A \text{ の第 } i \text{ 列を第 j 列に置いた行列}$
   $E_{ij}A \text{ は } A \text{ の第 } j \text{ 行を第 i 行に置いた行列}$

3. 3

   非対角成分が消えることを導く。 $AE_{ij} = E_{ij}A$ とおいて成分を比べると、$k \ne i$ なるすべての $k$ について $a_{ki} = 0$ が得られる。$i$ と $j$ は任意だったので、$A$ の非対角成分はすべて $0$ であり、$A$ は対角行列である。

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   対角成分が一致することを導く。 残りの成分を比べると、すべての $i, j$ について $a_{ii} = a_{jj}$ が得られる。よって対角成分はすべて共通の値 $\lambda$ をもつ。

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   結論。 対角成分がすべて $\lambda$ に等しい対角行列は、まさに $\lambda I_n$ である。（逆は明らか：$\lambda I$ はすべての行列と可換である。）これは、行列環 $M_n(F)$ の中心がちょうどスカラー行列全体であることを述べている。