複素数 z が、(z - 1) の共役に (4 + 8i) を掛けると 2 になるという条件を満たすとき、z の絶対値の 2 乗の値を求めよ。

Step-by-step solution

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   絶対値だけでは近道できない理由をはっきりさせる。 両辺の絶対値をとると $|z-1|\cdot|4+8i|=2$、すなわち $|z-1|=\tfrac{2}{\sqrt{80}}$ となる。これは $z$ から $1$ までの距離であって $|z|$ ではないので、$|z|^2$ は決まらない。実際に $z$ そのものを求める必要がある。

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   共役を取り出して分母を実数化する。 両辺を $4+8i=4(1+2i)$ で割り、分母の共役を掛ける：

   $\overline{(z-1)}=\frac{2}{4(1+2i)}=\frac{1}{2(1+2i)}\cdot\frac{1-2i}{1-2i}=\frac{1-2i}{2(1+4)}=\frac{1-2i}{10}.$

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   両辺の共役をとってバーを外す。 共役をとる操作はそれ自身が逆操作であり、$\overline{\overline{w}}=w$ なので

   $z-1=\overline{\left(\frac{1-2i}{10}\right)}=\frac{1+2i}{10}=\frac{1}{10}+\frac{1}{5}i.$

4. 4

   $z$ について解く。 $1$ を足して：

   $z=1+\frac{1}{10}+\frac{1}{5}i=\frac{11}{10}+\frac{1}{5}i.$

5. 5

   $|z|^2=a^2+b^2$ を使う。 $a=\tfrac{11}{10}$、$b=\tfrac15$ なので：

   $|z|^2=\frac{121}{100}+\frac{1}{25}=\frac{121}{100}+\frac{4}{100}=\frac{125}{100}=\frac54.$

   確認：$\overline{(z-1)}(4+8i)=\left(\tfrac{1-2i}{10}\right)(4+8i)=\tfrac{4+8i-8i+16}{10}=2$ となり、条件どおりである。